2024年四川省泸州市第十五中学校中考数学二模试卷+

这是一份2024年四川省泸州市第十五中学校中考数学二模试卷+，共28页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2024的倒数的相反数为（ ）
A．2024B．C．D．﹣2024
2．（3分）2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售．据统计，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.16×107B．1.6×106C．1.6×107D．16×106
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（﹣3a3）2＝9a6
C．6a2﹣3a2＝2a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（3分）某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝145°，则∠2的度数为（ ）
A．63°B．64°C．65°D．66°
6．（3分）一组数据2，4，x，6，8的众数为8，则这组数据的中位数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm2
9．（3分）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则+＝（ ）
A．B．C．3D．5
10．（3分）如图，内切于等边△ABC的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）将抛物线y＝﹣x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象与直线y＝x+m有4个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣5B．﹣≤m＜﹣5C．﹣＜m＜﹣3D．m≥﹣3
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AD，CE分别平分∠CAB，∠ACB，且相交于点F，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：2a2﹣8＝ ．
14．（3分）平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于点Q（1，0）成中心对称的点的坐标是 ．
15．（3分）从﹣2，1两个数中随机选取一个数记为m，再从﹣1，0，2三个数中随机选取一个数记为n，则m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根的概率是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是CD边上一点，以BE为对角线作正方形BGEF，连接CG，则△ECG面积的最大值为 ．
三、本大题3个小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
19．（6分）如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：EF∥BC．
四、本大题2个小题，每小题7分，共14分。
20．（7分）廊坊市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温（单位：℃），整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）该市5月1日至8日中午12时气温的平均数是 ℃，中位数是 ℃；
（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
（3）现从廊坊市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率．
21．（7分）小冬在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
（1）第一次小冬用550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
五、本大题2个小题，每小题8分，共16分。
22．（8分）小亮为测量某铁桥的长度BC，乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时，在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝160米，当车前进146米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求该桥的长度BC．（结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，≈1.73）
23．（8分）如图，直线AC与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．
（1）求k的值；
（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，求点D的坐标；
（3）将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD′，点D′恰好落在函数y＝（x＜0）的图象上，求点D的坐标．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB延长线上，CD切⊙O于点E，AC交⊙O于点F，且点E平分．
（1）求证：CD⊥AC．
（2）作EG⊥AB，交⊙O于点G，交AB于点P．若BD＝2BP，EG＝2，求CF的长度．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC下方的一动点，连接AP与BC相交于点E，已知S△BEP：S△ABE＝1：2，求点E的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接BM．求BM+DM的最小值．
2024年四川省泸州十五中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．（3分）﹣2024的倒数的相反数为（ ）
A．2024B．C．D．﹣2024
【分析】根据倒数及相反数的定义即可求得答案．
【解答】解：﹣2024的倒数为﹣，其相反数为，
故选：C．
【点评】本题考查倒数及相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售．据统计，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.16×107B．1.6×106C．1.6×107D．16×106
【分析】确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1600000＝1.6×106．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示形式，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．（﹣3a3）2＝9a6
C．6a2﹣3a2＝2a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、合并同类项法则以及完全平方公式分别判断即可．
【解答】解：A、原式＝a6，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式＝9a6，故本选项计算正确，符合题意；
C、原式＝3a2，故本选项计算错误，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项以及完全平方公式，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键．
