2024年辽宁省抚顺市、本溪市、铁岭市、辽阳市、葫芦岛市中考数学模拟试卷+

这是一份2024年辽宁省抚顺市、本溪市、铁岭市、辽阳市、葫芦岛市中考数学模拟试卷+，共39页。试卷主要包含了选择题，四象限，则一次函数y＝k，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
2．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a3＝a5
C．（a﹣b）3＝a2+b2+2abD．（a2b7）3＝a6b21
4．（3分）下列调查中，适合普查的是（ ）
A．对于全年级学生的体质检查
B．对于生产烟花的安全的检查
C．对于长江水质的情况的调查
D．对于端午节上市的粽子食用安全的检查
5．（3分）某初中三年级男子足球队的年龄分布如下．则对于下列说法，正确的是（ ）
A．中位数为14.1岁，平均年龄为14.5岁
B．众数为15岁，平均年龄为14.1岁
C．中位数为14.5岁，平均年龄为14.1岁
D．众数为15岁，平均年龄为14岁
6．（3分）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）若反比例函数的图象分别在第二、四象限，则一次函数y＝k（x﹣1）的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DA：DC＝1：3，BD＝CD．E为线段BC上的一点，过点E作EF⊥AB，EG⊥CD．若BC＝2，则EF+EG的长为（ ）
A．2B．2C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为线段OB上的一点，OE：EB＝1：，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接OF交⊙O于点G，若BF＝2，则的长是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为t s，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为S cm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 ．
12．（3分）因式分解：16xy2﹣4x＝ ．
13．（3分）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ．
14．（3分）如图，直线MN∥PQ，△ABC的顶点A和C分别落在直线MN和PQ上，若AB平分∠MAC，CA平分∠BCQ，且∠PCB＝68°，则∠B的度数为 ．
15．（3分）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（9，3）．分别以点B、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点D、E．连接DE，交AB于点F．则点F的坐标为 ．
16．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，且∠ACB＝60°．将△ABC沿AC方向平移得△A'B'C'，连接A'B'．当∠A'BB'＝90°时，平移的距离为 ．
17．（3分）如图，A，B分别为反比例函数y＝（k＜0）上的点，连接OA并延长；C为x轴上的一点，连接CB并延长；OA，CP交于点P．若，且S△POC＝，则k＝ ．
18．（3分）已知△APB中，PA＝3，PB＝6，以AB为边向下作矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且∠AOD＝60°，连接PO，则PO的最大值为 ．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中﹣（﹣2）0．
20．（12分）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从A．书法、B．国画、C．合唱、D．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；
（2）在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计选择“A．书法”课程的学生有多少人；
（4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）小区绿化是城市绿化建设的重要组成部分，是改善生态环境，提高环境质量的重要因素．某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成900m2的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成800m2的绿化面积所用天数少1天．
（1）求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少m2？
（2）该小区需要绿化的面积为8000m2，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少？
22．（12分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；
（参考值：sin62°＝cs28°≈0.88，sin28°＝cs62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，活动主题为“关注普遍眼健康，共筑“睛”彩大世界”．某电商销售一款护眼贴，每盒的进价为50元，销售平台要求销售单价不低于56元，且获利不高于34%．根据销售经验，当销售单价为56元时，每周可售出200盒，销售单价每上涨1元，每周销售量减少10盒．现电商决定提价销售，设销售单价为x元，每周销售量为y盒．
（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当护眼贴的销售单价定为多少元时，该电商每周获利1440元？
