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八年级数学下册专题13特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折(折叠)模型(原卷版+解析)
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这是一份八年级数学下册专题13特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折(折叠)模型(原卷版+解析)，共56页。
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．3
例2．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合．连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为( )
A．B．C．D．
例3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，求的长．
例4．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点，，且．则的长为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点C与点A重合，则的长为（ ）
A．20B．18C．16D．15
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3B．C．D．
例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时， ．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A．B．C．D．2
例3．（2023·山东八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片中，，P为中点．折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为（ ）
A．3.5B．4.5C．5.5D．6.5
例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·湖南郴州·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4B．6＋4C．12D．8＋4
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm．
例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形中，，将其沿翻折，使，顶点恰好落在线段上的点处，点的对应点为点．则线段的长为 ．
例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·湖北随州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②③D．①③
4．（2023春·山西长治·八年级统考期末）如图，在菱形中，，将边沿折叠得到交于点，当为中点时，的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，，，折叠后，点C落在AD边上的处，并且点B落在边上的处．则BC的长为（ ）
A．6B．C．4D．
6．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，将菱形沿折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，cm，cm，则边AB的长度等于 ．
9．（2023·河北衡水·八年级校联考期中）如图，在矩形中，，，是边上一点，将矩形沿向上翻折，点落在点处，点落在点处，与交于点，设的长为．（1）当点与点A重合时，的长为 ；（2）当时，的取值范围是 ．
10．（2023·广东深圳·统考二模）如图，已知正方形纸片，，、分别是边、的中点，把边向上翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，且交于点，则的面积为 ．
11．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）在矩形中，，，点是边的中点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到延长与直线交于点，则的长为 ．
12．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，M为的三等分点（），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点N运动t秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边上，则t的值为 ．
13．（2023春·安徽淮南·八年级统考阶段练习）如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则（1）的长是 ；（2）折痕的长是 ．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．
15．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ．
16．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时， ．
17．（2023·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在边长为9的正方形中，为上一点，连接、，将四边形沿翻折，使点恰好落在上的处，若，则的长为 ．
18．（2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）求的长．
19．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形的折叠活动．
(1)操作与证明：①小李将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，如图1，若，则__________；②小张将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，如图2所示，求证：是等腰三角形；(2)迁移与应用：在（1）②的前提下，连接，如图3所示，若，，求的长．
20．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．
(1)求证：．(2)过点作交射线于点．①求的度数；②直接写出线段与之间的数量关系．
21．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．
观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．问题探究：（2）如图2，若，求的长．
拓展延伸：（3），若为的三等分点，请直接写出的长．
专题13 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据题意连接，证明，得出，在 中运用勾股定理即可解答；
【详解】连接，为矩形，
是的中点 由 翻折得到，
，，
，设 ，则 .
在和中
在 中即 解得：故选A
【点睛】该题考查了矩形知识点和勾股定理的运用，掌握矩形性质和勾股定理是解答该题的关键
例2．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合．连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由折叠可知 ， ，设 则在中，利用勾股定理可建立方程，解得，则 ，，再根据等腰三角形的性质得到，进而算出，设 则在中，利用勾股定理可建立方程，解得，则，再利用三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
四边形为矩形，，，，，，
由折叠可知， ， ，，，
设则在中，，
，解得：，，，
，四边形为矩形，，
，，，，
设则在中，，
，解得：，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
例3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，求的长．
【答案】
【分析】根据翻折的性质，证明，然后求出，最后根据勾股定理即可求出结果．
【详解】由翻折的性质可知，在与中，
，
，，，，
长方形，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
例4．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点，，且．则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质得出，，，证明，得出，，设，则，，求出，，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
根据题意得：，∴，，，
∵，，，∴，∴，，∴，
设，则，，∴，，
根据勾股定理得：，即，解得：，∴，故选：D
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点C与点A重合，则的长为（ ）
A．20B．18C．16D．15
【答案】D
【分析】设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，据此即可求解．
【详解】解：设，则，∵沿翻折后点C与点A重合，∴，
在中，，即，解得，
∴，由翻折的性质得，，
∵矩形的对边，∴，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质．
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3B．C．D．
【答案】D
【分析】在上截取，连接，证明，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积．
【详解】解：在上截取，连接，
由折叠得：，又，，
，最短时，也就最短，而当时，最短，
此时，点为矩形的对称中心，，即的最小值是4，
在中，点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．过点作，
点为矩形的对称中心， ，中，，
中，，，
面积的最小值是．故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到最小值．
例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时， ．
【答案】3
【分析】利用矩形和翻折的性质求出，，，，在中利用勾股定理求出，设，则，，，根据可构建关于x的方程，然求解即可解答．
【详解】解：在矩形中，，，∴，，
∵翻折，∴，，，，∴，
又，∴，设，则，，，
∴，∴，∴．故答案为：3．
【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
【答案】(1)45；2(2)；(3)2或