4．（3分）某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看是一个矩形被分为3部分，上面的分线是实线，下面的分线是虚线．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意能看到的线用实线画，看不到的线用虚线画．
5．（3分）一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝145°，则∠2的度数为（ ）
A．63°B．64°C．65°D．66°
【分析】根据平角的定义得到∠4＝35°，再根据三角形外角性质得到∠3＝65°，最后根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠4＝180°，∠1＝145°，
∴∠4＝35°，
∵∠3＝∠4+∠A，∠A＝30°，
∴∠3＝65°，
∵直尺的对边互相平行，
∴∠2＝∠3＝65°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质及三角形外角性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及三角形外角的性质是解题的关键．
6．（3分）一组数据2，4，x，6，8的众数为8，则这组数据的中位数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：∵数据2，4，x，6，8的众数为8，
∴x＝8，
则数据重新排列为2、4、6、8、8，
所以中位数为6，
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解．
【解答】解：由题意得，
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
8．（3分）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm2
【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．
【解答】解：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，
∴母线长为5cm，
∴其表面积＝π×4×5+42π+8π×6＝84πcm2，
故选：C．
【点评】考查了圆锥的计算及几何体的表面积的知识，解题的关键是能够了解圆锥的有关的计算方法，难度不大．
9．（3分）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则+＝（ ）
A．B．C．3D．5
【分析】先求出（+）2，再求其算术平方根即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝1，
而（+）2＝x1+x2+2＝3+2＝5，
且≥0，≥0故+≥0，
∴+＝，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及算术平方根，主要是+如何变形为x1+x2与x1•x2的式子．
10．（3分）如图，内切于等边△ABC的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，
设AB＝2a，则BD＝a，
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝＝a，
∴OD＝AD＝a，
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：＝，
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质、圆的面积、三角形的内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（3分）将抛物线y＝﹣x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象与直线y＝x+m有4个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣5B．﹣≤m＜﹣5C．﹣＜m＜﹣3D．m≥﹣3
【分析】先求出抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标，再根据抛物线y＝﹣x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3），画出图象，结合图象求出满足题意的m的取值范围．
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），
∵将抛物线y＝﹣x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象中当﹣1≤x≤3时，解析式为y＝x2﹣2x﹣3，如图，
当直线y＝x+m．经过（3，0）时，此时直线y＝x+m与新函数图象有3个交点，
把（3，0）代入直线y＝x+m，解得m＝﹣3，
直线y＝x+m再向下平移时，有4个交点；
当y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝x+m有一个交点时，此时直线y＝x+m与新函数图象有3个交点，
联立方程组，
整理得x2﹣3x﹣3﹣m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝21+4m＝0，
解得m＝﹣，
综上所述，新图象与直线y＝x+m有4个交点时，m的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AD，CE分别平分∠CAB，∠ACB，且相交于点F，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CB于点G，证明Rt△ADC≌Rt△ADH（HL），由全等三角形的性质得出AC＝AH＝8，由勾股定理求出AB＝10，证明△FDG∽△ADC，得出，可求出FG＝2，则可由勾股定理求出答案．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CB于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DH，
在Rt△ADC和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADH（HL），
∴AC＝AH＝8，
∵BC＝6，
∴BA＝＝＝10，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣8＝2，
设CD＝DH＝x，则BD＝6﹣x，
∵DH2+BH2＝BD2，
∴x2+22＝（6﹣x）2，
∴x＝，
设CG＝FG＝y，
∵FG∥AC，
∴△FDG∽△ADC，
∴，
∴，
∴y＝2，
∴FG＝2，
∴DG＝，
∴DF＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2），
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14．（3分）平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于点Q（1，0）成中心对称的点的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】连接PQ并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．利用AAS证明△QP′N≌△QPM，得出QN＝QM，P′N＝PM，即1﹣x＝3﹣1，y＝2，求出x＝﹣1，y＝2，进而得到P′的坐标．
【解答】解：如图，连接PQ并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．
过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．
在△QP′N与△QPM中，
，