（3）将护眼贴的销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，点F是射线BD上一点．
（1）如图①，点F在线段BD上，连接CF，当BF＝CF时，请直接写出BC与BF之间的数量关系；
（2）如图②，点E为线段AB上一点，连接EF，以EF为边向上构造等边△GEF，GF的延长线与射线BC交于点H，连接EH．请写出线段BE，BF，BH之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当DF＝BD，∠BFE＝15°时，请直接写出△GEH 与△ABC面积的比值．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上第一象限内时，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接CP，CE，当△PCE的面积被直线BC分成3：1两部分时，求出点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBA+∠OCB＝∠α，当tanα＝时，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
2024年辽宁省抚顺市、本溪市、铁岭市、辽阳市、葫芦岛市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
【分析】根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形，熟知中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a3＝a5
C．（a﹣b）3＝a2+b2+2abD．（a2b7）3＝a6b21
【分析】A．根据完全平方公式进行计算，然后判断即可；
B．先判断a2，a3是不是同类项，能否合并，然后判断即可；
C．根据完全平方公式和多项式乘多项式法则进行计算，然后判断即可；
D．根据幂的乘方和积的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴此选项的计算错误，
故此选项不符合题意；
B．∵a2，a3不是同类项，不能合并，
∴此选项的计算错误，
故此选项不符合题意；
C．∵（a﹣b）3
＝（a﹣b）2（a﹣b）
＝（a2﹣2ab+b2）（a﹣b）
＝a3﹣2a2b+ab2﹣a2b+2ab2﹣b3
＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，
∴此选项的计算错误，
故此选项不符合题意；
D．∵（a2b7）3＝a6b21，
∴此选项的计算正确，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、多项式乘多项式法则、积的乘方和幂的乘方法则．
4．（3分）下列调查中，适合普查的是（ ）
A．对于全年级学生的体质检查
B．对于生产烟花的安全的检查
C．对于长江水质的情况的调查
D．对于端午节上市的粽子食用安全的检查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．对于全年级学生的体质检查，适合全面调查，故本选项符合题意；
B．对于生产烟花的安全的检查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C．对于长江水质的情况的调查，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D．对于端午节上市的粽子食用安全的检查，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（3分）某初中三年级男子足球队的年龄分布如下．则对于下列说法，正确的是（ ）
A．中位数为14.1岁，平均年龄为14.5岁
B．众数为15岁，平均年龄为14.1岁
C．中位数为14.5岁，平均年龄为14.1岁
D．众数为15岁，平均年龄为14岁
【分析】根据众数和中位数、平均数的意义和计算方法进行计算即可．
【解答】解：根据表中的数据可得，15岁的队员人数最多，
故众数为15，
共有人数：2+5+4+7+2＝20（人），
故第10和11名队员年龄的平均值为中位数，
即中位数为：＝14．
平均数为×（12×2+13×5+14×4+15×7+16×2）＝14.1（岁），
故选：B．
【点评】本题考查众数和中位数、平均数，理解众数和中位数、平均数的意义是正确解答的前提．
6．（3分）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程和甲工程队每天比乙工程队多施工2米，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
7．（3分）若反比例函数的图象分别在第二、四象限，则一次函数y＝k（x﹣1）的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据反比例函数与一次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象分别在第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y＝k（x﹣1）＝kx﹣k，
∴一次函数不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的性质，熟练掌握两个函数性质是关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DA：DC＝1：3，BD＝CD．E为线段BC上的一点，过点E作EF⊥AB，EG⊥CD．若BC＝2，则EF+EG的长为（ ）
A．2B．2C．D．
【分析】连接DE，令AD＝x，由勾股定理求出AC＝＝2x，由勾股定理得到（4x）2+＝，求出x＝，即可得到AC＝2x＝2，由三角形面积公式得到BD•AC＝BD•EF+CD•GE，因此FE+EG＝AC＝2．
【解答】解：连接DE，
令AD＝x，
∵DA：DC＝1：3，
∴DC＝3x，
