2024年广东省河源市中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省河源市中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣2B．πC．0D．
2．（3分）下面几何体中，是长方体的为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）据报道，2024年春节假期河源万绿湖景区共接待游客约220000人次．数字220000用科学记数法表示是（ ）
A．2.2×106B．2.2×105C．22×106D．0.22×106
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3a）2＝﹣9a2B．a3×a2＝a6
C．a3+a2＝a5D．a3÷a＝a2
5．（3分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．5cmB．7cmC．15cmD．17cm
7．（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠2=25°，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．65°C．55°D．45°
8．（3分）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．bn＜0
B．y2随x的增大而增大
C．当x＜2时，y1＜y2
D．关于x，y的方程组的解为
10．（3分）等边三角形ABC的边长为2，将该三角形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）五边形的内角和等于 度．
13．（3分）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I=5A时，R=8Ω，则当I=4A时，R的值是 Ω．
14．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为6，连接OB，OC，OA，若∠AOC=140°，∠OCB=40°，则弧AB的长是 （结果保留π）．
15．（3分）公公元1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）n（n为非负整数）展开的多项式中各项系数之和为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（5分）解不等式组．
17．（5分）解方程：x2+6x﹣7＝0．
18．（7分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，若，BC＝2，AD＝，求DE的长．
（7分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多20%，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
20．（9分）跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
110 112 136 137 140 142 142 151 164 168 172 174 175 175 175 175 180 186 188 198
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳172次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
21．（9分）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点100米，同时测得点P距楼顶C点30米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°．求大楼的高度BC（结果保留根号）．
22．（9分）课本再现
（1）为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他完成证明过程．
已知：如图所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD．求证：▱ABCD是矩形．
（2）如图，利用尺规作∠AOD的角平分线，交边AD于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（3）在（2）的条件下，延长EO交BC于点F．若AE=2EO，求证：四边形ABFE是正方形．
23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，AB=12，点E是对角线BD上的动点（点E不与点D重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F．
（1）求证：AE=EF；
（2）如图2，连接EC，作△EFC的外接圆⊙O，交边CD于点G，连接FG，若，求⊙O的直径长；
（3）如图3，设⊙O交BD于另外一点H，若BH=DE，求△ABE的面积．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与y轴交于点A（0，），且经过点B（1，1），过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，交抛物线于点D，点P（m,n）是抛物线在第一象限内的一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△CPM的形状，并说明理由；
（3）点N是x轴上的一点，当△CPM与△BND相似时，求n的值．
2024年广东省河源市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【答案】B
【解答】解：π是无理数；﹣2、0、．
故选：B．
2．【答案】D
【解答】解：A．本图形是圆锥；
B．本图形是球；
C．本图形是圆柱；
D．本图形是长方体．
故选：D．
3．【答案】B
【解答】解：220000＝2.2×106．
故选：B．
4．【答案】D
【解答】解：A、（﹣3a）2＝﹣6a2，故该项不正确，不符合题意；
B、a3×a5＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、a3与a6不是同类项，不能进行合并，不符合题意；
D、a3÷a＝a2，故该项正确，符合题意；
故选：D．
5．【答案】D
【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，共12个棋子，
∴任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是＝．
故选：D．
6．【答案】C
【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
12﹣5＜x＜12+5，
解得：3＜x＜17，
只有15cm适合，
故选：C．
7．【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠2＝25°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
8．【答案】A
【解答】解：+
＝+
＝
＝
＝．
故选：A．
9．【答案】C
【解答】解：A、由图象得：b＞0，所以bn＞0；
B、由图象得y3随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、由图象得：当x＜2时，y1＜y7，故C是符合题意；
D、由图象得：，故D不符合题意．
故选：C．
10．【答案】A
【解答】解：如图，设AB'与BC的交点为D，
∵将该三角形绕顶点A在平面内旋转30°，
∴∠BAD＝30°＝∠CAD，∠B＝60°＝∠B'，
∴AD⊥CD，AF⊥B'C'，
∴BD＝CD＝1＝B'F＝C'F，AD＝＝AF，
∴S△ACD＝×CD•AD＝＝，
∵CF＝AC﹣AF＝2﹣，
∴EF＝2﹣4，
∴S△EFC＝×（8﹣﹣2）＝，
∴旋转后的图形与原图形重叠部分的面积＝﹣＝4﹣3，