∴△QP′N≌△QPM（AAS），
∴QN＝QM，P′N＝PM，
∴1﹣x＝3﹣1，y＝2，
∴x＝﹣1，y＝2，
∴P′（﹣1，2）．
故答案为（﹣1，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质，准确作出点P（3，﹣2）关于点（1，0）对称的点P′是解题的关键．
15．（3分）从﹣2，1两个数中随机选取一个数记为m，再从﹣1，0，2三个数中随机选取一个数记为n，则m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根（m2﹣4n＞0）的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：和树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根（m2﹣4n＞0）的结果有4种，
∴m、n的取值使得一元二次方程x2﹣mx+n＝0有两个不相等的实数根的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及根的判别式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是CD边上一点，以BE为对角线作正方形BGEF，连接CG，则△ECG面积的最大值为 ．
【分析】由正方形的性质得出△BCD和△BGE都是等腰直角三角形，得＝＝，∠DBE＝∠CBG，得出△BCG∽△BDE，过点G作GI⊥DC交DC的延长线于点I，设EC＝x，则DE＝6﹣x，由△BCG∽△BDE，求出CG＝（6﹣x），根据三角形面积公式及二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，过点G作GI⊥DC交DC的延长线于点I，
设EC＝x，则DE＝6﹣x，
∵四边形ABCD和四边形FBGE都是正方形，
∴∠DBC＝∠EBG＝45°，
∴∠DBC﹣∠EBC＝∠EBG﹣∠EBC，
∴∠DBE＝∠CBG，
∵四边形ABCD和四边形FBGE都是正方形，
∴△BCD和△BGE都是等腰直角三角形，
∴＝＝，
∴△BCG∽△BDE，
∴＝＝，∠BCG＝∠BDE＝45°，
∴CG＝DE＝（6﹣x），△CGI是等腰直角三角形，
∴GI＝CG＝×（6﹣x）＝（6﹣x），
∴△ECG的面积＝EC•GI
＝x•（6﹣x）
＝﹣（x﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴△ECG的面积有最大值，最大值为，
故答案为：，
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识是解决问题的关键．
三、本大题3个小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）计算：．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝3×﹣9+（4﹣2）﹣1
＝﹣9+4﹣2﹣1
＝﹣6﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【分析】根据分式的化简求值的过程计算即可求解．
【解答】解：原式＝（）
＝
＝．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴取x＝3，原式＝＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是准确进行分式的化简．
19．（6分）如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：EF∥BC．
【分析】先用“边边边”判定图中的两个三角形全等，再得出对应相等的两个角即可判定两直线平行．
【解答】证明：∵AE＝BD，
∴AE+BE＝DB+BE，
即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠CBA＝∠FED．
∴EF∥BC．
【点评】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及平行线的判定方法．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．
四、本大题2个小题，每小题7分，共14分。
20．（7分）廊坊市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温（单位：℃），整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）该市5月1日至8日中午12时气温的平均数是 21 ℃，中位数是 21.5 ℃；
（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
（3）现从廊坊市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率．
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义分别即可求解；
（2）由360°乘以A所占的比例即可；
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽到2天中午12时的气温均低于20℃有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）5月1日至8日中午时气温的平均数：（19+16+22+17+21+22+25+26）÷8＝21（℃），
将8天的温度按低到高排列为：16，17，19，21，22，22，25，26，
因此中位数为＝21.5（℃），
故答案为：21，21.5；
（2）∵低于20℃的天数有3天，
∴扇形统计图中扇形A的圆心角的度数360°×＝135°，
答：扇形统计图中扇形A的圆心角的度数135°；
（3）设这个月5月1日至5日的5天中午12时的气温依次即为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽到2天中午12时的气温均低于20℃有6种，即AB、BA、AD、DA、BD、DB，
∴恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率为＝．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及平均数、中位数、统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（7分）小冬在某网店选中A，B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
（1）第一次小冬用550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A中玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得到A中玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进（30﹣x）个，由题意得：
20x+15（30﹣x）＝550，
解得：x＝20，
30﹣20＝10（个）．
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
（2）设A款玩偶购进a个，B款玩偶购进（45﹣a）个，获利y元，由题意得：
y＝（28﹣20）a+（20﹣15）（45﹣a）＝3a+225，
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
∴a≤（45﹣a），
∴a≤15，
∵y＝3a+225，
∴k＝3＞0，
∴y随a的增大而增大．
∴a＝15时，y最大＝3×15+225＝270（元），
∴B款玩偶为：45﹣15＝30（个）．
答：按照A款玩偶购进15个、B款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
五、本大题2个小题，每小题8分，共16分。
