河北省唐山市路北区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

这是一份河北省唐山市路北区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3B．a=4，b=2，c=3
C．a=4，b=2，c=5D．a=4，b=5，c=3
3．一次函数y＝2x﹣5的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．计算的结果，估计在（ ）
A．8与9之间B．7与8之间C．6与7之间D．5与6之间
5．下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．正方形的对角线相等且互相垂直D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
6．如的对角线与相较于，，若，，则长（ ）
A．6B．10C．12D．18
7．函数与的图像相交于点，则( )
A．B．C．D．
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（ ）
A．5B．6C．4D．4.8
9．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转90°得到，点B的对应点在边上（不与点A，C重合），则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．为了丰富校园文化，学校艺术节举行初中生书法大赛，设置了10个获奖名额．结果共有21名选手进入决赛，且决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛得分，要判断它是否获奖，只需知道学生决赛得分的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
11．平面直角坐标系中，过点的直线经过一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC．根据尺规作图痕迹，判断直线MN与CB的位置关系（ ）
A．相交，夹角30°B．平行C．相交，夹角60°D．垂直
13．如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．B．C．D．
14．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为1，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）
A．4B．5C．5D．10
二、填空题
15．计算： ．
16．已知函数：y=，当x=2时，函数值y为 ．
17．如果一组数据2、4、x、3、5的众数是4，那么该组数据的平均数是
18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE的度数为 ．
三、解答题
19．（1）÷-×+
（2）（+2）（﹣2）
20．已知与成正比例，且时，．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系（如图）中画出函数的图象；
（3）直接写出当时，自变量的取值范围．
21．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M．
（1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）
（2）求证：AE＝CF．
22．某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
(1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；
(2)假设销售负责人把每位营销员的月销售额定为300件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由．
23．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：GE＝FE；
（2）若DF＝3，求BE的长为___．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F，连接DC、AE．
（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝8，AC＝6，求四边形ADCE的面积；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．
25．某车间在3月份和4月份加工了A，B两种型号的零件，规定每名工人当月只加工一种型号的零件，且每名工人每个月加工A型（或B型）零件的数量相同，该车间加工A，B两种型号零件的人数与加工总量的情况如下表：
（1）求每名工人每个月加工A型或B型零件的数量各是多少个．
（2）5月份该车间将加工两种零件的总人数增加到80人，且每人的工作效率不变，设加工A型零件的工人有人，5月份加工总量为个，求与的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若加工A型零件的数量不得超过B型零件的5倍，且不少于4200个，则5月份该车间加工零件的数量将控制在什么范围之内？
26．如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
时间
3月
4月
型号
A
B
A
B
人数/人
25
20
20
10
加工个数
5400
4200
参考答案：
1．C
【分析】根据二次根式有意义的条件进行判断即可．
【详解】解：由于负数没有平方根，因此无意义，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，掌握负数没有平方根是正确判断的关键．
2．D
【详解】A．∵，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】由直线的解析式得到k＞0，b＜0，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．
【详解】解：∵y=2x-5，
∴k＞0，b＜0，
故直线经过第一、三、四象限．
不经过第二象限．
故选：B．
【点睛】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定．
4．D
【分析】先根据二次根式的乘法运算以及二次根式的性质化简，进而估算的范围，即可求得的范围．
【详解】
故选D
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算与二次根式的性质，无理数的估算，将已知式子化简是解题的关键．
5．B
【分析】分别根据平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的性质、矩形的判定逐项判断即可．
【详解】解：A．平行四边形的对角相等是真命题，不符合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，假命题，符合题意；
C．正方形的对角线相等且互相垂直是真命题，不符合题意；
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查判断命题的真假、平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答本题的关键．
6．C
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AO的长，进而可求出AC的长．
【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴，，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∴，
∴AC＝2AO＝12，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
7．A
【分析】将点代入，求出m，得到A点坐标，再把A点坐标代入，即可求出a的值．
【详解】解：函数过点，
，
解得：，
，
函数的图象过点A，
，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
8．D
【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
【详解】根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，
∴BP＝＝4.8．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．C
【分析】由旋转的性质可得，，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得：，，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．B
【分析】由于书法大赛设置了10个获奖名额，共有21名选手进入决赛，根据中位数的意义分析即可．
【详解】解：将21名选手进入决赛不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有11个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了，
故选B．
【点睛】本题主要考查中位数，以及相关平均数、众数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键.
