2023-2024学年第二学期济南市八年级数学期末模拟练习卷（含解答）

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1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．
下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线B． 三叶玫瑰曲线
C．蝴蝶形曲线D． 太极曲线
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可．
【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意；
B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意；
C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意；
D、太极曲线是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2．如果，那么下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】解：，
，，，．
故选：．
3．下列分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式，进而判断即可．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
．，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则，即．
故选：D．
5．如图，将旋转得到，经过点C，若，，则度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据平角的定义即可得．
【详解】解：∵将旋转得到，，
∴，
，
，
∵，
∴，
又，
，故D正确．
故选：D．
6 .小乐骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，若上坡速度为，下坡速度为，
则他上下坡的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式加减的应用；由题意知，设上下坡的路程是s，上坡速度为，下坡速度为，时间为，利用平均速度=总路程÷总时间即可解答．
【详解】设上下坡的路程是s，上坡速度为，下坡速度为，
∴上坡的时间=，下坡的时间=，
∴他上下坡的平均速度为．
故选D．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AB＝10，BC＝8，∠ACB＝90°，
则BD的长为（ ）

A．273B．73C．122D．62
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AO＝CO，BO＝DO，
∵AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=6，
∴CO＝AO＝3，
∴BO=BC2+OC2=64+9=73，
∴BD＝2BO＝273．
故选：A．
新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱。中汽协称，我国新能源汽车近两年来高速发展，
连续年位居全球第一，销量持续爆发式增长，年销量约为万辆，
到年销量达到万辆。若年平均增长率相同设为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用年销量年的销量(年平均增长率)2，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：．
故选：B．
在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E．若，，
则的长为（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】连接，设交于点O．证明四边形是菱形，再利用勾股定理求解．
【详解】解：连接，设交于点O．

∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由作图可知：，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴
∴，
故选：C．
10 .如图，已知是边长为的等边三角形，点是边上的一点，且，
以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论：
；四边形是平行四边形；
其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．连接，作于首先证明，根据可证明，再证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：作于．

都是等边三角形，
，
，
在与中，
，
，故正确；
，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，故正确，
，故正确，
，
，
，
，故错误，
都正确，
故选：C．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为___________．

【答案】140°
【解析】
【分析】根据正多边形的内角公式：一个内角的度数，代入即可得出答案．
【详解】解：代入正多边形的内角公式得：
正九边形的一个内角度数
故答案为：140°．
13．如图，直线与直线相交于点A，则关于x的不等式的解集为 ．

【答案】
【分析】以两函数图像交点为分界，比较直线在上面的部分，再以与交点为分界，比较直线再轴上面部分，同时满足的自变量的取值即为不等式的解集．
【详解】解：把代入中，得：，解得：；
根据图像可知，直线在上面的部分，且直线再轴上面部分的图像所对应的自变量为的解集：
即：不等式的解集为：；
故答案为：．
某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：
这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，
从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 元．
解：设售价为x元，
根据题意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，
解得：x＝50或x＝80，
从消费者的角度考虑，
x＝80舍去，
答：这种台灯的售价应定为50元．
故答案为：50．
15．已知关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】先将分式方程化成整式方程，求出方程的解为，再根据方程的解为非正数确定k的取值范围，要注意分式分母不为零的情况．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
由分式方程的解为非正数，得到，且，
解得：且．
故答案为：且
16 . 在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点．
若点为的中点，于，且，，则的长为 ．

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证明是等腰三角形，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理，求出，进而得到，再证明，得到，即可求出的长．
【详解】解：，
，，，
为的中点，
，
平分，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．）
17．因式分解：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
【详解】（1）解：

（2）解：
18 .解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，．
(2)．
【分析】（1）把方程化成一般式，用公式法解一元二次方程即可；
（2）先去分母，将分式方程变为整式方程，然后解整式方程求出的值，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1），
，
这里，，，
，
，．
（2），
方程两边同乘得：