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出；设，用x表示出的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出的长；（2）如图，由折叠性质和平分，得出，即可求出的度数；先证明和是等腰直角三角形，得出，，即可求出的长； （3）根据F为的三等分点，分两种情况：当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，证明，得出，进而求出的长；当时，点E作，交的延长线于点P，连接，根据，计算即可求出的长．
【详解】（1）∵，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，∴，，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，∵，∴，
∵F为的中点，∴，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，设，则，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2；
（2）如图2，延长，交于点M，
∵平分，∴，由折叠的性质可知，，，
∴，∴，
∵，，∴和均为等腰直角三角形，
∴，，∴，即，解得．
（3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，∴，
在和中， ，∴，∴，
设，，，∴，解得，∴．
②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，设，，，
∵，∴，解得，∴．
综上可知，的长为2或．
【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，由题意得，，
四边形是菱形，，，
为等边三角形，，设，则，
在中，，，
在中，，即，
解得，，即，故答案为：．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
【详解】如图所示：
∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cs30°=，
∴MC=，∴A′C=MC-MA′=-1．故选B．
例3．（2023·山东八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，证明是等边三角形，证得，由折叠可得，由可求出的长，进而得出答案．
【详解】解：如图，连接，，
四边形为菱形，，，，是等边三角形，
是中点，，，，，
，，由折叠可得，
设，∴，，
，即，
，．故答案为：B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片中，，P为中点．折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，易得为等边三角形，根据三线合一，易得，利用菱形的性质，易得：，根据折叠的性质，易得，再利用三角形的内角和求出的度数即可．
【详解】解：∵在菱形纸片中，，∴，连接，
∴为等边三角形，∵P为中点，∴，∵，∴，∴，
∵折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为，
∴，∴；故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的内角和个定理．熟练掌握并灵活运用相关知识点，是解题的关键．
例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为（ ）
A．3.5B．4.5C．5.5D．6.5
【答案】A
【分析】连接、，利用菱形的性质得，，，再利用勾股定理计算出，由证得得到，然后根据折叠的性质得，则，即可得出结果．
【详解】解：连接、，如图，
∵点O为菱形的对角线的交点，∴，，，
在中，，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕，∴，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定和折叠的性质是解题的关键．
例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ．
【答案】30°/30度
【分析】根据菱形的性质得∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，再由折叠的性质得∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，所以∠AOM=∠AON=(360°-∠MON )=140°，所以∠B=∠AOM=140°,从而可求得∠BAD=40°,继而求得 ∠OAM=10°,再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，
由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，
∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°，
∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°,∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案为:30°．
【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质是解题的关键．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·湖南郴州·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，
∵∠BFE+∠BFG＝180°，∴∠C＝∠BFG＝90°，
又∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴FG＝CG，
设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得，
EG2＝DE2+DG2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，即CG＝，故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4B．6＋4C．12D．8＋4
【答案】D
【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则ACx，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．
【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，
∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，
解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm．
【答案】
【分析】由ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，可得AE=DF=2cm，EF=AD=4cm，由翻折的性质可得AG=A′G，AD=A′D，在Rt△DFA′与Rt△A′EG中，用勾股定理可求得答案．
【详解】解：∵ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E、F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝DF＝2cm，EF＝AD＝4cm，
∵沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，∴AG＝A′G，AD＝A′D＝4cm，
在Rt△DFA′中，，∴，
在Rt△A′EG中，设EG＝x，则A′G=AG=(2−x)cm，，
即，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质及图形的翻折问题；利用相关知识找出等量关系，两次利用勾股定理是正确解答本题的关键．
例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形中，，将其沿翻折，使，顶点恰好落在线段上的点处，点的对应点为点．则线段的长为 ．
【答案】
【分析】设，则，由翻折性质，得，，所以，在中，利用三角函数可求出，从而得到线段的长．
【详解】解：设，正方形中，，，，
，，四边形是四边形折叠得到，
，，，
在中，，即，解得，
经检验是原方程的解，原方程的解为，，故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，解直角三角形，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．
例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①正确；根据，进而可得，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，进而判断②正确；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2， CE＝4，在Rt△EGC中，根据勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解方程可得，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判断④正确
【详解】∵四边形是正方形，∴，AB＝BC＝CD=AD＝6，
∵，∴DE＝2，∴CE＝4， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝2，∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴，
∵，∴，
∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正确；
设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2，
∵ CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确；
∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，
∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．
【答案】
【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得，，，利用角之间的和差关系可得，进而求得，再利用即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，
由折叠可知，，，
∵，，
∴，即：，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到的度数是解决问题的关键．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析．(3)
【分析】（1）可证得为等腰直角三角形，，结合，可得．（2）连接，交于点，可知，根据三角形的中位线定理，即可求得与的位置关系．（3）在线段上取一点，使，连接，，可证得，则，观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为．
