2024浙江省普通高中高二下学期6月学业水平适应性考试数学含解析

这是一份2024浙江省普通高中高二下学期6月学业水平适应性考试数学含解析，共22页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷.等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本试题卷共4页，满分100分，考试时间80分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 已知，则复数在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为钝角，且，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积（ ）
A. B. C. D.
8. 若满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A B.
C. D.
10. 设为实数，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
11. 设的内心为，而且满足，则的值是（ ）
A. B. C. D.
12. 一个顶点为，底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）
13. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若时，
C. 若时，关于轴对称D. 恒过定点
14. 饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（ ）
A. 班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B. 班5月产生饮料瓶数第75百分位数
C. 已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间
D.
15. 已知函数,则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像是中心对称图形B. 的图像是轴对称图形
C. 是周期函数D. 存在最大值与最小值
16. 已知函数，则关于的方程根的个数可能是（ ）
A 0个B. 1个C. 2个D. 3个
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）
17. 已知函数，则______．
18. 已知函数最大值为，则常数的值为______，的单调递增区间为______.
19. 给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为______．
20. 为平面内一定点，，，与夹角为，，，，则所围成的面积为______.
四、解答题（本大题共3小题，共33分）
21. 已知内角的对边分别为，，
（1）求的取值范围
（2）求内切圆的半径的最大值
22. 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面．

（1）求平面与平面夹角的正弦值；
（2）求平面截四棱锥所得多边形的周长．
23. 已知函数
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）当时，（ⅰ）函数，（ⅱ）若关于x的方程有两个不同的实根且．求证：．2024年6月浙江省学业水平适应性考试
高二数学学科试题
考生须知：
1．本试题卷共4页，满分100分，考试时间80分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先化简计算，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：.
2. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将左右同时平方可求得的值，结合投影向量公式计算即可.
【详解】因为，所以，
又因，所以，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函数的定义域，从而求出函数的值域，最后求出补集.
【详解】由，即，解得或，
所以函数的定义域为集合，则值域为集合，
所以.
故选：D
4. 已知为钝角，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据同角三角函数基本关系式求出，再由两角和的余弦公式，结合角的范围，即可求解.
【详解】由于为钝角，且，
所以，
且，
所以，
所以，
故选：D.
5. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解．
【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，
则甲以4比2获胜的概率为．
故选：D．
6. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行的条件，得，求出即可.
【详解】,则，得.
故选：C.
7. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目条件求出球半径，再利用球的体积公式即可解答.
【详解】设截面圆半径为，球半径为，球心到截面的距离为.
根据题意可得：，，
则.
所以球的半径为，
所以球的体积为.
故选：C.
8. 若满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将两边底数化为同样，得到,对应相等，得出方程，解方程即可.
【详解】，得，得，得,求出.
故选：C.
9. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后甲的质量为：,
乙的质量为：，
由题意可知，，
所以.
故选：A.
10. 设为实数，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】若，而，则，
取，，此时，但，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
11. 设的内心为，而且满足，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】法一：将分别延长至，使，结合重心定义与面积公式可得，即可得，结合余弦定理的推论计算即可得.
法二：由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得.
【详解】法一：
将分别延长至，使，
则有，故是的重心，则有，
亦有，，
，
即，
设的内接圆半径为，有、、，
则有，
故.
故选：D.
法二：
由内心的向量表示知：，则，
故.
故选：D.
12. 一个顶点为，底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出辅助线，由三角形相似和圆锥体积得到各边关系，进而表达出正四棱锥的体积，令，则，，求导得到函数单调性，得到极值和最值.
【详解】如图所示，交平面于点，
设，，，
由∽得，即，
故，
则，故，
正方形的面积为，
则正四棱锥的体积为
，
其中令，
则，，
则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
最大值为.
故选：D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）
13. 已知幂函数，其中，则下列说法正确是（ ）
A. B. 若时，
C. 若时，关于轴对称D. 恒过定点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及性质，即可得到各选项的判断.
【详解】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的；
对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的；
对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的；
对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的；
故选：BC.
14. 饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（ ）
A. 班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B. 班5月产生饮料瓶数的第75百分位数
C. 已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由频率分布直方图的平均值、百分位数的计算公式即可得到选项.
【详解】A．平均值，故A正确.
B．，解得.
前4个矩形面积之和为0.7，前5个矩形面积之和为0.85，
故位于中，
所以，
解得，故B正确.
C．因为A班、B班产生饮料瓶数在之间的概率都是0.02，所以该校有学生1000人，
则5月份产生饮料瓶数在之间的饮料瓶数为，故C错误.
D．由B知，故D错误.
故选：AB.
15. 已知函数,则下列说法正确的是（ ）
A. 的图像是中心对称图形B. 的图像是轴对称图形
C. 是周期函数D. 存在最大值与最小值
【答案】BCD
【解析】
【分析】A,B,C选项可以根据函数对称性与周期性的定义进行验证.D选项需要换元,求导得出答案.
【详解】,
对于A选项,不为常数,故A错误.
对于B选项, ,则函数关于 对称. 故B正确.
对于C选项,,则函数周期为.故C正确.
对于D选项,令由于为偶函数,则只需要考虑部分即可.
则.故D正确.
故选:BCD.
16. 已知函数，则关于的方程根的个数可能是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】ABD
【解析】
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：
将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：ABD．
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）
17. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】借助分段函数性质代入计算即可得.
【详解】由，故，
则.
故答案为：.
18. 已知函数的最大值为，则常数的值为______，的单调递增区间为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先化简得，由函数最大值为，可计算，由可求得单调递增区间.
【详解】
，
当，即时，函数有最大值为，
所以，
由，
得，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：；
19. 给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，结合基本不等式计算即可得.
【详解】由题意可得，，
则，当且仅当时，等号成立，
则.
故答案为：.
20. 为平面内一定点，，，与夹角为，，，，则所围成的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得所围成的面积为以、为邻边的平行四边形的面积，结合面积公式计算即可得.
【详解】由，，，
则所围成的面积为以、为邻边的平行四边形的面积，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得出所围成的面积为以、为邻边的平行四边形的面积.
四、解答题（本大题共3小题，共33分）
21. 已知内角的对边分别为，，
（1）求的取值范围
（2）求内切圆的半径的最大值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，求得，结合正弦定理、三角恒等变换的化简和三角函数的性质即可求解；
（2）由（1），利用余弦定理和基本不等式的应用可得，的面积为，进而，即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
得，所以或，
解得或（舍去），又，
所以，又，由正弦定理得，则，
所以（），
由知，当时，取到最大值，
又，所以；
【小问2详解】
由（1），由余弦定理得，即，
得，即，
得，当且仅当时等号成立，所以.
的面积为，设的内切圆半径为，
则的面积为，所以，
又，所以，
则，
即的最大值为.
22. 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面．