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．）
11．【答案】3．
【解答】解：
＝2+1
＝5，
故答案为：3．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：五边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540．
13．【答案】10．
【解答】解：∵电流I与R的函数关系为I＝，当I＝5A时，
∴5＝，
解得U＝40，
∴电流I与R的函数关系为I＝，
当I＝4A时，即4＝，
解得R＝10．
故答案为：10．
14．【答案】．
【解答】解：∵∠OCB＝40°，OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵∠AOC＝140°，
∴∠AOB＝360°﹣100°﹣140°＝120°，
过O作OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝8，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴AO＝＝＝2，
∴弧AB的长是＝，
故答案为：．
15．【答案】2n．
【解答】解：∵（a+b）0＝1，系数之和是30＝1；
（a+b）6＝a+b，系数之和是21＝5；
（a+b）2＝a2+6ab+b2，系数之和是27；
……，
（a+b）n，展开各项系数之和是2n．
故答案为：2n．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．【答案】1＜x＜2．
【解答】解：由x+3＞4，得x＞4，
由5x﹣1＜5，得x＜2，
∴不等式组的解集为1＜x＜4．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2+6x﹣8＝0，
∴（x+7）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣3或x2＝1．
18．【答案】．
【解答】解：AD＝AB，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
19．【答案】每份牛肉面的价格为20元．
【解答】解：设每份杂酱面的价格为x元，则每份牛肉面的价格为（x+5）元，
根据题意，得＝×（7+20%）．
解得x＝15．
经简要x＝15是原方程的解．
则每份牛肉面的价格为：15+5＝20（元）．
答：每份牛肉面的价格为20元．
20．【答案】（1）175；170；
（2）约有175名学生能达到优秀；
（3）该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生，理由见解析．
【解答】解：（1）在被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，1675出现的次数最多；
把被抽取20名八年级学生进行1分钟跳绳测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是168，
 故中位数b＝（168+172）÷6＝170．
 故答案为：175；170；
（2）360×＝144（名），
答：估计八年级360名学生中，约有175名学生能达到优秀；
（3）∵172＞170，
∴该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
21．【答案】大楼的高度BC为（50﹣15）米．
【解答】解：如图所示：
过P作PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，
则四边形 CQHB是矩形，
∴QH＝BC，
由题意可得：AP＝100米，PC＝30米，∠PCQ＝30°，
∴PH＝APsin60°＝100×＝50，PQ＝米，
∴BC＝QH＝PH﹣PQ＝（50﹣15）（米），
∴大楼的高度BC为（50﹣15）米．
22．【答案】（1）证明见解析；
（2）图见解析；
（3）证明见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴OA＝OB＝OD＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠DAO＝∠ODA，
∵∠OAB+∠OBA+∠DAO+∠ODA＝180°，
∴∠OAB+∠DAO＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：如图所示：
（3）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，∠EAB＝∠ABF＝90°，
∵OE平分∠AOD，
∴AE＝ED，OE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵AE＝2OE，
∴AE＝EF，
∴矩形ABFE是正方形．
23．【答案】（1）详见解答．
（2）10．
（3）36．
【解答】证明（1）：如图1，过点E作EH⊥BC于H．
．
∴四边形BHEK是矩形．
∵∠KBE＝45°．
∴BK＝EK．
∴四边形BHEK是正方形．
∴EK＝EH，∠KEH＝90°．
∵∠KEF+∠AEK＝90°．
∠KEF+∠HEF＝90°．
∴∠AEK＝∠HEF．
在△AEK和△FEH中．
．
∴△AEK≌△FEH（ASA）．
∴AE＝EF．
解：（2）如图2，过点E作EM⊥AD于M．
．
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°．
∴△ADE≌△CDE（SAS）．
∴∠DAE＝∠DCE．
∵∠DCE＝∠EFG，tan∠EFG＝．
∴tan∠DAE＝tan∠EFG＝．
令ME＝x，则AM＝2x．
∵∠MDE＝45°．
∴MD＝ME＝x．
∵AB＝12．
∴AD＝AM+MD＝12．
即2x+x＝12．
解得x＝6．
∴ME＝4，AM＝8．
∴AE＝．
∴FE＝AE＝8．
∵tan∠EFG＝．
∴EG＝2．
∴FG＝．
∴⊙O的直径是10．
解：（3）如图8，连接CH，过点E作EN⊥AB于点N，
．
∵四边形ABCD是正方形．
∴AD＝BC．
∠ADE＝∠DBC＝45°．
在△ADE和△CBH中，
．
∴△ADE≌△CBH（SAS）．
∴∠DAE＝∠BCH．
∵∠BCH＝∠BEF．
∴∠DAE＝∠BEF．
又∵∠DAE+∠BAE＝90°．
∠BEF+∠AEB＝90°．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴BA＝BE＝12．
∵∠CDE＝45°，EN⊥AB．
∴EN＝BE＝．
∴．
24．【答案】（1）y＝x2+；
（2）△CPM是等腰三角形，理由见解析；
（3）n的值为4+2．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c与y轴交于点A（0，），且经过点B（1，
∴，
∴，
∴该抛物线的解析式为y＝x5+；
（2）△CPM是等腰三角形，
理由：∵点P（m，n）是抛物线在第一象限内的一动点，
∴P（m，m2+），
∴PM＝m2+，
∵过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，1），
∴PC＝＝m6，CM＝，
∴PM＝PC≠CM，
∴△CPM是等腰三角形；
（3）∵过点B作x轴的平行线，交抛物线于点D，
∴D（﹣8，1），
∵△CPM是等腰三角形，当△CPM与△BND相似时，
∴△BND是等腰三角形，
∴BD＝DN＝2或BD＝BN＝5，
当BD＝DN＝2时，
过D作DH⊥x轴于H，
∴DH＝1，
∴DH＝，
∴∠BDN＝∠DNH＝30°，
∵△BDN∽∠MPC，
∴∠MPC＝30°，
延长DB交PM于G，
∴CG⊥PM，
∴CG＝OM＝m，∠CGP＝90°，
∴CG＝，
∴m5＝7m，
∴m＝2+或m＝6﹣，
∴n＝4+8；
当BD＝BN＝2时，如图，
同理n＝8+2；
综上所述，当△CPM与△BND相似时．平均数
众数
中位数
160
a
b
思考
我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．