11．D
【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），根据经过一、二、三象限判断出k的符号，根据一次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线l经过一、二、三象限，
∴k＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵直线l过点（﹣2，3）．点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1），
∴c＜﹣2，3＜b＜a，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．A
【分析】根据尺规作图的痕迹，MN是AC的垂直平分线、AM是的平分线，再根据矩形的性质即可得到结论．
【详解】解：根据尺规作图的痕迹，得：MN是AC的垂直平分线、AM是的平分线，且交点M在CD上，
∴AM=MC，∠MCA=∠MAC=∠DAM．
∵AB//CD，
∴∠MCA=∠CAB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MCA=30°，∠CMN=60°．
∴直线MN与CB相交，且夹角为30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
13．D
【分析】连接交于点，根据菱形的性质求出AB，AC+BC的长，故可求解．
【详解】如图，连接交于点．
在菱形中，，，
橡皮筋被拉长后的长度为．
∵，
∴，为等边三角形，
，．
在中，由勾股定理得，．
则橡皮筋被拉长前的长度，再次被拉长的长度是，
故选D．
【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及菱形的特点．
14．C
【分析】过点A作AE⊥，垂足为E，过点C作CF⊥，垂足为F，交于点G，证明△ABE≌△BCF，得到BF=AE=3，CF=4，运用勾股定理计算即可．
【详解】过点A作AE⊥，垂足为E，过点C作CF⊥，垂足为F，交于点G，
∵∥∥，
∴CG⊥，
∴AE=3，CG=1，FG=3，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=3，CF=4，
∴BC==5，
∴AC==5，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线间的距离，三角形的全等和性质，勾股定理，熟练掌握三角全等判定，灵活运用勾股定理是解题的关键．
15．
【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．
【详解】解：
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．
16．5
【分析】根据一次函数中分段函数自变量的取值范围，可以确定当时，，代入计算即可．
【详解】当时，
∴当时，
故答案为：5
【点睛】本题主要考查一次函数中分段函数的取值问题，确定对应的函数解析式是解题的关键．
17．3.6
【分析】根据这组数据的众数是4，求出x的值，根据平均数的公式求出平均数．
【详解】解：∵这组数据的众数是4，
∴x=4，
∴．
故答案为：3.6．
【点睛】本题考查的是平均数的计算公式和众数的概念，掌握平均数的计算公式和众数的确定方法是解题的关键．
18．15°/15度
【分析】先求出∠BAE的度数，然后在等腰三角形ABE中已知顶角可求出底角的度数．
【详解】∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°
∵△ADE是等边三角形
∴AD=AE，∠DAE=60°
∴AB= AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°
∴∠ABE=
故答案为15°
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．（1）4+ ；（2）-1．
【分析】（1）按照二次根式的四则混合运算法则计算即可；
（2）运用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）÷-×+
=-+
=4-+
=4+ ；
（2）（+2）（﹣2）
=
=3-4
=-1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的四则混合运算以及平方差公式，掌握二次根式的运算法则成为解答本题的关键．
20．（1）；（2）见解析；（3）
【详解】分析：（1）根据正比例的定义设y+4=kx（k≠0），然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；
（2）求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可；
（3）根据图象可得结论．
详解：（1）∵y+4与x成正比例，∴设y+4=kx（k≠0）．
∵当x=6时，y=8，∴8+4=6k，解得：k=2，
∴y+4=2x，
∴函数关系式为：y=2x﹣4；
（2）当x=0时，y=﹣4，
当y=0时，2x﹣4=0，解得：x=2，
所以，函数图象经过点（0，﹣4），（2，0），
函数图象如图：

（3）由图象得：当﹣4≤y≤0时，自变量x的取值范围是：0≤x≤2．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的作法，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用基本作图作∠BCD的平分线；
（2）先利用平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则∠BAE=∠DCF，∠ABE=∠CDF，然后证明△ABE≌△CDF，从而得到结论．
【详解】（1）解：如图，CN为所作；