（1）求平面与平面夹角的正弦值；
（2）求平面截四棱锥所得多边形的周长．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用两个平面的法向量的夹角来求两个平面的夹角正弦值；
（2）利用作垂线，作出截面，并找到它截四棱锥的截面四边形，再计算周长即可.
【小问1详解】

延长相交于点，连接，所以平面平面．
由于平面同时垂直于平面与平面，则，
由，中点为，可得，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由，，，可知四边形是等腰梯形，
所以两底角，则，又因为中点为，所以，
再因为，，
所以，而，所以，
又因为，所以三角形是等边三角形，即，
又因为，所以
再由，可解得，
由勾股定理，可得，
由可知：，再由勾股定理得：，
即，
由于，平面，所以就是平面与平面的夹角，
因为，，所以，
即，
故平面与平面BCED夹角的正弦值为.
【小问2详解】

过点作的垂线交于，垂足为，交连结，交于，
由于，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
现在又因为，，平面，
所以平面，即平面就是所要求作的平面，
它与四棱锥截面是四边形，
先解三角形，已知，，由余弦定理得：
，可得
解三角形，由余弦定理得：，
再解三角形，由三角形内角和为得：
再由正弦定理得：，
解得，由于，且，可得，
由对称性可知：，
故周长为．
23. 已知函数
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）当时，（ⅰ）函数，（ⅱ）若关于x的方程有两个不同的实根且．求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义，列式计算得解.
（2）（ⅰ）作差，分段去绝对值符号，再配方即可得证；（ⅱ）化函数为分段函数，确定单调区间及，再按不超过1和大于1推理论证.
【小问1详解】
函数的定义域为R，由函数为偶函数，得，
即，则，
所以.
【小问2详解】
（ⅰ），令，
则，
显然 所以.
（ⅱ），， 在上递减，上递增，
显然，由有两个不同的实根且，得， ，
当时，，关于对称，
此时，，即，
当时，，，由（ⅰ）得，
，当且仅当时等号成立，
，因此，
所以.
【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的分类标准、全面的考虑，若求解过程中，检验结果是否符合要求．