∵∠A＝90°，
∴AC＝＝2x，
∵BD＝CD＝3x，
∴AB＝3x+x＝4x，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴（4x）2+＝，
∴x＝，
∴AC＝2x＝2，
∵△BCD的面积＝△BDE的面积+△CDE的面积，EF⊥AB，EG⊥CD，CA⊥BD，
∴BD•AC＝BD•EF+CD•GE，
∴FE+EG＝AC＝2．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由勾股定理得到关于x的方程，由三角形面积公式得到FE+EG＝AC＝2．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为线段OB上的一点，OE：EB＝1：，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接OF交⊙O于点G，若BF＝2，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OD、BD，通过证得△ABD是等腰直角三角形得出OD⊥AB，进而证得OD∥FC，即可得到△DOE∽△FBE，得出＝，进一步得到∠BOF＝60°，OB＝2，然后根据弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OD、BD，
∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOD＝∠ABC，
∴OD∥FC，
∴△DOE∽△FBE，
∴＝，
∵OB＝OD，OE：EB＝1：，
∴tan∠BOF＝＝，
∴∠BOF＝60°，
∴BF＝2，
∴OB＝2，
∴的长＝＝π，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质解直角三角形以及弧长公式等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为t s，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为S cm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先求出当点N′落在AB上时，t的值，分0＜t≤2或2＜t≤6两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．
【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．
∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，
∴CT＝TN＝t（cm），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60°，
∴△MCT是等边三角形，
∴TM＝TC＝TN，
∴∠CMN＝90°，
∵MP∥AC，
∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，
∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，
∴BM＝MP，
∵∠CMP+∠MPN＝180°，
∴CM∥PN，
∵MP∥CN，
∴四边形CMPN是平行四边形，
∴PM＝CN＝BM＝2t，
∴3t＝6，
∴t＝2，
如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，
∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．
如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，
观察图象可知，选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为 1.41178×109 ．
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，进行求解即可出得出答案．
【解答】解：1411780000＝1.41178×109．
故答案为：1.41178×109．
【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练应用科学记数法进行求解是解决本题的关键．
12．（3分）因式分解：16xy2﹣4x＝ 4x（2y+1）（2y﹣1） ．
【分析】提取4x后，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4x（4y2﹣1）
＝4x（2y+1）（2y﹣1）．
故答案为：4x（2y+1）（2y﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则该小球停留在阴影部分的概率是 ．
【分析】若将每个方格地砖的面积记为4，则图中地砖的总面积为36，其中阴影部分的面积为7，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：若将每个方格地砖的面积记为4，则图中地砖的总面积为36，其中阴影部分的面积为7，
所以该小球停留在黑色区域的概率；
故答案为：．
【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比．
14．（3分）如图，直线MN∥PQ，△ABC的顶点A和C分别落在直线MN和PQ上，若AB平分∠MAC，CA平分∠BCQ，且∠PCB＝68°，则∠B的度数为 96° ．
【分析】由邻补角的性质求出∠BCQ＝180°﹣68°＝112°，由角平分线定义得到∠ACQ＝∠ACB＝∠BCQ＝56°，由平行线的性质推出∠MAC＝∠ACQ＝56°，由角平分线定义求出∠BAC＝∠MAC＝28°，由三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠PCB＝68°，
∴∠BCQ＝180°﹣68°＝112°，
∵CA平分∠BCQ，
