2024年广东省深圳市南山区深圳湾学校中考数学三模试卷

这是一份2024年广东省深圳市南山区深圳湾学校中考数学三模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降5℃记作（ ）
A．+10℃B．﹣10℃C．+5℃D．﹣5℃
2．（3分）衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.127×1011B．0.5127×1011
C．5.127×1010D．5.127×107
4．（3分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（3分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）
A．26°B．30°C．36°D．56°
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6B．a2+a3＝a5
C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a4＝a2
7．（3分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（ ）cm．
A．B．C．D．
8．（3分）下列命题中叙述正确的是（ ）
A．若方差，则甲组数据的波动较小
B．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
C．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
D．对角线互相垂直且平分的平行四边形是正方形
9．（3分）某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54B．52C．50D．48
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：4a﹣ab2＝ ．
12．（3分）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为 ．
14．（3分）如图，在菱形ABOC中，AB＝4，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝ ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：．
17．（7分）先化简，然后在﹣1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．
18．（8分）某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（2）七年级代表队学生成绩的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
（3）八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 度，m的值是 ；
（4）该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．
19．（8分）某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，tanE＝，求⊙O的半径的长．
21．（9分）【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底出）杯子的个数x的变化而变化．
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分，为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想．补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出y与x的关系式；
（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
（3）如图4所示，O处为点光源，ND，MA分别为杯子上，下底面圆的半径，OA＝24cm，OD＝15cm，MA＝4cm．将这样足够数重的杯子按【发现问题】中的方式叠放．但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm．求：
①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数；
②此时叠放达到的最大高度．
22．（10分）已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的角平分线所在直线与直线BE相交于点F．
【探索发现】
（1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：EF＝DF；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，
①∠DEB的度数为 ；
②连接CF，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；
【拓展思考】
（3）若正方形的边长AB＝4，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降5℃记作（ ）
A．+10℃B．﹣10℃C．+5℃D．﹣5℃
【解答】解：如果温度上升10℃记作+10℃，那么下降5℃记作﹣5℃；
故选：D．
2．（3分）衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：该直口杯的左视图为：
故选：D．
3．（3分）辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.127×1011B．0.5127×1011
C．5.127×1010D．5.127×107
【解答】解：51270000000＝5.127×1010，
故选：C．
4．（3分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：甲的平均成绩＝90×60%+90×40%＝90（分），
乙的平均成绩＝95×60%+90×40%＝93（分），
丙的平均成绩＝90×60%+95×40%＝92（分），
丁的平均成绩＝90×60%+85×40%＝88（分），
∵93＞92＞90＞88，
∴乙的平均成绩最高，
∴应推荐乙．
故选：B．
5．（3分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）
A．26°B．30°C．36°D．56°
【解答】解：如图，
由题意得：AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝56°，
∵△ACD是△CDE的外角，∠E＝30°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠E＝26°．
故选：A．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6B．a2+a3＝a5
C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a4＝a2
【解答】解：A．a2×a3＝a5，故本选项不符合题意；
B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C．（﹣2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；
D．a6÷a4＝a2，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为（ ）cm．
A．B．C．D．
【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），
∴AB＝AC，
∵AC＝16，
∴AB＝×16＝8﹣8，
故选：C．
8．（3分）下列命题中叙述正确的是（ ）
A．若方差，则甲组数据的波动较小
B．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
C．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
D．对角线互相垂直且平分的平行四边形是正方形
【解答】解：若方差，则乙组数据的波动较小，故A错误，不符合题意；
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故B错误，不符合题意；
同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，故C正确，符合题意；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D错误，不符合题意；
故选：C．
9．（3分）某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意得：．
故选：D．
10．（3分）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54B．52C．50D．48
【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，
此时AD＝x，
∵ED⊥AB，
∴∠DEA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△CAB∽△EAD，
∴＝＝，
∴AE＝＝，
DE＝＝，
BE＝25﹣，
∴y＝BE•DE＝×（25﹣）×＝10x﹣，
当x＝10时，y＝76，
∴a＝76，
②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，
此时BD＝35﹣x，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
∴BE＝＝＝28﹣，
DE＝＝＝21﹣，
∴y＝DE•BE＝×（28﹣）×（21﹣）＝（14﹣）（21﹣），
当x＝25时，y＝24，
∴b＝24，
∴a﹣b＝76﹣24＝52，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：4a﹣ab2＝ a（2+b）（2﹣b） ．
【解答】解：原式＝a（4﹣b2）＝a（2+b）（2﹣b），
故答案为：a（2+b）（2﹣b）．
12．（3分）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 ．
【解答】解：把2个蛋黄粽分别记为A、B，3个鲜肉粽分别记为C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种，
即AB、BA、CD、CE、DC、DE、EC、ED，
∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是＝，
故答案为：．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为 ．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴的长为：＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在菱形ABOC中，AB＝4，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【解答】解：过C作CE⊥OB于E，
∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝4，
∴OC＝4，∠COB＝60°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝2，CE＝2，
∴点C的坐标为（﹣2，2），
