2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质（课件）

这是一份2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质（课件），共37页。PPT课件主要包含了二次函数性质综合题，课堂练兵，课后小练，典例精讲，考情分析，方法总结等内容，欢迎下载使用。

例 (2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
A、B点也在直线上已知条件代入直线解析式
解：(1)∵直线y＝x＋2经过点A，且点A在y轴上，∴点A横坐标为0，将x＝0代入解析式y＝x＋2中，得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)，∵直线y＝x＋2经过点B，点B的横坐标是4，∴将x＝4代入解析式y＝x＋2中，得y＝6，∴点B的坐标为(4，6).∴将点A(0，2)，点B(4，6)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2；
(2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；
P(m，m2－3m＋2)
PC=m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m
注意：点P在AB下方抛物线上，注意m取值范围
(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2，∴点P坐标为(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x轴交AB于点C，∴点C的坐标为(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴当m＝2时，PC有最大值，最大值为4，此时点P坐标为(2，0)；
(3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB恰好有一个交点，求n的取值范围．
观察图象，什么情况抛物线和线段有1个交点？
把点A和点B代入抛物线，判断n范围
①当抛物线经过点A时，与线段AB恰有一个交点，将点A(0，2)代入抛物线解析式，得(－ ＋n)2－ ＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为0＜n≤3；②当抛物线恰好经过点B时，与线段AB恰有一个交点，将B(4，6)代入抛物线解析式，得( ＋n)2－ ＝6，解得n1＝－5，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为－5≤n＜0.∴n的取值范围为－5≤n＜0或0＜n≤3.
(4)若原抛物线沿y轴向上平移后顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离及点F的坐标.
实质是求一对对应点距离
选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想
知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式
解题方法：顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式； ②顶点式：直接得到顶点坐标； ③交点式：化为顶点式求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得
解题方法：1.平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）； ②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确 定平移方式，通常通过顶点来确定；2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段 交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此 类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可；3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分类讨论思想，选择取值范 围的两端点的x值分别代入求解即可.
练习 (2022河北预测卷)如图，抛物线y＝－ x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.
(1)当k＝－1时．①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
②当－2≤x≤1时，求抛物线的最大值与最小值的差；
对称轴判断抛物线图象增减性
拓展：同侧只根据增减性求最值
(2)直线L：y＝6交y轴于点C，交抛物线于点M，N(M在N的左侧).当x≤ k时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，请直接写出此时k的值．
分情况讨论k时，最高点坐标，依据题干条件，判断求解
当k＜0时，如解图，当x≤ k时，最高点为R(k， k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，∴ k2＋4－6＝2，解得k＝－2 或k＝2 (舍去)；
练习1 (2022河北原创卷) 如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.
(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；
解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝ ，∴抛物线B－C－D的解析式为y＝ (x－4)2＋2.∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令 (x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，∵点A在y轴上，∴AB＝2；
(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？
(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝ (x－4)2＋2，∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－ (x－h)2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，将点D(6，3)，F(12，0)代入，∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－ (x－8)2＋4.
(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．
(3)由抛物线y＝－ (x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，设M(d，0)(8＜d＜12)，∴点P(d，－ (d－8)2＋4)，则SP＝d－8，PM＝－ (d－8)2＋4，∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－ (d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－ (d－10)2＋9，∵8＜d＜12，－ ＜0，∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0)
解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴将m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵点P为抛物线的顶点，∴点P的坐标为(1，－2)；
(2)若点Q的横、纵坐标都不小于0，当线段PQ取得最小值时，求△PCD的面积；