22．（8分）小亮为测量某铁桥的长度BC，乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时，在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝160米，当车前进146米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求该桥的长度BC．（结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43，≈1.73）
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BE＝CF，BC＝EF，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∴BE＝CF，BC＝EF，
由题意可得∠BAD＝90°﹣30°＝60°，AB＝160米，AD＝146米，
∴（米），
∴米，
∵∠DCF＝55°，
∴DF＝CF•tan55°≈197.91米，
∴BC＝EF＝AD﹣AE+DF≈146﹣80+197.91＝263.91≈264（米），
答：桥BC的长度约为264米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23．（8分）如图，直线AC与函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．
（1）求k的值；
（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，求点D的坐标；
（3）将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD′，点D′恰好落在函数y＝（x＜0）的图象上，求点D的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝（x＜0）可求出k的值；
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可推出，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出DM＝4，即为点D的纵坐标，根据题意设直线AC的解析式为y＝x+b，把A的坐标代入即可求得b＝5，y＝4代入y＝﹣x+5中，可求出点D坐标；
（3）过点D′作DH⊥x轴，垂足为H，设D（x，﹣x+5）（x＞0），由题意可知，D'（x﹣5，x），将其坐标代入y＝﹣得到关于x的方程内接方程即可求得．
【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝（x＜0）得，6＝，
∴k＝﹣6，
（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵＝＝
∴，
又∵点A的坐标为（﹣1，6），
∴AN＝6，
∴DM＝4，
∵∠ACO＝45°，
∴设直线AC的解析式为y＝﹣x+b，
把A（﹣1，6）代入得，6＝1+b，
∴b＝5，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝4代入y＝﹣x+5中，
解得，x＝1，
∴D（1，4）；
（3）∵直线AC的解析式为y＝﹣x+5，
∴设D（x，﹣x+5）（x＞0），
由题意可知，D'（x﹣5，x），
∵点D′恰好落在函数y＝﹣的图象上，
∴x（x﹣5）＝﹣6，
∴x2﹣5x+6＝0，
解得x＝2或x＝3，
∴D（2，3）或（3，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB延长线上，CD切⊙O于点E，AC交⊙O于点F，且点E平分．
（1）求证：CD⊥AC．
（2）作EG⊥AB，交⊙O于点G，交AB于点P．若BD＝2BP，EG＝2，求CF的长度．
【分析】（1）连接BF，OE，OE与BF交于点H，利用圆的切线的性质定理和垂径定理的推论得到BF∥CD；利用圆周角定理和平行线的性质解答即可得出结论；
（2）利用垂径定理得到PE＝PG＝1，设PB＝x，则BD＝2x，PD＝PB+BD＝3x，利用相似三角形的判定与性质得到OP＝，利用勾股定理列出关于x的方程，求得x值，利用直角三角形的边角关系定理得到∠OEP＝30°，
∠EOD＝60°，OH＝OB，再利用矩形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BF，OE，OE与BF交于点H，如图，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∵点E平分，
∴，
∴OE⊥BF，
∴BF∥CD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF⊥AC，
∴CD⊥AC；
（2）解：∵EG⊥AB，EG＝2，AB是⊙O的直径，
∴PE＝PG＝1，
设PB＝x，则BD＝2x，
∴PD＝PB+BD＝3x．
∵∠OED＝90°，EP⊥OD，
∴△OPE∽△EPD，
∴，
∴，
∴OP＝，
∴OE＝OB＝OP+PB＝x+．
∵OP2+PE2＝OE2，
∴，
∴x＝±（负数不合题意，舍去）．
∴PB＝，OP＝，OB＝OE＝，OD＝．
∴∠OEP＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∴OH＝OB＝，
∴EH＝OE﹣OH＝．
由（1）知：四边形ECFH为矩形，
∴CF＝EH＝．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆周角定理，圆的切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC下方的一动点，连接AP与BC相交于点E，已知S△BEP：S△ABE＝1：2，求点E的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接BM．求BM+DM的最小值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△BEP：S△ABE＝1：2，则EP：EA＝1：2，由△PEH∽△AEC，得到EP：EA＝PH：AN＝1：2，进而求解；
（3）过点B作BH⊥AD于点H，则MH＝MDsin∠ADN＝DM，则此时BM+DM＝BH为最小，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵S△BEP：S△ABE＝1：2，则EP：EA＝1：2，
过点A作AN∥y轴交BC于点N，过点P作PH∥y轴交BC于点H，
则△PEH∽△AEN，
则EP：EA＝PH：AN＝1：2，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝x﹣3＝﹣4，AN＝4，
则PH＝2，
设点H（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），
则PH＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝2，
解得：x＝1或2，
即点P（1，﹣4）或（2，﹣3），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2或y＝﹣x﹣1，
联立y＝﹣2x﹣2和y＝x﹣3得：﹣2x﹣2＝x﹣3，
解得：x＝，则点E（，﹣）；
联立y＝﹣x﹣1和y＝x﹣3得：x+1+x﹣3＝0，
解得：x＝1，则点E（1，﹣2），
即点E的坐标为：（1，﹣2）或（，﹣）；
（3）连接BD、AD，
由点D的坐标（1，﹣4）知，AN＝2，DN＝4，
则tan∠ADN＝，则sin∠ADN＝，AD＝2，
过点B作BH⊥AD于点H，
则MH＝MDsin∠ADN＝DM，
则此时BM+DM＝BH为最小，
则S△ABD＝AB×DN＝AD•BH，
则4×4＝2×BH，则BH＝，
即BM+DM的最小值为．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
20
15
销售价（元/个）
28
20