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAE=∠BAD，∠DCF=∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，作已知角的角平分线．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)平均数为320件，中位数为210件，众数为210件
(2)不合理，理由见解析
【分析】（1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
（2）根据表中数据和平均数、中位数和众数的意义回答．
【详解】（1）平均数（件），
∵最中间的数据为210，
∴这组数据的中位数为210件，
∵210是这组数据中出现次数最多的数据，
∴众数为210件；
（2）不合理，理由：因为15人中有13人的销售额不到320件，320件虽是所给一组数据的平均数，它却不能很好地反映销售人员的一般水平．销售额定为210件合适些，因为210件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额．
【点睛】此题考查了学生对中位数，众数，平均数的掌握情况．它们都是反映数据集中趋势的指标．
23．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，则可得出GE＝FE；
（2）设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，根据勾股定理，可以求出BE的长．
【详解】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE；
（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
24．（1）菱形，理由见解析；（2）；（3）AC＝BC，证明见解析
【分析】（1）由题意容易证明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四边形ADCE为菱形；
（2）根据解三角形的知识求出AC和DF的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形ADCE的面积；
（3）应添加条件AC＝BC，证明CD⊥AB且相等即可．
【详解】证明：（1）∵平行四边形BCED，
∴CE∥BD，CE＝BD，
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∴CE∥AD，CE＝AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又BC∥DE，
∴∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DE，
故四边形ADCE为菱形；
（2）在Rt△ABC中，
∵AB＝8，AC＝6，
∴BC＝，
∵D为AB中点，F也为AC的中点，
∴DF＝，
∴四边形ADCE的面积＝AC×DF＝6；
（3）应添加条件AC＝BC．
证明：∵AC＝BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC＝90°．
由（1）知：四边形ADCE为菱形，
∴四边形ADCE为正方形．
【点睛】本题主要考查正方形的判定、菱形的判定与性质和勾股定理等知识点，此题是道综合体，有一定的难度，解答的关键还是要能熟练掌握各种四边形的基本性质．
25．（1）该车间每名工人每个月加工A型零件200个或B型零件20个；（2）；（3）将控制在5380个至6280个的范围之内．
【分析】（1）设该车间每名工人每个月加工A型零件个或B型零件个，根据题意列二元一次方程组即可求解；
（2）加工A型零件的工人有人，则加工B型零件有人，根据（1）中的结果，即可求得与的函数关系式；
（3）根据A型零件的数量不得超过B型零件的5倍，且不少于4200个，列一元一次不等式，求得的范围，从而求得的范围．
【详解】解：（1）设该车间每名工人每个月加工A型零件个或B型零件个
根据题意得解得
答：该车间每名工人每个月加工A型零件200个或B型零件20个；
（2）若加工A型零件人，则加工B型零件人
根据题意，得；
（3）根据题意，得，解得
由于是正整数，
∴，且为正整数．
由（2）得，
∵，随的增大而增大，
∴当时，（个），
当时，（个）
答：5月份该车间加工零件的数量将控制在5380个至6280个的范围之内．
【点睛】此题考查了一次函数的综合应用，涉及到二元一次方程组的应用、函数关系式、一次函数的性质以及一元一次不等式，熟练掌握并运用相关基础知识是解题的关键．
26．（1）见解答；
（2）①；②见解答；
（3）是，∠MPN=30°．
【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；
（2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；
②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证；
（3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．
【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC=，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE=，
故答案为：；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：
如图，连接MN，
∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN=AD=FE=PN，
∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．
【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ．