昌都市第一高级中学2024届高三下学期高考模拟数学（理）试卷(含答案)

这是一份昌都市第一高级中学2024届高三下学期高考模拟数学（理）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，则( )
A.B.C.D.
2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，有一个数据被墨点覆盖，已知这组数据的平均数是91.5，则中位数是( )
A.91B.91.5C.92D.92.5
3．已知复数（其中i为虚数单位），则( )
A.1B.C.D.
4．随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，已知电磁波在空间中自由传播时能量损耗公式为,其中D为传输距离（单位：），F为载波频率（单位：），L为传输损耗（单位：）。若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60dB，则传输距离变为原来的( )
A.100倍B.50倍C.10倍D.5倍
5．下列给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数，又是以为周期的偶函数( )
A.B.C.D.y=(x∈R)
6．已知一个几何体的三视图如右图所示，其侧视图为四分之一圆，则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.
7．若双曲线C：的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为d，则d的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在中，，，，则的面积等于_________.
A.B.C.D.
9．函数在在区间上单调递增，则k得取值范围是( )
A.B.C.D.
10．已知圆锥的母线长为2，并且圆锥的侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
11．已知，是椭圆C：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
12．已知函数的图像关于原点对称，满足.若，则等于( )
A.-50B.50C.-2D.2
二、填空题
13．已知向量，夹角为，且，；则________.
14．在的展开式中，的系数为________.（用数字作答）
15．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，在取出球的编号互不相同的条件下，2号红球被取到的概率为___________.
16．已知函数，的最小值为________.
三、解答题
17．已知正项等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，.
（1）求与；
（2）设，数列的前n项和记为，求.
18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按，，，，分组，得到频率分布直方图如下：
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.
（1）写出频率分布直方图(甲)中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为，，试比较与的大小；(只需写出结论)
（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
（3）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望.
19．如图，在四棱锥中，底面的边长是2的正方形，，，F为上的点，且平面.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知抛物线，直线，过点作直线与C交于A，B两点，当时，P为中点.
（1）求C的方程；
（2）作，，垂足分别为，两点，若与交于Q，求证：.
21．已知函数，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若为函数的极值点，求证：.
22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（1）求C的极坐标方程；
（2）若直线与C相交于A，B两点，P为直线上的动点，求的最小值.
23．已知正数a，b，c满足.
（1）若，证明：.
（2）若，求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：
则
故选：D.
2．答案：B
解析：设被墨点覆盖的数据为x,
则
解得，
所以这8个数据从小到大排序为:87、89、90、91、92、93、94、96,所以中位数为,故选：B.
3．答案：D
解析：易知,则.
故选：D
4．答案：C
解析：由题意设是变化后的传输损耗,是变化后的载波频率,是变化后的传输距离,
则，①
②
由①②得，
即，即，
故传输距离变为原来的10倍,故选：C.
5．答案：B
解析：
不是周期函数,故排除A.
周期为,且根据正弦图象知在区间上是增函数,故B成立.是区间上的减函数,故排除C;在区间上是先增后减函数，故排除D.
故选：B.
6．答案：B
解析：由三视图可知,该几何体为四分之一圆柱,如图所示,
圆柱的底面半径为2，高为4,所以该几何体的体积为
.
故选：B.
7．答案：A
解析：因为双曲线，所以，由题意可知，则，由双曲线的定义知，.
故选：A
8．答案：B
解析：在中,由余弦定理得:
，
即
解得：,
所以
故选：B.
9．答案：B
解析：因为,所以.
由题意知,在上恒成立,所以在上恒成立,令,则,当时,，单调递增;当时,，单调递减,所以,故,所以k的取值范围为.
故选：B.
10．答案：D
解析：根据题意，设该圆雉的底面半径为r,高为h,母线长,
圆雉的侧面展开图的圆心角为,则有,变形可得：,
则该圆雉的高,则此圆雉的体积.
故选：D.
11．答案：D
解析：如图，
由题知直线
的方程为,直线的方程为,
过点P作轴,交x轴于点B.
，
解得
又为等腰三角形,,
，即
故选：D
12．答案：D
解析：因为图象关于原点对称，
所以且,
又因为,①
所以,
所以,②
所以,
所以,③
即的周期为4,
将代入①得：,
将代入②得:,
又因为,
所以,
将代入③得：,
所以,
所以
故选：D.
13．答案：
解析：,解得.
14．答案：40
解析：的展开式的通项公式为:
所求的系数为：.
故答案为：40.
15．答案：
解析：记“取出的编号互不相同”为事件A,“2号红球被取到"为事件B,
因为从编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球,随机取出2个的取法有种,
取出2个球编号相同的取法有4种,
所以球的编号互不相同的取法有种,
又因为“取出的球的编号互不相同且2号红球被取到”的取法有种,
所以在取出球的编号互不相同的条件下,2号红球被取到的概率为
故答案为：.
16．答案：
解析：因为
所以当时，取得最小值为.
故答案为：.
17．答案：（1），；
（2）
解析：（1）设正项等比数列的公比为，
由解得，
所以，.
（2）由（1）得，
所以，①
，②
①-②得
，
所以.
18．答案：（1）0.015；；
（2）0.42；
（3）0.9
解析：（1）由各小矩形的面积和为1可得：，
解之的；
由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在箱，
故.
（2）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.
则，.
所以.
（3）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
所以X的分布列为
所以X的数学期望.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）证明：平面，平面，，
，，平面，平面，
平面，.
（2）证明：是正方形，,
，，平面，平面,
平面，平面平面.
（3）取的中点H，连接，，，，
平面平面，平面，平面平面，
平面，是在平面内的射影.
就是与平面所成的角,
在等腰中，，H是的中点，,
在中，，,
，,
.
20．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）设，，
当时，的方程为即，
由可得，，
P为的中点，，，C的方程为；
（2）证明：当时，则四边形为矩形，Q为的中点，
由（1）可知P为的中点，
为的中位线，；
当与l不平行时，设与l相交于，不妨设从左至右依次为点A、B、M，如图，
由题意显然成立，只要证，即证，
又，，只要证，
即证，即证.
设直线的方程为，则，
由，解得.
由可得，，
，，
，得证；
综上，.
21．答案：（1）当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明见解析
解析：（1），定义域为，
所以，
当时，，故在上单调递增，
当时，由，得；由，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：函数，
因为为函数的极值点，所以，所以，
要证明不等式：成立，只需证，
令，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即，所以，，
当时，因为，，所以.
当时，因为，所以，所以，
要证成立，只需证，
即证对成立.
令，因为，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即时，成立.
综上所述，原不等式成立.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由，得，
所以，即
所以C的极坐标方程为；
（2）的普通方程为，
由直线的极坐标方程为，得其普通方程为，
联立，解得或，
即直线与C的交点坐标为，，不妨取，，
设，则，
所以当时，取得最小值.
23．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：由，得，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
又，
所以，
即，解得，
所以；
（2）若，则，即，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
令，，则，，
所以函数在上递增，则，
因为，
所以的最小值为.
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027