∵顶点C在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，得k＝﹣4，
即y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝ ．
【解答】解：过点G作 GM⊥DE于M，如图，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴ED＝EC，
∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠DGE＝∠CGD，
∴△DGE∽△CGD，
∴，
∴DG2＝GE×GC，
∵∠ABC＝90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，
∴AD∥GM，
∴＝，∠MGE＝∠A，
∵，
∴，
设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，
∴EC＝DE＝10n，
∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn，
在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，
在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2，
∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，
即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2，
解得：k，
∴EM＝k，
∵GE＝3k，
∴GM＝＝＝k，
∴tanA＝tan∠EGM＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：．
【解答】解：
＝﹣1+2×﹣3+4
＝﹣1+﹣3+4
＝．
17．（7分）先化简，然后在﹣1，0，2中选一个你喜欢的x值，代入求值．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
∵x﹣2≠0，x+1≠0，
∴x≠2，﹣1，
∴当x＝0时，原式＝＝﹣2．
18．（8分）某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（2）七年级代表队学生成绩的平均数是 8 ，中位数是 8 ，众数是 7 ；
（3）八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 90 度，m的值是 25 ；
（4）该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．
【解答】解：（1）七年级10分的人数为20﹣2﹣6﹣5﹣4＝3（人），补全条形统计图如下：
（2）七年级学生成绩的平均数为＝8（分），
将七年级抽取的20人成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是＝8分，即中位数是8，
七年级抽取的20人成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7，
故答案为：8，8，7；
（3）1﹣40%﹣15%﹣5%﹣15%＝25%，即m＝25，
360°×25%＝90°，
故答案为：90，25；
（4）500×15%＝75（人），
答：该校八年级学生中有75名学生的成绩是9分．
19．（8分）某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：
（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？
（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？
【解答】解：（1）设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，
根据题意得：，
即，
解得：．
答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元；
（2）设第三次购进m个甲品牌耳机，则购进（200﹣m）个乙品牌耳机，
根据题意得：，
解得：30≤m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多能购进50个甲品牌耳机．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，tanE＝，求⊙O的半径的长．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD∥OC，
∴∠ODB＝∠DOC，∠OBD＝∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC，
∵OD＝OA，∠DOC＝∠AOC，OC＝OC，
∴△DOC≌△AOC（SAS），
∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠ODC＝∠A＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CE⊥OD，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：∵＝tanE＝，AC＝2，
∴AE＝2AC＝4，
∴CE＝＝＝2，
∵DC＝AC＝2，
∴DE＝CE﹣DC＝2﹣2，
∵∠ODE＝90°，
∴＝tanE＝，
∴OD＝DE＝×（2﹣2）＝﹣1，
∴⊙O的半径的长为﹣1．
21．（9分）【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底出）杯子的个数x的变化而变化．
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分，为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想．补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出y与x的关系式；
（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
（3）如图4所示，O处为点光源，ND，MA分别为杯子上，下底面圆的半径，OA＝24cm，OD＝15cm，MA＝4cm．将这样足够数重的杯子按【发现问题】中的方式叠放．但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm．求：
①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数；
②此时叠放达到的最大高度．
【解答】解：（1）依题意得：
y＝（x+1）x＝+x；
（2）当y＝36时，x＝36，
解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去），
答：第一层杯子的个数为8个；
（3）①∵第一层杯子的个数x个，且第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，
∴4×2x≤80，
解得x≤10，
x取最大值为10，
即第一层摆放杯子的个数是10，杯子的层数也是10，
∴杯子的总数为y＝（10+1）×10＝55（ 个）；
答：杯子最多能叠放10层和此时杯子的总数为55个；
②在图4Rt△OMA中，OA＝24cm，MA＝4cm，
∴OM＝＝＝4（cm），
∵ND∥MA，
∴△OND∽△OMA，
∴＝＝＝，
∴ON＝OM＝cm，
∴MN＝OM﹣ON＝cm，
∴10层杯子的高度是10MN＝×10＝15（cm），
答：杯子叠放达到的最大高度是15cm．
22．（10分）已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的角平分线所在直线与直线BE相交于点F．
【探索发现】
（1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出∠DAE的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：EF＝DF；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，
①∠DEB的度数为 45° ；
②连接CF，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；
【拓展思考】
（3）若正方形的边长AB＝4，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
【解答】解：（1）“尺规作图”补全图形如图：
证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
由旋转知，AB＝AE，
∴AE＝AD，
∵AF平分∠DAE，
∴∠EAF＝∠DAF，
在△EAF和△DAF中，
，
∴△EAF≌△DAF（SAS），
∴EF＝DF；
（2）①设∠EAB＝α，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝＝＝，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+α，
∵AE＝AD，
∴＝＝，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝＝45°；
故答案为：45°；
②，理由如下：
如图，连接DE、DB和DF，
∵EF＝DF，∠DEB＝45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝45°，
∴DE：DF＝：1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴∠BDC＝45°，BD：CD＝：1，
∴，
∴∠EDF﹣∠BDF＝∠BDC﹣∠BDF，即∠EDB＝∠FDC，
∴△DEB∽△DFC，
∴，
∴BE＝CF；
（3）当CE为对角线时，如图，
此时，BE＝BA+AE＝4+4＝8；
当CD为对角线时，如图，连接DB，
∵四边形ABCD为边长为6的正方形，
∴BD＝4，
同（1）可证：△EAF≌△DAF，
∴EF＝DF，
∵AD＝AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，
∴，
∴∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
同（2）②可证：△DEB∽△DFC，且，
设DF＝EF＝x，则DE＝，
∵四边形DECF为平行四边形，
∴DE＝CF，
∴BE＝CF＝DE＝＝2x，
∴BF＝BE+EF＝2x+x＝3x，
在Rt△DBF中，DF2+BF2＝BD2，
∴x2+（3x）2＝（4）2，
解得：x＝或﹣（舍去），
∴BE＝2x＝．
综上，BE＝8或．项目
作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
第一次
第二次
甲品牌耳机（个）
20
30
乙品牌耳机（个）
40
50
总费用（元）
10800
14600
第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
…
杯子的总数y
1
3
6
10
15
…
项目
作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
第一次
第二次
甲品牌耳机（个）
20
30
乙品牌耳机（个）
40
50
总费用（元）
10800
14600
第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
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杯子的总数y
1
3
6
10
15
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