∴∠ACQ＝∠ACB＝∠BCQ＝56°，
∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝∠ACQ＝56°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠BAC＝∠MAC＝28°，
∴∠B＝180°﹣56°﹣28°＝96°．
故答案为：96°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出∠MAC＝∠ACQ＝56°，由三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
15．（3分）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（9，3）．分别以点B、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点D、E．连接DE，交AB于点F．则点F的坐标为 （，） ．
【分析】如图，过点B作BH⊥x轴于点H，设OA＝AB＝x．利用勾股定理求出x，可得结论．
【解答】解：如图，过点点B作BH⊥x轴于点H，设DE交x轴于G，OA＝AB＝x．
∵B（9，3），
∴BH＝3，OH＝9，AH＝9﹣x，
在Rt△ABH中，则有x2＝32+（9﹣x）2，
∴x＝5，
∴OA＝AB＝BC＝5，
∴A（5，0），
∴DE垂直平分线段BC，
∴GH＝BC＝2.5，
∴OG＝6.5，
∴AG＝1.5，AH＝4，
∵FG∥BH，
∴△AFG∽△ABH，
∴，
∴，
∴FG＝，
∴F（），
故答案为：（）．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
16．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，且∠ACB＝60°．将△ABC沿AC方向平移得△A'B'C'，连接A'B'．当∠A'BB'＝90°时，平移的距离为 ．
【分析】根据平移的性质和平行线的性质，可以得到∠BA′A＝∠BA′C＝90°，再根据勾股定理，即可求得平移的距离．
【解答】解：由题意可得，
BB′∥AA′，∠A'BB'＝90°，
∴∠A'BB'＝∠BA′A＝90°，
∴∠BA′C＝90°，
设AA′＝x，则A′C＝2﹣x，
∵AB＝3，AC＝2，∠ACB＝60°，∠BA′A＝∠BA′C＝90°，
∴AB2＝A′B2+A′A2，BC＝2A′C＝2（2﹣x），
∴A′B2＝9﹣x2，
∴[2（2﹣x）]2＝（2﹣x）2+（9﹣x）2，
解得x＝或x＝（舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（3分）如图，A，B分别为反比例函数y＝（k＜0）上的点，连接OA并延长；C为x轴上的一点，连接CB并延长；OA，CP交于点P．若，且S△POC＝，则k＝ ．
【分析】过点P，A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，F，H，连接OB并延长交DP的延长线于G，则S△OAF＝|k|，S△OBH＝|k|，证△OAF∽△OPD得，则S△OPD＝2|k|，证△OBC∽△GBP得，则，再证△OBH∽△OGD得，则S△OGD＝|k|，由此得S△OPG＝S△OGD﹣S△OPD＝|k|，然后根据得S△OPB＝×S△POC＝，再根据得S△PBG＝2S△OPB＝，进而得S△OPG＝S△OPB+S△PBG＝，据此可得|k|＝，由此可得k的值．
【解答】解：过点P，A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，F，H，连接OB并延长交DP的延长线于G，如下图所示：
∵点A，B分别为反比例函数（k＜0）上的点，
∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAF＝|k|，S△OBH＝|k|，
∵PD⊥y轴，AF⊥y轴，BH⊥y轴，
∴AF∥PD∥BH，
∴△OAF∽△OPD，
∴
∴S△OPD＝4×S△OAF＝4×|k|＝2|k|，
∴，
∴，
∵PG∥OC，
∴△OBC∽△GBP，
∴，
∴，
∵BH∥DG，
∴△OBH∽△OGD，
∴，
∴S△OGD＝9S△OBH＝9×|k|＝|k|，
∴S△OPG＝S△OGD﹣S△OPD＝|k|﹣2|k|＝|k|，
∵，△OCB的边BC和△OPB的边PB上的高相同，
∴，
∴S△OPB＝×S△POC＝＝，
∵，△OPB的边OB和△PBG的边BG上的高相同，
∴，
∴S△PBG＝2S△OPB＝，
∴S△OPG＝S△OPB+S△PBG＝＝，
∴|k|＝，
解得：|k|＝，
∵k＜0，
∴k＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
18．（3分）已知△APB中，PA＝3，PB＝6，以AB为边向下作矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且∠AOD＝60°，连接PO，则PO的最大值为 ．
【分析】如图，在AP的右侧取一点J，使得JA＝JP，∠AJP＝120°．连接AJ，JP，OJ，过点J作JH⊥AP于点H，根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：如图，在AP的右侧取一点J，使得JA＝JP，∠AJP＝120°．连接AJ，JP，OJ，过点J作JH⊥AP于点H．
∴JA＝JP，JH⊥AP，
∴AH＝PH＝AP，
∵∠AJP＝120°，
∴∠JAP＝∠JPA＝30°，
∴PJ＝2JH，
∴PJ＝，JH＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠PAJ＝∠DAO，
∴∠PAD＝∠JAO，
∵，
∴△PAD∽△JAO，
∴，
∴JO＝2，
∵OP≤JP+OJ＝+2＝3，
∴OP的最大值为3．
