江苏省南京市建邺区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份江苏省南京市建邺区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在下列事件中，是必然事件的是( )
A. 下一个星期天会下雨
B. 367人中至少有2人的生日相同
C. 买一张电影票，座位号是偶数号
D. 在某妇幼保健医院里，下一个出生的婴儿是女孩
3.下列调查中，不适合用普查的是( )
A. 调查全班同学的身高
B. 检查发射前“天空一号”空间站的零部件状况
C. 对旅客上飞机前的安检
D. 调查某种导弹的杀伤半径
4.下列式子从左到右变形一定正确的是( )
A. B. C. D.
5.在□中，对角线AC、BD相交于点O，若，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，四边形ABCD中，，，，E是AD的中点，过点E作交BC于F，则EF的长为( )
A. B. 15C. D. 16
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.为了解某市50 000名八年级学生的身高情况，有关部门从全体八年级学生中抽取3 000名测量身高，在本次调查中，样本容量是__________.
8.转动如图的转盘转盘中各个扇形的面积都相等，当它停止转动时，指针指向标有数字__________的区域的可能性最小．
9.分式，的最简公分母是__________.
10.对某校800名学生的体重进行统计，其中体重在单位：这个小组的频率为，则该组的学生人数是__________名．
11.在▱中，，则__________
12.若分式有意义，则x的取值范围是__________.
13.若矩形的对角线长为4cm，两条对角线的一个交角为，则该矩形的面积为__________
14.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前__________天完成任务．
15.如图，菱形纸片ABCD的边长为2，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在处，，垂足为若，则BE的长是__________.
16.在中，，，，点M、N分别为AB、BC边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则的最小值是__________.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.化简：
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题8分
证明：三角形的三条中线交于一点．
已知：如图，AE、CD是的中线，AE、CD交于点O，连接BO并延长交AC于点
求证：BF是的中线．
小明进行了以下思考，证明：延长BF至点G，使得，连接AG、CG…
请沿着小明的思考，将证明过程补充完整．
19.本小题8分
为了解学生对校园网站五个栏目的喜爱情况规定每名学生只能选一个最喜爱的学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：
本次被调查的学生有__________名．
将条形统计图补充完整.
求扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数.
若该校有1800名学生，估计全校最喜爱“校长信箱”和“名师导学”栏目的学生一共有多少名？
20.本小题8分
在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据：
摸到白球的概率的估计值是__________精确到
若盒子中一共有60个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入__________个白球.
某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合中结果的试验最有可能的是__________填序号
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
③掷一个质地均匀的正方体骰子面的点数分别为1到，落地时面朝上点数“小于3”．
21.本小题8分
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
作出关于坐标原点O成中心对称的 .
若将绕点 P旋转得到，则点 P的坐标为( )
A. B. C. D.
22.本小题8分
如图，在等腰中，，AD是的中线，，点O是AC的中点，连接DO并延长交AE于点
求证：四边形ADCE是矩形．
当满足条件__________时，四边形ADCE是正方形．
23.本小题8分
将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为
再往杯中加入克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为__________；A.
请证明你的选择．
24.本小题8分
已知，按要求完成下列尺规作图不写作法，保留作图痕迹
如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱；
如图②，点O是内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点．
25.本小题8分
四边形ABCD是矩形，E是BC延长线上一点，连接AC，DE，
如图①，若，求的度数；
如图②，若F是DE的中点，连接AF，CF，求证：
26.本小题8分
我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点O是▱的对称中心．
如图2，若将▱绕对称中心点O旋转得到，当分别与AD、BC交于点E、F，分别与BC、AD交于点G、H时．因为，，所以四边形EFGH是平行四边形，由旋转可知，，所以等高，所以四边形EFGH是正方形，且由旋转可知点O也是正方形EFGH对角线的交点．
如图3，若将▱绕对称中心点O旋转一定的角度得到，当分别与AD、BC交于点E、F，分别与BC、AD交于点G、H时．求证：四边形EFGH是菱形．
如图4，若将▱绕对称中心点O旋转得到，当各边与▱各边分别交于点G、E、F、求证：四边形EFGH是正方形．
如图5，在▱中，，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，▱满足什么条件时，存在正方形直接写出答案
答案和解析
1.【答案】A
【解析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．
【详解】A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：
本题考查了中心对称图形，利用定义进行判断即可．
2.【答案】B
【解析】本题考查了随机事件和必然事件，熟练掌握它们的区别是解题的关键．
【详解】解：下一个星期天会下雨为随机事件，故此选项错误；
B. 367人中至少有2人的生日相同为必然事件，故此选项正确；
C. 买一张电影票，座位号是偶数号为随机事件，故此选项错误；
D. 在某妇幼保健医院里，下一个出生的婴儿是女孩为随机事件，故此选项错误；
故选：
3.【答案】D
【解析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可．
【详解】解：调查全班同学的身高，人数较少，得到的结果要准确，适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
B.检查发射前“天空一号”空间站的零部件状况，精确度要求高，适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
C.对旅客上飞机前的安检，事关重大，适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
D.调查某种导弹的杀伤半径，是具有破坏性的调查，适合采用抽样调查，故此选项符合题意．
故选：
4.【答案】D
【解析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D
5.【答案】C
【解析】本题根据平行四边形的性质，加之进行矩形的证明，最后根据矩形性质求解本题．
【详解】根据题意作图，如下所示：
▱，，
四边形ABCD为矩形．
矩形ABCD，
，，
条件不足无法判定四边形为菱形，
无法判定，故C错误．
故选：
本题考查矩形的判定与性质，解题关键在于深刻理解矩形的判定方法以及其各条性质．
6.【答案】A
【解析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质．过点F作于点G，设，则，，，利用，列式即可求解．
【详解】解：连接AC，
则；
过点F作于点G，连接，
，，，
，
四边形EFGD是平行四边形，
，
四边形EFGD是矩形，
，
设，
，，
，
，
整理得，
解得，
即：
故选：
7.【答案】3000
【解析】根据样本容量是样本中包含的个体的数目，可得答案．
【详解】解：本次调查的样本是被随机抽取的3000名学生的身高，所以样本容量是
故答案为：
此题主要考查了样本容量，关键是掌握样本容量只是个数字，没有单位．
8.【答案】2
【解析】整个圆面被等分成八份“1”占了3份，“2”占了2份，“3”占了3份，根据份数小的可能性就小解答．
9.【答案】
【解析】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
【详解】解：分式，的分母分别是、xyz，故最简公分母是；
故答案为：
10.【答案】200
【解析】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率=频数总次数是解题的关键．根据频率=频数总次数，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
名，
该组的学生人数是200名，
故答案为：
11.【答案】100
【解析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图，

在▱中，，，，
，，
，
故答案为：
12.【答案】
【解析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于
【详解】解：分式有意义，
，
解得：，
故答案为：
13.【答案】
【解析】先根据矩形的性质得到，，则，证明是等边三角形得到，利用勾股定理求出BC的长，再利用矩形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，在矩形ABCD中，，，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
故答案为：
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟知矩形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可．
【详解】解：根据题意得：
，
即结果提前天完成任务．
故答案为：
15.【答案】
【解析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，实数的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明，过点E作于点G，再利用等腰直角三角形的性质与含角的直角三角形的性质进一步解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，，
，
，
，
又由折叠有，且，
，
过点E作于点G，
，
，
，
，
设，则，，
在菱形ABCD中，，
，
，，
，
解得：，
，
故答案为：
16.【答案】
【解析】本题考查的是含角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，作C关于AB的对称点F，过F作于N，交AB于M，可得，结合三角形的中位线的性质可得，此时有最小值，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，作C关于AB的对称点F，过F作于N，交AB于M，
，，，
，
点D、E分别为CN，MN的中点，
，，
，此时有最小值，
，，，
，，，
，，
，
，
，，
的最小值为，
故答案为：
17.【答案】【小题1】
解：原式

【小题2】
解：原式

【解析】
先通分，再进行分式加减运算，然后约分即可．
先将原式整理为，再通分并进行加减运算，然后计算分子部分即可．
本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】证明：是的中线，即点E是BC的中点，
又
即，
同理可得：即，
四边形OAGC是平行四边形，
，
即BF是的中线

【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，先证明，，说明四边形OAGC是平行四边形，得出，即可证明结论．
19.【答案】【小题1】
200
【小题2】
本次被调查的C栏目的有：人，
补全的条形统计图如图所示，
【小题3】
扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为
【小题4】
名
所以估计全校最喜爱“校长信箱”和“名师导学”栏目的学生一共有990名．