【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴．
∵，∴为等腰直角三角形．∴．
∴．∴．∴．
∴．∴．
（2），理由如下：如图所示，连接，交于点．
根据题意可知为线段的垂直平分线，∴．∵为中点，∴，即．
（3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，．
在和中，∴．∴．∴．
观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为．
∴．
【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023·湖北随州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接BE，BD，则△BCD是等边三角形，则求出BE的长度，由折叠的性质和勾股定理，即可求出EF的长度．
【详解】解：如图，连接BE，BD，∵AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴BE=CE=2，
∵CD∥AB，∴∠ABE=∠CEB=90°，由折叠可得AF=EF，
∵EF2=BE2+BF2，∴EF2=12+（4-EF）2，∴EF=．故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．
2．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得，，再由平行线的性质得到，则可证明得到，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程求出，则．
【详解】解：∵沿直线翻折，点落在点处，∴，，
∵正方形中，，∴，∴，∴，
设，∵，∴，∴，，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
3．（2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②③D．①③
【答案】B
【分析】根据翻折的性质证△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判断①正确；根据DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF＝5，由S△ABF求出即可求得③正确；根据S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，求出AH，即可判断④正确，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，∴DE＝3，由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，∵BF＝＝＝5∴S△ABF＝ AB•AF＝×4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，∴4×3＝5AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④，故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
4．（2023春·山西长治·八年级统考期末）如图，在菱形中，，将边沿折叠得到交于点，当为中点时，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长交的延长线于点，过点作于点，可证，故，即，即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点
∵，∴，∵为中点，∴，
∵，∴，∵在菱形中，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴在中：，
∴，∴，由折叠可知：，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形以及折叠的性质．掌握相关几何结论是解题关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，，，折叠后，点C落在AD边上的处，并且点B落在边上的处．则BC的长为（ ）
A．6B．C．4D．
【答案】A
【分析】由勾股定理得出，求出，，根据翻折和对边平行可得和为等边三角形，那么就得到，相加即可．
【详解】解：连接，
在中，，，，
∴，，∴，∴，∴，
∵四边形是矩形，∴，∴，∴为等边三角形，
同理也为等边三角形，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，将菱形沿折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求，，可求，可证，即可求解．
【详解】解：，，，
根据折叠可知，，，，
，在菱形中，，，
，，，
，，．故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．
7．（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF=CE = AE =AF，则证明结论①正确；设DF=x，故DF= BE =x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F作FH⊥AB于点H，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF的长，则可推出结论③正确；由DF=BE可知阴影部分的面积为矩形ABCD面积的一半与△CGF面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴AB∥CD， ∴∠AEF=∠CFE，
由折叠性质可知：AE=CE，AF=CF，∠AEF=∠CEF，∴∠CFE =∠CEF，
∴CF=CE，∴CF=CE = AE =AF，∴四边形是菱形；故①正确；
∵四边形是菱形，∴CF =AE，∵四边形是矩形，，，
∴AB =CD=4，∠D=90°，∴AB-CF =CD-AE，即DF=BE，
设DF=x，则CF = AF=4-x，在Rt△ADF中， DF2+AD2= AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，
即的长是1.5；故②正确；
过点F作FH⊥AB于点H，∴四边形是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，
∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得；故③正确；
∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=，∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF，
=S矩形ABCD+S△CGF，=AB•AD+CG•GF，=×4×2+×2×，=4+=；故④正确．故选：D．
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，cm，cm，则边AB的长度等于 ．
【答案】
【分析】由翻折的规律证明四边形EFGH是矩形及AB=2EM，再由矩形的性质结合已知条件求出EM的长度，即可求出AB的长度．
【详解】解：如图所示，
∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
∴EA=EM，BE=EM，∠AEH=∠HEM，∠BEF=∠FEM，∠EMH=∠A=90°，∴AB=AE+EB=2EM，
∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM=180°，
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，同理，∠EFG=∠FGH=90°，∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=3cm，EF=4cm，∴，
∵EM·HF=EH·EF，∴，∴故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的规律，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键．
9．（2023·河北衡水·八年级校联考期中）如图，在矩形中，，，是边上一点，将矩形沿向上翻折，点落在点处，点落在点处，与交于点，设的长为．（1）当点与点A重合时，的长为 ；（2）当时，的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】（1）当点与点A重合时，BP平分∠ABC，则∠ABP=∠ABC=45°，进而得即可求解；（2）当时，AM=0；当时，F、P、D重合，此时AM最大，再由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，当点与点A重合时，BP平分∠ABC，
则∠ABP=∠ABC=45°，∵∠BAP=90°，∴，
∵，∴，故答案为：．
（2）由（1）可知，当时，AM=0；
当时，F、P、D重合，此时AM最大，如图：
在矩形ABCD中，∵AD//BC，∴∠BPM=∠PBC，∵BP平分∠MBC，∴∠BPM=∠PBM，∴BM=PM，
设AM=x，，在RT中，，
∴，解得：，∴AM的长m的取值范围是：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题．
10．（2023·广东深圳·统考二模）如图，已知正方形纸片，，、分别是边、的中点，把边向上翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，且交于点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质和正方形的性质得出BP=BC=AB=2，∠PBQ=∠CBQ，∠BPQ=∠C=90°，得出BN=BC=BP，证出∠BPN=30°，∠PBN=60°，根据翻折不变性得出∠PBQ=∠QBC=30°=∠BPN，证出△PEQ是等边三角形，由直角三角形的性质得出BC=CQ=2
，得出CQ=2，BQ=2CQ=4，求出BE=EQ=2，作PF⊥BQ于F，PF=BP=，由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】根据折叠的性质知：BP=BC=AB=2，∠PBQ=∠CBQ，∠BPQ=∠C=90°，
∴BN=BC=BP，∵∠BNP=90°，∴∠BPN=30°，∴∠PBN=90°-30°=60°，
根据翻折不变性，∠PBQ=∠QBC=30°=∠BPN，∴∠QPE=∠PEQ=60°，∴△PEQ是等边三角形，
∵∠C=90°，∴BC=CQ=2，∴CQ=2，BQ=2CQ=4，
∵MN∥CD，BN=CN，∴BE=EQ=2，作PF⊥BQ于F，如图所示：
则PF=BP=，∴△PEQ的面积=×2×=；故答案为
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定、三角形面积公式等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证出∠BPN=30°是解题的关键．