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中﹣（﹣2）0．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据负整数指数幂、零指数幂求出x的值，代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝÷[﹣]
＝÷
＝÷•
＝，
当x＝（）﹣1﹣（﹣2）0＝3﹣1＝2时，原式＝＝4．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、负整数指数幂、零指数幂的运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（12分）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从A．书法、B．国画、C．合唱、D．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 200 人；
（2）在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为 108° ，请补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计选择“A．书法”课程的学生有多少人；
（4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率．
【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次被调查的学生人数．
（2）用360°乘以选择C课程的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中选择A课程的人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小华所选的课程恰好相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有80÷40%＝200（人）．
故答案为：200．
（2）在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为360°×＝108°．
故答案为：108°．
选择“D．水彩画”的人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人）．
补全条形统计图如图所示．
（3）1200×＝240（人）．
∴估计选择“A．书法”课程的学生约240人．
（4）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果有：（A，A），（B，B），（C，C），（D，D），共4种，
∴小明和小华所选的课程恰好相同的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）小区绿化是城市绿化建设的重要组成部分，是改善生态环境，提高环境质量的重要因素．某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成900m2的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成800m2的绿化面积所用天数少1天．
（1）求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少m2？
（2）该小区需要绿化的面积为8000m2，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是x m2，则甲工程队每天能完成的绿化面积是1.5x m2，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队单独完成900m2的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成800m2的绿化面积所用天数少1天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即乙工程队每天能完成的绿化面积），再将其代入1.5x中，即可求出甲工程队每天能完成的绿化面积；
（2）设应安排甲工程队工作y天，则应安排乙工程队工作（40﹣y）天，根据要使这次的绿化总费用不超过11万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是x m2，则甲工程队每天能完成的绿化面积是1.5x m2，
根据题意得：﹣＝1，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合实际，
∴1.5x＝1.5×200＝300（m2）．
答：甲工程队每天能完成的绿化面积是300m2，乙工程队每天能完成的绿化面积是200m2；
（2）设应安排甲工程队工作y天，则应安排乙工程队工作＝（40﹣y）天，
根据题意得：0.35y+0.3（40﹣y）≤11，
解得：y≥10，
∴y的最小值是10．
答：至少应安排甲工程队工作10天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；
（参考值：sin62°＝cs28°≈0.88，sin28°＝cs62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．
【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．
【解答】解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，
∵AE⊥BD，
∴OG∥AE，
∵BO＝DO，
∴OG平分∠BOD，
∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，
∴∠EAB＝∠BOG＝28°，
在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），
∴AE＝AB•cs∠EAB＝150×cs28°≈150×0.88＝132（cm），
答：点A离地面的高度AE约为132cm；
（2）∵OG∥AE，
∴∠EAB＝∠BOG，
∵CF⊥BD，
∴CF∥OG，
∴∠DCF＝∠DOG，
∵∠BOG＝∠DOG，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△CFD，
∴＝，
∴CF＝＝＝100（cm），
答：C点离地面的高度CF为100cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是综合运用锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，活动主题为“关注普遍眼健康，共筑“睛”彩大世界”．某电商销售一款护眼贴，每盒的进价为50元，销售平台要求销售单价不低于56元，且获利不高于34%．根据销售经验，当销售单价为56元时，每周可售出200盒，销售单价每上涨1元，每周销售量减少10盒．现电商决定提价销售，设销售单价为x元，每周销售量为y盒．
（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当护眼贴的销售单价定为多少元时，该电商每周获利1440元？
（3）将护眼贴的销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）依据题意，由当销售单价为56元时，每周可售出200盒，销售单价每上涨1元，每周销售量减少10盒，列出函数关系式，并根据销售单价不低于56元，且获利不高于34%，求出自变量的取值范围；
（2）依据题意，根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价）列出一元二次方程，在自变量范围内求解即可；
（3）依据题意，根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每周的销售利润w与销售价x之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）由题意，y＝200﹣10（x﹣56）＝﹣10x+760．
∵销售单价不低于56元，且获利不高于34%，
∴．
∴56≤x≤67．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+760（56≤x≤67）．
（2）根据题意，得（x﹣50）（﹣10x+760）＝1440，
∴x2﹣126x+3944＝0．
∴x1＝58，x2＝68．
∵56≤x≤67，
∴x＝58．
答：当护眼贴的销售单价定为58元时，该电商每周获利1440元．
（3）由题意，设每周的销售利润为w元，
∴w＝（x﹣50）（﹣10x+760）
＝﹣10x2+1260x﹣38000 ）
＝﹣10（x﹣63）2+1690．
∵﹣10＜0，56≤x≤67，
∴当 x＝63时，w取得最大值，w最大＝1690．
答：将护眼贴的销售单价定为63元时，每周的销售利润最大，最大利润是1690元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA＝∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x＝1，即⊙O的半径为3．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥BC，
∴＝，
∵CD＝4，CE＝6，
∴＝＝，
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
∴（3x）2+42＝（5x）2，
解得，x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，点F是射线BD上一点．
（1）如图①，点F在线段BD上，连接CF，当BF＝CF时，请直接写出BC与BF之间的数量关系；
（2）如图②，点E为线段AB上一点，连接EF，以EF为边向上构造等边△GEF，GF的延长线与射线BC交于点H，连接EH．请写出线段BE，BF，BH之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当DF＝BD，∠BFE＝15°时，请直接写出△GEH 与△ABC面积的比值．
【分析】（1）作FM⊥BC于M，根据三线合一得出∠DBC＝30°，利用30°的余弦值求出，就可求出BC与BF之间的数量关系．
（2）在射线BC上取一点M，使FM＝FB，构造全等三角形，得到BE＝HM，BE+BH＝BM，再得出BM＝BF，即可得出．
（3）点F的位置有两种可能：①点F在线段BD上，②点F在BD的延长线上．
【解答】解：（1）作FM⊥BC于M．
等边△ABC中，BD⊥AC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵BF＝CF，FM⊥BC，
∴BC＝2BM．
∵cs30°＝
∴，
∴BM＝，
；
（2），理由如下：
如图2，在射线BC上取一点M，使FM＝FB．
∵△GEF为等边三角形，
∴∠GFE＝60°，∠EFH＝120°
∴∠EFB+∠BFH＝120°，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴．∠FBM＝∠FBE＝30°，
∵FB＝FM，
∴∠FMB＝∠FBM＝∠FBE＝30°，
∴∠BFM＝180°﹣∠FMB﹣∠FBM＝120°，
∴∠BFH+∠HFM＝120°，
∴∠EFB＝∠HFM，
∴△EFB≌△HFM（ASA），
∴BE＝HM，EF＝FH，
∴BE+BH＝BM．
由（1）得 BM＝BF，
即 ．
（3）点F的位置有两种可能：
①点F在线段BD上，如图：
由（2）得：EF＝FH，
∵等边三角形中，EF＝GE＝GF，∠G＝∠GFE＝∠GEF＝60°，
∴EF＝FH＝GE＝GF．
∴∠EFH＝120°，
∴∠FEH＝∠FHE＝30°，
∴∠GEH＝90°．
∴EH＝GE，
∴S△GEF＝＝．
Rt△BFM中，∠FBM＝30°，
BF＝2FM，∠BFM＝60°，
∠MFH＝∠EFH﹣∠EFB﹣∠BFM＝120°15﹣60＝45°．
∵∠FMC＝90°，
∴FM＝MH，
∴FH＝FM，