【解析】
根据喜爱栏目A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数.
本次被调查的学生有：人，
根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出喜爱栏目C的人数，从而可以将条形统计图补充完整.
用360度乘B组所占的比例即可得出答案.
根据样本估计总体即可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
20.【答案】【小题1】
【小题2】
15
【小题3】
②

【解析】
根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近，由此得出答案.
解：设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得：
，
解得：，
即需要往盒子里再放入15个白球；
故答案为：
解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率是；
②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率；
③掷一个质地均匀的正方体骰子面的点数分别为1到，落地时面朝上点数“小于3”的概率是；
综上所述，符合中结果的试验最有可能的是②，
故答案为：②．
本题主要考查利用频率估计概率.
21.【答案】【小题1】
解：如图：即为所求作的三角形.
【小题2】C

【解析】
先作出点A、B、C关于原点对称的点、、的坐标，然后顺次连接得到
先作和的垂直平分线，则它们的交点即为旋转中心，得出旋转中心的坐标即可．
解：如图，作和的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，则点为旋转中心，故C正确．
故选：
本题考查了作中心对称图形，作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22.【答案】【小题1】
解：点O是AC中点，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形ADCE是平行四边形，
，AD是的中线，
，
，
四边形ADCE是矩形．
【小题2】

【解析】
先证明四边形ADCE是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一，得到，即可得出结论．
根据邻边相等的矩形是正方形，得到当时，四边形ADCE是正方形．
解：当满足时，四边形ADCE是正方形．
理由：当时，是等腰直角三角形，
又是的中线，
，
由，知四边形ADCE是矩形，
四边形ADCE是正方形．
本题考查矩形的判定，正方形的判定、平行四边形的判定．三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
23.【答案】【小题1】
A
【小题2】
利用作差法比较大小：
，，
，即，
，即

【解析】
根据题意，可以写出相应的不等式，从而可以解答本题；
由题意可得，
故选A
根据作差比较法，可以证明中的结论成立．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小．
24.【答案】【小题1】
解：如图①，平行四边形ABDC为所作；
【小题2】
如图②，PQ为所作．


【解析】
分别以B、C点为圆心，以AC、AB为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABDC满足条件．
连接AO，延长AO到G使，再作交AM于P，连接PO并延长交AN于Q，则PQ满足条件．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
25.【答案】【小题1】
解：如图①，连接BD，与AC交于点O，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
证明：如图②，延长CF交AD延长线于点G，
，
，，
是DE的中点，
，
≌，
，
，即，
，
，
又，

【解析】
连接BD，与AC交于点O，根据矩形的性质解答即可；
延长CF交AD延长线于点G，根据AAS证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的四个角都相等解答．
26.【答案】【小题1】
证明：作，，垂足分别为，如图，
将▱绕对称中心点O旋转得到，
，四边形EFGH是平行四边形，
，
，
≌，
，
四边形EFGH是菱形；
【小题2】
证明：延长、、、交、、、于点M、N、P、，连接、、、，如图，

由题干材料知，四边形MNPQ是正方形，
，，
由旋转的性质知，，，
，
，
≌，
，
同理，
，
，又，
≌，
，，
同理，，
四边形MNPQ是正方形，
，
同理得，
≌≌≌，
，
四边形EFGH是菱形，
由全等三角形的性质得，
由对顶角相等知，
，
，
四边形EFGH是正方形．
【小题3】当时，存在正方形

【解析】
作，，由题意得四边形EFGH是平行四边形，再证明≌，推出，即可证明结论成立；
作出如图的辅助线，由题干材料知，四边形MNPQ是正方形，证明≌和≌，同理得到≌≌≌，推出四边形EFGH是菱形，再证明，根据正方形的判定定理即可得证．
分两种情况讨论，当A、重合和A、重合，分别根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求得特殊点的情况，即可求解．
解：当A、重合时，如图，
四边形EFGH为正方形，FH为对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当A、重合时，如图，
四边形EFGH为正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
当时，存在正方形
本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
摸球的次数n
10
20
50
100
200
400
500
1000
2000
摸到白球的次数m
4
7
10
28
45
97
127
252
498
摸到白球的频率