11．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）在矩形中，，，点是边的中点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到延长与直线交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据中点的性质，根据利用矩形的性质，，，推得，根据折叠的性质可得，推得，根据等角对等边可得，根据全等三角形的判定和性质可得，设，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点是边的中点，∴，∵四边形是矩形，，
∴，，，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，设，
∴，，在中，，
∴，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了中点的性质，利用矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
12．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，M为的三等分点（），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点N运动t秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边上，则t的值为 ．
【答案】或7
【分析】分两种情况进行讨论：①点在上；②点在上，结合折叠的性质，可得直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①如图，过点作交于点，在上，
可得四边形是矩形，，，
是的三等分点，，由折叠性质得，
在中，，，
设，则，
在中，，解得：，，即；
②如图，过点作交于点，在上，
∴四边形是矩形，，，
在中，，，
设，则，，
在中，，解得：，即，．
综上所述，或7．故答案为：或7．
【点睛】本题考查矩形性质，翻折变换的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论及方程思想是解题关键．
13．（2023春·安徽淮南·八年级统考阶段练习）如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则（1）的长是 ；（2）折痕的长是 ．
【答案】 2 /
【分析】（1）根据矩形的性质及折叠的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，进而求出的长；（2）设，在中利用勾股定理即可求出的值，继而再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）四边形是矩形，，，，
将沿翻折，点D落在边上处，，，
，；故答案为：2；
（2）设，则，
在中，，即，解得，即，
，故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．
【答案】
【分析】过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．
【详解】解：过点E作EH⊥AD于H，
∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，
∵E是CD中点，∴DE＝2，在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE＝，
∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，
在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．
【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．
15．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ．
【答案】
【分析】先判定，即可得出，设为，则，，，由勾股定理得：，解方程得出的值，即可得到的长．
【详解】解：如图，连接，
由折叠可得，，，，，
是的中点，，，
又，，，
设为，则，，，
由勾股定理得：，即，
解得．，．故答案为：．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．解题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
16．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时， ．
【答案】2或5/5或2
【分析】分三种情形计算．
【详解】解：当时，连接，∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵，∴，∴三点共线，
根据折叠的性质，得，∴，
设，则，根据勾股定理，得，解得，故；
当时，∵四边形是矩形，，，∴，，
∵，∴四边形是矩形，根据折叠的性质，得，
∴四边形是正方形，∴，∴，故；
当时，∵， ∴点不可能落到上，
故不成立，故或，答案：2或5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
17．（2023·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在边长为9的正方形中，为上一点，连接、，将四边形沿翻折，使点恰好落在上的处，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】连接B′E，则B′E＝BE，设CE＝x，则DE＝9－x，根据，，构建方程求出x即可解决问题．
【详解】解：如图，连接B′E，则B′E＝BE，设CE＝x，则DE＝9－x，
∵，∴，∵∠D＝∠C＝90°，∴，，
∴，解得：，∴，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折变换的性质，通过勾股定理构建出方程是解题的关键．
18．（2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）求的长．
【答案】（1）见解析（2）6
【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−2）2＋（x−3）2＝52，求出AD＝x＝6．
【详解】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∴四边形AEGF为矩形，
∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，∴矩形AEGF是正方形；
（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，
设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，则BG＝EG−BE＝x−2，CG＝FG−CF＝x−3，
在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x−2）2＋（x−3）2＝52，解得：x＝6或−1（舍去）．∴AD＝6．
【点睛】本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．
19．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形的折叠活动．
(1)操作与证明：①小李将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，如图1，若，则__________；②小张将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，如图2所示，求证：是等腰三角形；(2)迁移与应用：在（1）②的前提下，连接，如图3所示，若，，求的长．
【答案】(1)①，②见详解(2)
【分析】（1）①根据两直线平行，内错角相等即可作答；②根据，可得，根据折叠的性质有：，即有，问题得证；
（2）在（1）②中已经证明，结合，，可得，即，进而可得，再证明，即有，可得，问题随之得解．
【详解】（1）解：①∵在矩形中，，∴，
∵，∴，故答案为：；
②证明∵在矩形中，，∴，
根据折叠的性质有：，∴，即，∴是等腰三角形；
（2）在（1）②中已经证明，
根据折叠的性质有：，，，
∵在矩形中，，∴，
∴，∴，∴，
∵在（1）②中已经证明，∴，∴，
∴，∴，
∵在矩形中，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴．
【点睛】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质，平行线的性质等知识，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
20．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．
(1)求证：．(2)过点作交射线于点．①求的度数；②直接写出线段与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【分析】（1）根据正方形的性质得到，然后利用证明；
（2）①根据轴对称得到，求出，利用，求出，即可根据四边形内角和求出，进而得到，然后利用平行线的性质求解即可；
②过点A作于点P，得到是等腰直角三角形，求出，证明，得到，由，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，
∴，∴，
∴，∴；
（2）①如图，∵点D与点F关系对称，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴；
②过点A作点P，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边对等角求角度，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识并应用是解题的关键．
21．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．
观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．问题探究：（2）如图2，若，求的长．
拓展延伸：（3），若为的三等分点，请直接写出的长．
【答案】（1）；；（2）；（3）6或
【分析】（1）由折叠得，即可求出；在中，由勾股定理得，列得，即可求出；
（2）延长交于点，由折叠的性质得到，推出和均为等腰直角三角形，求出，根据求出，再利用求出；（3）分两种情况：①当，②当求解即可．
【详解】解：（1）在矩形中，为边的中点，，
∴，，∵折叠后点与点重合，
∴，，
∴，，
∴ 在中，，
∴，解得；故答案为:；．
（2）如图1，延长交于点，
由折叠的性质可知，．
∵，
和均为等腰直角三角形，．
，即，解得，．
（3）6或．分两种情况：①当时，
如图2，过点作交的延长线于点，连接，
则四边形为矩形，，
由折叠的性质可知，．
．
在和中，，∴,∴．
设，，
解得．∴，；
②当时，如图3，过点作交的延长线于点，连接，
则四边形为矩形，．由折叠的性质可知，
．．设，则．
，，
解得，．综上，的长为6或．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确理解矩形的性质掌握各定理是解题的关键．
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．3