设DF＝x，则BD＝3x，BF＝2x，
FM＝x，FH＝x，
GE＝x，
∵，
∴BC＝2x，
S△ABC＝＝＝3x2．
S△GEF＝（）2＝，
∴△GEH 与△ABC面积的比值为．
②点F在BD的延长线上，作FN⊥BC，垂足为N．
或 ．
设DF＝x，
∵DF＝BD，
∴BD＝3x，BF＝4x，
∴FN＝2x，FH＝2x，GE＝EF＝FH＝2x，
∴S△GEF＝＝4x2，
∴S△ABC＝3x2，
∴△GEH 与△ABC面积的比值为．
所以△GEH 与△ABC面积的比值为或．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、三线合一，全等三角形的判定和性质、三角函数，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上第一象限内时，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接CP，CE，当△PCE的面积被直线BC分成3：1两部分时，求出点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBA+∠OCB＝∠α，当tanα＝时，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y＝﹣x2+x+c中即可求解；
（2）先求直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设点P（t，﹣t2+3t+4），则D（t，﹣t+4），E（t，0），则有PD＝﹣t2+4t，DE＝t+4，分S△CPD＝3S△CDE或 S△CDE＝3S△CPD两种情况求解；
（3）分两种情况讨论：当点P在轴的上方时，作点C关于轴的对称点D，则点D（0，﹣4），连接BD，PB，过点P作PE⊥x轴，重足为E，过点P作PG⊥BD，重足为G，PE，BD的延长线交于点F，设PG＝3k，则BG＝2k，FG＝3k，BF＝5k，求出P坐标为（4﹣k，k），再将P点坐标代入函数解析式即可求解；当点P在冲轴的下方时，连接PB，过点P作PQ⊥x轴，重足为Q，过点P作PM⊥BC，垂足为M，PQ，BC的延长线交于点N，设PM＝3n，则BM＝2n，MN＝3n，BN＝5n，求出点P的坐为（4﹣n，﹣n），再将P点坐标代入函数解析式即可求解．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y＝﹣x2+x+c中，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，4）代入，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设点P（t，﹣t2+3t+4），则D（t，﹣t+4），E（t，0），
则有PD＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，DE＝t+4，
当△PCE的面积被直线BC分成3：1两部分时，
有S△CPD＝3S△CDE或 S△CDE＝3S△CPD两种情况，
∵△CPD与△CDE同高，
∴PD＝3DE或DE＝3PD，
当PD＝3DE时，﹣t2+4t＝3（﹣t+4），
解得：t＝3或t＝4（舍去），
∴P（3，4）；
当DE＝3PD时，﹣t+4＝3（﹣t2+4t），
解得：t＝或t＝4（合去），
∴P（，）；
综上所述：P点坐标为（3，4）或（，）；
（3）当点P在轴的上方时，
如图1，作点C关于轴的对称点D，则点D（0，﹣4），
∵点C（0，4），点D（0，﹣4），点B（4，0），
∴OC＝OB＝OD＝4，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠CDB＝45°，
连接BD，PB，过点P作PE⊥x轴，重足为E，过点P作PG⊥BD，重足为G，PE，BD的延长线交于点F，
∵PE∥CD，PG⊥BD，
∴∠EFB＝∠CDB＝∠FPG＝∠EBF＝45°＝∠OBC，
∴∠PBF＝∠EBF+∠PBA＝∠OCB+∠PBA＝∠α，PG＝GF，BE＝EF，
∵tanα＝，
∴tan∠PBF＝，
∴＝，
设PG＝3k，则BG＝2k，FG＝3k，BF＝FG+BG＝5k，
∴EF＝BE＝BFsin45°＝k，PF＝3k，
∴PE＝PF﹣FE＝3k﹣k＝k，OE＝BE﹣OB＝k﹣4，
∴P坐标为（4﹣k，k），
∵点P在物线y＝﹣x2+3x+4上，
∴k＝﹣（4﹣k）2+3（4﹣k）+4，
解得k＝0（舍）或k＝，
∴P点的坐标为（﹣，）；
当点P在冲轴的下方时，如图2，
∵点C（0，4），点B（4，0），
∴OC＝OB＝4，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
连接PB，过点P作PQ⊥x轴，重足为Q，过点P作PM⊥BC，垂足为M，PQ，BC的延长线交于点N，
∵PN∥y轴，PM⊥BC，
∴∠QNB＝∠OCB＝∠NPM＝∠OBC＝45°，
∴∠PBN＝∠QBN+∠PBA＝∠OCB+∠PBA＝∠α，PM＝MN，QN＝BQ，
∵tanα＝，
∴tan∠PBN＝，
∴＝，
设PM＝3n，则BM＝2n，MN＝3n，BN＝MN+BM＝5n，
∴QN＝BQ＝BN•sin45°＝n，PN＝3n，
∴PQ＝PN﹣QN＝n，OQ＝BQ﹣OB＝n﹣4，
∴点P的坐为（4﹣n，﹣n），
∵点P在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，
∴﹣n＝﹣（4﹣n）2+3（4﹣n）+4，
解得n＝0（舍）或n＝，
∴P点坐标（﹣，﹣）；
综上所述：P点坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质、等高三角形的面积比等于对应高比、三角函数、待定系数法求解析式，分类讨论是解题是解题的关键．年龄（岁）
12
13
14
15
16
人数（人）
2
5
4
7
2
年龄（岁）
12
13
14
15
16
人数（人）
2
5
4
7
2
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）