2024年浙江省杭州市中考数学三模练习试卷（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根据左视图即从左边观察得到的图形可得．
【详解】解：从左边看，可得如选项B所示的图形，
故选：B
杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．
数据80800用科学记数法表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：B．
某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，
则劳动实践小组有（ ）
A．75人B．90人C．108人D．150人
【答案】B
【分析】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数．
【详解】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20%=300，
劳动实践小组有：300×30%=90（人），
故选：B．
4. 如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，故D正确．
故选：D．
如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，
能让两个小灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：D．
如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，
现测得，，，则点A到的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案
【详解】解：过A作，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
7. 2024年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）

A．15B．16C．17D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解，
【详解】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选:．
8. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵，
∴是y随x的增大而增大，
是y随x的增大而减小，
又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近，
∴，
故选：B．
如图，四边形内接于，，．若，，
则的度数与的长分别为（ ）

A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
【答案】C
【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作于点E，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
10. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，
连结并延长交于点K，若平分，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点K作，设，先证得，可得，再证，可得，即，解出，再证，列比例式求解即可．
【详解】解：过点K作，设，
∵平分，
∴，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， 得到正方形与正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵
∴，
∴，
故选：C
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【解析】
【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，
假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm（结果保留）．

【答案】
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
14 .一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．
若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为，
，
去分母，得，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．
15. 如图，点，在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，
连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为2，则的值为 ．
【答案】36
【分析】先求解的坐标，再表示的坐标，利用 表示的坐标，
再利用在的图像上，列方程解方程即可得到答案．
【详解】解： 的横坐标为2，且在的图像上，


轴，



在的图像上，


（不合题意舍去），
故答案为：
16.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．
将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，
连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，
连接HE，则 ．

【答案】
【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）
17. 先化简，再求值：，其中．小明解答过程如图，
请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【答案】错误步骤的序号是①，过程见解析
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：错误步骤的序号是①．
；
当时，原式．
18 . 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》
是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．
某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，
就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，
根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，
请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
19.如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．

(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可．
（2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）
证明：连接、，

由（1）可知
，
在和中
．
20. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)、；
(2)4
(3)
【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；
（2）求得C的坐标，然后根据求得即可；
（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．
【详解】（1）解：把，两点的坐标代入，
得，
，解得，
则、，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点C，
∴，
∴，
∵、，
∴；
（3）解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，
∵，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得：，
∴点P的坐标为．
21. 某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，
已知信号塔与斜坡的坡顶B在同一水平面上，
兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为，
然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为．
（参考数据：，，）

(1)求坡顶B到地面的距离；
(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到1米）．
【答案】(1)坡顶到地面的距离为米；
(2)联通信号发射塔的高度约为米．
【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可，
从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
延长交于点，根据题意可得：米，，
然后设米，则米，
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，
最后在中，利用锐角三角函数的定义可，
从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，

斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，

由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
（米），
联通信号发射塔的高度约为米．
22. 如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．
(3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上确定一点M，使得是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【答案】(1)
(2)S有最大值，此时点的坐标为；
(3)点的坐标为或或或，过程见解析．
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，，
，解得．
抛物线的解析式为：；
（2）如图，过点作轴的垂线，交于点．
设直线的解析式为，由题意，得
，解得，
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值，
此时，
此时点的坐标为；
（3）解：在轴上存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
②当为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
③当为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，点的坐标为或或或．
23. 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
【答案】（1）∠E＝α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②
【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AG＝，原式 ①
②
③
当时，原式．