例2．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合．连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为( )
A．B．C．D．
例3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，求的长．
例4．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点，，且．则的长为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点C与点A重合，则的长为（ ）
A．20B．18C．16D．15
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3B．C．D．
例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时， ．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A．B．C．D．2
例3．（2023·山东八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片中，，P为中点．折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为（ ）
A．3.5B．4.5C．5.5D．6.5
例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·湖南郴州·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4B．6＋4C．12D．8＋4
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm．
例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形中，，将其沿翻折，使，顶点恰好落在线段上的点处，点的对应点为点．则线段的长为 ．
例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·湖北随州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②③D．①③
4．（2023春·山西长治·八年级统考期末）如图，在菱形中，，将边沿折叠得到交于点，当为中点时，的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，，，折叠后，点C落在AD边上的处，并且点B落在边上的处．则BC的长为（ ）
A．6B．C．4D．
6．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，将菱形沿折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，cm，cm，则边AB的长度等于 ．
9．（2023·河北衡水·八年级校联考期中）如图，在矩形中，，，是边上一点，将矩形沿向上翻折，点落在点处，点落在点处，与交于点，设的长为．（1）当点与点A重合时，的长为 ；（2）当时，的取值范围是 ．
10．（2023·广东深圳·统考二模）如图，已知正方形纸片，，、分别是边、的中点，把边向上翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，且交于点，则的面积为 ．
11．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）在矩形中，，，点是边的中点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到延长与直线交于点，则的长为 ．
12．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，M为的三等分点（），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点N运动t秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边上，则t的值为 ．
13．（2023春·安徽淮南·八年级统考阶段练习）如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则（1）的长是 ；（2）折痕的长是 ．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．
15．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ．
16．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时， ．
17．（2023·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在边长为9的正方形中，为上一点，连接、，将四边形沿翻折，使点恰好落在上的处，若，则的长为 ．
18．（2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）求的长．
19．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形的折叠活动．
(1)操作与证明：①小李将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，如图1，若，则__________；②小张将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，如图2所示，求证：是等腰三角形；(2)迁移与应用：在（1）②的前提下，连接，如图3所示，若，，求的长．
20．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．
(1)求证：．(2)过点作交射线于点．①求的度数；②直接写出线段与之间的数量关系．
21．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．
观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．问题探究：（2）如图2，若，求的长．
拓展延伸：（3），若为的三等分点，请直接写出的长．
专题13 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，将沿翻折得到，延长交于点，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据题意连接，证明，得出，在 中运用勾股定理即可解答；
【详解】连接，为矩形，
是的中点 由 翻折得到，
，，
，设 ，则 .
在和中
在 中即 解得：故选A
【点睛】该题考查了矩形知识点和勾股定理的运用，掌握矩形性质和勾股定理是解答该题的关键
例2．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合．连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由折叠可知 ， ，设 则在中，利用勾股定理可建立方程，解得，则 ，，再根据等腰三角形的性质得到，进而算出，设 则在中，利用勾股定理可建立方程，解得，则，再利用三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
四边形为矩形，，，，，，
由折叠可知， ， ，，，
设则在中，，
，解得：，，，
，四边形为矩形，，
，，，，
设则在中，，
，解得：，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
例3．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，求的长．
【答案】
【分析】根据翻折的性质，证明，然后求出，最后根据勾股定理即可求出结果．
【详解】由翻折的性质可知，在与中，
，
，，，，
长方形，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
例4．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点，，且．则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质得出，，，证明，得出，，设，则，，求出，，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
根据题意得：，∴，，，
∵，，，∴，∴，，∴，
设，则，，∴，，
根据勾股定理得：，即，解得：，∴，故选：D
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
例5．（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点C与点A重合，则的长为（ ）
A．20B．18C．16D．15
【答案】D
【分析】设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，据此即可求解．
【详解】解：设，则，∵沿翻折后点C与点A重合，∴，
在中，，即，解得，
∴，由翻折的性质得，，
∵矩形的对边，∴，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质．
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3B．C．D．
【答案】D
【分析】在上截取，连接，证明，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积．
【详解】解：在上截取，连接，
由折叠得：，又，，
，最短时，也就最短，而当时，最短，
此时，点为矩形的对称中心，，即的最小值是4，
在中，点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．过点作，
点为矩形的对称中心， ，中，，
中，，，
面积的最小值是．故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到最小值．
例7．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，时， ．
【答案】3
【分析】利用矩形和翻折的性质求出，，，，在中利用勾股定理求出，设，则，，，根据可构建关于x的方程，然求解即可解答．
【详解】解：在矩形中，，，∴，，
∵翻折，∴，，，，∴，
又，∴，设，则，，，
∴，∴，∴．故答案为：3．
【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
【答案】(1)45；2(2)；(3)2或
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出；设，用x表示出的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出的长；（2）如图，由折叠性质和平分，得出，即可求出的度数；先证明和是等腰直角三角形，得出，，即可求出的长； （3）根据F为的三等分点，分两种情况：当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，证明，得出，进而求出的长；当时，点E作，交的延长线于点P，连接，根据，计算即可求出的长．
【详解】（1）∵，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，∴，，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，∵，∴，
∵F为的中点，∴，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，设，则，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2；
（2）如图2，延长，交于点M，
∵平分，∴，由折叠的性质可知，，，
∴，∴，
∵，，∴和均为等腰直角三角形，
∴，，∴，即，解得．
（3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，∴，
在和中， ，∴，∴，
设，，，∴，解得，∴．
②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，设，，，
∵，∴，解得，∴．
综上可知，的长为2或．
【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，由题意得，，
四边形是菱形，，，
为等边三角形，，设，则，
在中，，，
在中，，即，
解得，，即，故答案为：．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
【详解】如图所示：
∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cs30°=，
∴MC=，∴A′C=MC-MA′=-1．故选B．
例3．（2023·山东八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，证明是等边三角形，证得，由折叠可得，由可求出的长，进而得出答案．
【详解】解：如图，连接，，
四边形为菱形，，，，是等边三角形，
是中点，，，，，
，，由折叠可得，
设，∴，，
，即，
，．故答案为：B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
例4．（2023秋·广西 九年级专题练习）如图，在菱形纸片中，，P为中点．折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，易得为等边三角形，根据三线合一，易得，利用菱形的性质，易得：，根据折叠的性质，易得，再利用三角形的内角和求出的度数即可．
【详解】解：∵在菱形纸片中，，∴，连接，
∴为等边三角形，∵P为中点，∴，∵，∴，∴，
∵折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为，
∴，∴；故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的内角和个定理．熟练掌握并灵活运用相关知识点，是解题的关键．
例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为（ ）
A．3.5B．4.5C．5.5D．6.5
【答案】A
【分析】连接、，利用菱形的性质得，，，再利用勾股定理计算出，由证得得到，然后根据折叠的性质得，则，即可得出结果．
【详解】解：连接、，如图，
∵点O为菱形的对角线的交点，∴，，，
在中，，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕，∴，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定和折叠的性质是解题的关键．
例6．（2023·山东九年级课时练习）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ．
【答案】30°/30度
【分析】根据菱形的性质得∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，再由折叠的性质得∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，所以∠AOM=∠AON=(360°-∠MON )=140°，所以∠B=∠AOM=140°,从而可求得∠BAD=40°,继而求得 ∠OAM=10°,再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，
由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，
∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°，
∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°,∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案为:30°．
【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质是解题的关键．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·湖南郴州·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，
∵∠BFE+∠BFG＝180°，∴∠C＝∠BFG＝90°，
又∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴FG＝CG，
设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得，
EG2＝DE2+DG2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，即CG＝，故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4B．6＋4C．12D．8＋4
【答案】D
【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则ACx，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．
【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，
∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，
解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm．
【答案】
【分析】由ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，可得AE=DF=2cm，EF=AD=4cm，由翻折的性质可得AG=A′G，AD=A′D，在Rt△DFA′与Rt△A′EG中，用勾股定理可求得答案．
【详解】解：∵ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E、F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝DF＝2cm，EF＝AD＝4cm，
∵沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，∴AG＝A′G，AD＝A′D＝4cm，
在Rt△DFA′中，，∴，
在Rt△A′EG中，设EG＝x，则A′G=AG=(2−x)cm，，
即，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质及图形的翻折问题；利用相关知识找出等量关系，两次利用勾股定理是正确解答本题的关键．
例 4．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形中，，将其沿翻折，使，顶点恰好落在线段上的点处，点的对应点为点．则线段的长为 ．
【答案】
【分析】设，则，由翻折性质，得，，所以，在中，利用三角函数可求出，从而得到线段的长．
【详解】解：设，正方形中，，，，
，，四边形是四边形折叠得到，
，，，
在中，，即，解得，
经检验是原方程的解，原方程的解为，，故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，解直角三角形，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．
例5．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①正确；根据，进而可得，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，进而判断②正确；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2， CE＝4，在Rt△EGC中，根据勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解方程可得，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判断④正确
【详解】∵四边形是正方形，∴，AB＝BC＝CD=AD＝6，
∵，∴DE＝2，∴CE＝4， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝2，∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴，
∵，∴，
∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正确；
设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2，
∵ CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确；
∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，
∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．
【答案】
【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得，，，利用角之间的和差关系可得，进而求得，再利用即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，
由折叠可知，，，
∵，，
∴，即：，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到的度数是解决问题的关键．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析．(3)
【分析】（1）可证得为等腰直角三角形，，结合，可得．（2）连接，交于点，可知，根据三角形的中位线定理，即可求得与的位置关系．（3）在线段上取一点，使，连接，，可证得，则，观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为．
【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴．
∵，∴为等腰直角三角形．∴．
∴．∴．∴．
∴．∴．
（2），理由如下：如图所示，连接，交于点．
根据题意可知为线段的垂直平分线，∴．∵为中点，∴，即．
（3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，．
在和中，∴．∴．∴．
观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为．
∴．
【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023·湖北随州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接BE，BD，则△BCD是等边三角形，则求出BE的长度，由折叠的性质和勾股定理，即可求出EF的长度．
【详解】解：如图，连接BE，BD，∵AB=4=BC=CD，∠A=60°=∠C，∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点∴DE=2=CE，BE⊥CD，∠EBC=30°，∴BE=CE=2，
∵CD∥AB，∴∠ABE=∠CEB=90°，由折叠可得AF=EF，
∵EF2=BE2+BF2，∴EF2=12+（4-EF）2，∴EF=．故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．
2．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，点是上的一点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处，的延长线交于点，当时，则的长为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得，，再由平行线的性质得到，则可证明得到，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程求出，则．
【详解】解：∵沿直线翻折，点落在点处，∴，，
∵正方形中，，∴，∴，∴，
设，∵，∴，∴，，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
3．（2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②③D．①③
【答案】B
【分析】根据翻折的性质证△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判断①正确；根据DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF＝5，由S△ABF求出即可求得③正确；根据S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，求出AH，即可判断④正确，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，∴DE＝3，由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，∵BF＝＝＝5∴S△ABF＝ AB•AF＝×4×3＝6，故③正确；
∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，∴4×3＝5AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，
∵AE＝BF＝5，∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④，故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
4．（2023春·山西长治·八年级统考期末）如图，在菱形中，，将边沿折叠得到交于点，当为中点时，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长交的延长线于点，过点作于点，可证，故，即，即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点
∵，∴，∵为中点，∴，
∵，∴，∵在菱形中，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴在中：，
∴，∴，由折叠可知：，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形以及折叠的性质．掌握相关几何结论是解题关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，，，折叠后，点C落在AD边上的处，并且点B落在边上的处．则BC的长为（ ）
A．6B．C．4D．
【答案】A
【分析】由勾股定理得出，求出，，根据翻折和对边平行可得和为等边三角形，那么就得到，相加即可．
【详解】解：连接，
在中，，，，
∴，，∴，∴，∴，
∵四边形是矩形，∴，∴，∴为等边三角形，
同理也为等边三角形，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，将菱形沿折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求，，可求，可证，即可求解．
【详解】解：，，，
根据折叠可知，，，，
，在菱形中，，，
，，，
，，．故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．
7．（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF=CE = AE =AF，则证明结论①正确；设DF=x，故DF= BE =x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F作FH⊥AB于点H，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF的长，则可推出结论③正确；由DF=BE可知阴影部分的面积为矩形ABCD面积的一半与△CGF面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴AB∥CD， ∴∠AEF=∠CFE，
由折叠性质可知：AE=CE，AF=CF，∠AEF=∠CEF，∴∠CFE =∠CEF，
∴CF=CE，∴CF=CE = AE =AF，∴四边形是菱形；故①正确；
∵四边形是菱形，∴CF =AE，∵四边形是矩形，，，
∴AB =CD=4，∠D=90°，∴AB-CF =CD-AE，即DF=BE，
设DF=x，则CF = AF=4-x，在Rt△ADF中， DF2+AD2= AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，
即的长是1.5；故②正确；
过点F作FH⊥AB于点H，∴四边形是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，
∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得；故③正确；
∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=，∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF，
=S矩形ABCD+S△CGF，=AB•AD+CG•GF，=×4×2+×2×，=4+=；故④正确．故选：D．
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，cm，cm，则边AB的长度等于 ．
【答案】
【分析】由翻折的规律证明四边形EFGH是矩形及AB=2EM，再由矩形的性质结合已知条件求出EM的长度，即可求出AB的长度．
【详解】解：如图所示，
∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
∴EA=EM，BE=EM，∠AEH=∠HEM，∠BEF=∠FEM，∠EMH=∠A=90°，∴AB=AE+EB=2EM，
∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM=180°，
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，同理，∠EFG=∠FGH=90°，∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=3cm，EF=4cm，∴，
∵EM·HF=EH·EF，∴，∴故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的规律，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键．
9．（2023·河北衡水·八年级校联考期中）如图，在矩形中，，，是边上一点，将矩形沿向上翻折，点落在点处，点落在点处，与交于点，设的长为．（1）当点与点A重合时，的长为 ；（2）当时，的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】（1）当点与点A重合时，BP平分∠ABC，则∠ABP=∠ABC=45°，进而得即可求解；（2）当时，AM=0；当时，F、P、D重合，此时AM最大，再由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，当点与点A重合时，BP平分∠ABC，
则∠ABP=∠ABC=45°，∵∠BAP=90°，∴，
∵，∴，故答案为：．
（2）由（1）可知，当时，AM=0；
当时，F、P、D重合，此时AM最大，如图：
在矩形ABCD中，∵AD//BC，∴∠BPM=∠PBC，∵BP平分∠MBC，∴∠BPM=∠PBM，∴BM=PM，
设AM=x，，在RT中，，
∴，解得：，∴AM的长m的取值范围是：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题．
10．（2023·广东深圳·统考二模）如图，已知正方形纸片，，、分别是边、的中点，把边向上翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，且交于点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质和正方形的性质得出BP=BC=AB=2，∠PBQ=∠CBQ，∠BPQ=∠C=90°，得出BN=BC=BP，证出∠BPN=30°，∠PBN=60°，根据翻折不变性得出∠PBQ=∠QBC=30°=∠BPN，证出△PEQ是等边三角形，由直角三角形的性质得出BC=CQ=2
，得出CQ=2，BQ=2CQ=4，求出BE=EQ=2，作PF⊥BQ于F，PF=BP=，由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】根据折叠的性质知：BP=BC=AB=2，∠PBQ=∠CBQ，∠BPQ=∠C=90°，
∴BN=BC=BP，∵∠BNP=90°，∴∠BPN=30°，∴∠PBN=90°-30°=60°，
根据翻折不变性，∠PBQ=∠QBC=30°=∠BPN，∴∠QPE=∠PEQ=60°，∴△PEQ是等边三角形，
∵∠C=90°，∴BC=CQ=2，∴CQ=2，BQ=2CQ=4，
∵MN∥CD，BN=CN，∴BE=EQ=2，作PF⊥BQ于F，如图所示：
则PF=BP=，∴△PEQ的面积=×2×=；故答案为
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定、三角形面积公式等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证出∠BPN=30°是解题的关键．
11．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）在矩形中，，，点是边的中点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到延长与直线交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据中点的性质，根据利用矩形的性质，，，推得，根据折叠的性质可得，推得，根据等角对等边可得，根据全等三角形的判定和性质可得，设，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点是边的中点，∴，∵四边形是矩形，，
∴，，，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，设，
∴，，在中，，
∴，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了中点的性质，利用矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．
12．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，M为的三等分点（），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点N运动t秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边上，则t的值为 ．
【答案】或7
【分析】分两种情况进行讨论：①点在上；②点在上，结合折叠的性质，可得直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①如图，过点作交于点，在上，
可得四边形是矩形，，，
是的三等分点，，由折叠性质得，
在中，，，
设，则，
在中，，解得：，，即；
②如图，过点作交于点，在上，
∴四边形是矩形，，，
在中，，，
设，则，，
在中，，解得：，即，．
综上所述，或7．故答案为：或7．
【点睛】本题考查矩形性质，翻折变换的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论及方程思想是解题关键．
13．（2023春·安徽淮南·八年级统考阶段练习）如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则（1）的长是 ；（2）折痕的长是 ．
【答案】 2 /
【分析】（1）根据矩形的性质及折叠的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，进而求出的长；（2）设，在中利用勾股定理即可求出的值，继而再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）四边形是矩形，，，，
将沿翻折，点D落在边上处，，，
，；故答案为：2；
（2）设，则，
在中，，即，解得，即，
，故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．
【答案】
【分析】过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．
【详解】解：过点E作EH⊥AD于H，
∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，
∵E是CD中点，∴DE＝2，在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE＝，
∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，
在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．
【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．
15．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ．
【答案】
【分析】先判定，即可得出，设为，则，，，由勾股定理得：，解方程得出的值，即可得到的长．
【详解】解：如图，连接，
由折叠可得，，，，，
是的中点，，，
又，，，
设为，则，，，
由勾股定理得：，即，
解得．，．故答案为：．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．解题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
16．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时， ．
【答案】2或5/5或2
【分析】分三种情形计算．
【详解】解：当时，连接，∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵，∴，∴三点共线，
根据折叠的性质，得，∴，
设，则，根据勾股定理，得，解得，故；
当时，∵四边形是矩形，，，∴，，
∵，∴四边形是矩形，根据折叠的性质，得，
∴四边形是正方形，∴，∴，故；
当时，∵， ∴点不可能落到上，
故不成立，故或，答案：2或5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
17．（2023·重庆巴南·九年级统考期中）如图，在边长为9的正方形中，为上一点，连接、，将四边形沿翻折，使点恰好落在上的处，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】连接B′E，则B′E＝BE，设CE＝x，则DE＝9－x，根据，，构建方程求出x即可解决问题．
【详解】解：如图，连接B′E，则B′E＝BE，设CE＝x，则DE＝9－x，
∵，∴，∵∠D＝∠C＝90°，∴，，
∴，解得：，∴，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折变换的性质，通过勾股定理构建出方程是解题的关键．
18．（2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）求的长．
【答案】（1）见解析（2）6
【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−2）2＋（x−3）2＝52，求出AD＝x＝6．
【详解】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∴四边形AEGF为矩形，
∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，∴矩形AEGF是正方形；
（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，
设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，则BG＝EG−BE＝x−2，CG＝FG−CF＝x−3，
在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x−2）2＋（x−3）2＝52，解得：x＝6或−1（舍去）．∴AD＝6．
【点睛】本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．
19．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形的折叠活动．
(1)操作与证明：①小李将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，如图1，若，则__________；②小张将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，如图2所示，求证：是等腰三角形；(2)迁移与应用：在（1）②的前提下，连接，如图3所示，若，，求的长．
【答案】(1)①，②见详解(2)
【分析】（1）①根据两直线平行，内错角相等即可作答；②根据，可得，根据折叠的性质有：，即有，问题得证；
（2）在（1）②中已经证明，结合，，可得，即，进而可得，再证明，即有，可得，问题随之得解．
【详解】（1）解：①∵在矩形中，，∴，
∵，∴，故答案为：；
②证明∵在矩形中，，∴，
根据折叠的性质有：，∴，即，∴是等腰三角形；
（2）在（1）②中已经证明，
根据折叠的性质有：，，，
∵在矩形中，，∴，
∴，∴，∴，
∵在（1）②中已经证明，∴，∴，
∴，∴，
∵在矩形中，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴．
【点睛】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质，平行线的性质等知识，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
20．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．
(1)求证：．(2)过点作交射线于点．①求的度数；②直接写出线段与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【分析】（1）根据正方形的性质得到，然后利用证明；
（2）①根据轴对称得到，求出，利用，求出，即可根据四边形内角和求出，进而得到，然后利用平行线的性质求解即可；
②过点A作于点P，得到是等腰直角三角形，求出，证明，得到，由，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，
∴，∴，
∴，∴；
（2）①如图，∵点D与点F关系对称，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴；
②过点A作点P，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边对等角求角度，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识并应用是解题的关键．
21．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．
观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．问题探究：（2）如图2，若，求的长．
拓展延伸：（3），若为的三等分点，请直接写出的长．
【答案】（1）；；（2）；（3）6或
【分析】（1）由折叠得，即可求出；在中，由勾股定理得，列得，即可求出；
（2）延长交于点，由折叠的性质得到，推出和均为等腰直角三角形，求出，根据求出，再利用求出；（3）分两种情况：①当，②当求解即可．
【详解】解：（1）在矩形中，为边的中点，，
∴，，∵折叠后点与点重合，
∴，，
∴，，
∴ 在中，，
∴，解得；故答案为:；．
（2）如图1，延长交于点，
由折叠的性质可知，．
∵，
和均为等腰直角三角形，．
，即，解得，．
（3）6或．分两种情况：①当时，
如图2，过点作交的延长线于点，连接，
则四边形为矩形，，
由折叠的性质可知，．
．
在和中，，∴,∴．
设，，
解得．∴，；
②当时，如图3，过点作交的延长线于点，连接，
则四边形为矩形，．由折叠的性质可知，
．．设，则．
，，
解得，．综上，的长为6或．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确理解矩形的性质掌握各定理是解题的关键．
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