解得：，
检验：把代入得：，
原方程的解为．
19．先化简，再求值：x2+2x+1x2+x÷（1+x2x−2x），其中x=3+1．
解：x2+2x+1x2+x÷（1+x2x−2x）
=(x+1)2x(x+1)÷(1+x2x−2x2x)
=x+1x÷1−x2x
=x+1x⋅x(1+x)(1−x)
=11−x，
当x=3+1时，原式=11−3−1=−33．
20．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）将△ABC向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，
画出平移后的图形△A1B1C1，并写出平移后△A1B1C1对应顶点的坐标；
（2）点A到直线BC的距离＝ ；
（3）将△ABC绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
A1（0，1），B1（2，1），C1（3，4）．
（2）设点A到直线BC的距离为h，
∵S△ABC=12×2×3=3，BC=12+32=10，
∴12×10×h＝3，
解得h=3105．
故答案为：3105．
（3）如图，△A2B2C2即为所求．
为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，
其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：
用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同
（1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？
（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，
每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，
则商店至少购进A类玩具多少个？
解：（1）设B的进价为x元，则A的进价是（x+3）元，
由题意得，
解得：x=15，
经检验x=15是原方程的解．
所以15+3=18（元）
答：A的进价是18元，B的进价是15元；
（2）设A玩具a个，则B玩具（100﹣a）个，
由题意得：12a+10（100﹣a）≥1080，
解得：a≥40．
答：至少购进A类玩具40个．
22．解答问题：
（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
（2）已知关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根．求k的取值范围．
解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根．
∴k≠0且Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4•k2•1＝24﹣4k＞0，
解得：k＜12且k≠0．
∴k的取值范围是k＜12且k≠0．
23 .如图，在中，过点作于点，点在上，，连接，．

求证：四边形是矩形；
若平分，且，，求矩形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据有一个角是度的平行四边形是矩形即可判定．
（2）首先证明，求出即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
在中，
，，
，
矩形的面积为．
24．对于正数，规定．
例如：，，．
(1)求值： ______ ； ______ ．
(2)猜想： ______ ．
(3)应用：请结合的结论，计算下面式子的值：．
【答案】(1)1，1
(2)1
(3)
【分析】根据新定义的运算法则进行计算即可；
根据规律得出答案；
利用加法的结合律以及中的规律得出答案．
【详解】（1）解：


，



，
故答案为：，；
（2）解：



，
故答案为：；
（3）解：原式

．
25 . 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与轴交于点，
与正比例函数的图像相交于点．

求此一次函数的解析式；
求出点的坐标，并直接写出不等式的解集；
若点在直线上，点在轴上，且以、、、为顶点四边形是平行四边形，
请直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据图像即可求解；
（3）设，，分两种情况：①为边时，②为对角线时，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点，与轴交于点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵一次函数的图像与正比例函数的图像相交于点，
∴，
解得：，
∴，
由图像得：不等式的解集为；
（3）设，，
①为边时，如图，
∴或，
解得：或，
∴点的坐标为或；

②为对角线时，如图，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．

（4）在本题的探究过程中，由（1）可知利用数形结合的思想，由（2）和（1）列方程可解答，利用了方程思想，由（3）运用了分类讨论的思想．
如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），
以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，

观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，
若已知AB＝2，，请求出GE的长
【答案】(1)①BC⊥CF；②BC＝CF＋CD
(2)BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，证出△DAB≌△FAC（SAS），由全等三角形的性质和余角的关系进而得到结论；
②由全等三角形的性质得到CF＝BD，进而得出结论；
（2）推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG＝BC＝4，推出GN＝CG−CN＝1，再由勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB＋∠ACF＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②由①得：△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD＋CD，
∴BC＝CF＋CD；
故答案为：BC＝CF＋CD；
（2）解：BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°−45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF−∠ACB＝135°−45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，
∴CD＝CF＋BC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：
∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴BC＝AB＝4，
∵AH⊥BC，
AH＝BC＝BH＝CH＝2，
∴DH＝CH＋CD＝3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，
在Rt△EGN中，由勾股定理得：EG＝ ．