九年级数学下册专题06相似三角形中的基本模型之半角模型(原卷版+解析)

这是一份九年级数学下册专题06相似三角形中的基本模型之半角模型(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了半角模型，5°=∠BAE=22等内容，欢迎下载使用。
模型1.半角模型（相似模型）
【常见模型及结论】
1）半角模型（正方形中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；

图1 图2
结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；

图3 图4
结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.
2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）
（1）含45°半角模型

图1 图2
条件：如图1，已知∠BAC＝90°，；
结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （）
（2）含60°半角模型
条件：如图1，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）
例1．（2023·福建泉州·九年级校考期中）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于.下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．②③④B．①④C．①②③D．①②③④
例2．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，若，且，则的长为（ ）．
A．B．C．D．5
例3．（2023·上海浦东新·九年级统考期中）已知：如图，在Rt中，．求证：．
例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ．
例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．
（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点．
①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长．
②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：．
例7．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在中，，点D、E在边上，，若，则的面积为（ ）
A．20B．24C．32D．36
2．（2023·广东广州·统考一模）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论不正确的是（ ）．
A．△AED≌△AEF B．△ABE∽△ACD C．BE+DC＞DE D．BE2+DC2=DE2
3．（2022·湖北·九年级校联考期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（ ）
①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿翻折至，延长交边于点，连接，．则下列给出的判断：①；②若，则；③若为的中点，则的面积为；④若，则，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
5．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；②连接，，则为直角三角形；
③；④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( )
A．4B．3C．2D．1
6．（2021秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．其中正确的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
7．（2023·山东青岛·统考二模）如图，等腰直角三角形，，D，E是上的两点，且，过D，E作分别垂直，垂足为M，N，交于点F，连接．其中①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中，正确结论有 ．（填序号）

8．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，已知正方形边长为，为边上一点，将以点为中心按顺时针方向旋转得到，连接，分别交，于点，若，则 ．
9．（2023·安徽宿州·校考模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．
（1）若正方形的边长为2，则的周长是 ．（2）若，则 ．
10．（2023.上海市黄浦区九年级一模）如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q．（1）求的值：（2）当时，求的度数；（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置．
11．（2023山东九年级期末）已知正方形ABCD的边长为8，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图①，当a=8时，b的值为 ；（2）如图②，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（3）请写出∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．

12．（2023·宁夏·九年级统考期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），设，．
（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．
（2）求与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围．
（3）以的斜边所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图（2），若，求出点的坐标，猜想线段、和之间的关系，并通过计算加以验证．

13．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．

【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；
【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．
14．（2023春·辽宁沈阳·九年级统考开学考试）在矩形中，．
(1)如图1，若，点，分别在，上，连接．
①线段，，三者之间的数量关系是：________；②当点是中点时，求证：；
(2)如图2，若，，点，分别在，上．若，请直接写出线段的长；
(3)如图3，若，，连接，将绕点旋转，当的一边与射线重合时，另一边与的垂直平分线交于点，请直接写出线段的长．
15．（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践

(1)【操作发现】如图，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角；
(2)【拓展探究】如图，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点． 度；若，求线段的长；(3)【迁移应用】如图，在矩形，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，请直接写出线段的长．
专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型（相似模型）
【常见模型及结论】
1）半角模型（正方形中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；

图1 图2
结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；

图3 图4
结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.
2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）
（1）含45°半角模型

图1 图2
条件：如图1，已知∠BAC＝90°，；
结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （）
（2）含60°半角模型
条件：如图1，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）
例1．（2023·福建泉州·九年级校考期中）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于.下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．②③④B．①④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，证明△AEF≌△AHF，利用全等三角形的性质可得①②正确；求出∠BAN＝∠AMD，根据∠ABN＝∠ADM＝45°，证明△ABN∽△MDA，利用相似三角形的性质可得④正确；求出∠AFE＝∠AMN，证明△AMN∽△AFE，利用相似三角形的性质可得③正确．
【详解】解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，易得H、D、F三点共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠DAH＋∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF，
∵AE＝AH，AF＝AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF＝FH，∠AFH＝∠AFE，
∴EF＝FH＝DH＋DF＝BE＋DF，AF平分∠DFE，故①②正确；
∵∠BAN＝∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋45°，∠AMD＝∠ABM＋∠BAM＝45°＋∠BAM，∴∠BAN＝∠AMD，
∵∠ABN＝∠ADM＝45°，∴△ABN∽△MDA，∴，
∵AD＝AB，∴AB2＝BN•DM，故④正确；∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN，
∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，∴∠AFE＝∠AMN，
又∵∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE，∴，即AM•AE＝AN•AF，故③正确，故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点，综合性较强，灵活运用相关性质定理进行推理是解题的关键．
例2．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，若，且，则的长为（ ）．
A．B．C．D．5
【答案】C
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，则NF＝x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，利用勾股定理即可求出AF的长．
【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，∴NF＝x，AN＝4−x，
∵AB＝2，∴AM＝BM＝1，∵AE＝，AB＝2，∴BE＝1，∴ME＝，
∵∠EAF＝45°，∴∠MAE＋∠NAF＝45°，
∵∠MAE＋∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，
∴，∴，解得：x＝，
∴AF＝．故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判断和性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
例3．（2023·上海浦东新·九年级统考期中）已知：如图，在Rt中，．求证：．
【答案】见解析
【分析】求出∠B=∠C，∠ADC=∠EAB，根据相似三角形的判定推出△ADC∽△EAB，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．
【详解】证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=45°，
∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，∠EAB=∠DAE+∠BAD=45°+∠BAD，∴∠ADC=∠EAB，
∵∠B=∠C，∴△ADC∽△EAB，∴，
∵AB=AC，∴AB2=BE•CD．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形和相似三角形的性质和判定，能推出△ADC∽△EAB是解此题的关键．
例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长．
【详解】解：如图，作于，作于．
中，，．∴．
在中，．，．．
．．．
．．．．
，即．．由勾股定理得：．
．．故答案为：
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键．
例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．
（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点．
①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长．
②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②或
【分析】（1）证，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）①连接，证，列出比例式，根据相似比即可求解；②分点H为AG中点和点N为EC中点两种情况，根据相似比，求出比值即可．
【详解】解：（1）四边形是菱形， ，
∵，∴△ABC是等边三角形，
∴，，
，；，
，，是等边三角形；
（2）①连接，点是的中点，，
，，，
由（1）知，是等边三角形，，平分，，
，，即，
，，
②如图，当点H为AG中点时，即；
∵是的中点，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC,
∵，∴，即；

同理，如图所示，当点N为EC中点时， ON∥AE，；
连接FG，作FP⊥BC，交BC延长线与点P，
∵，，∴,
∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，，
∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG，
设EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，，
∵EN=CN=4，；
综上，的值为：或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关几何知识，构建几何模型证明相似或全等．
例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：．
【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析
【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形；（2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论；（3）证明即可得出结论；（4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）由翻折的性质可知：
为正方形，为等腰三角形
（2）如图：将顺时针旋转，
由旋转的性质可得：，
由（1）中结论可得
为正方形，
在和中
（3）为正方形对角线
，
，
（4）如图：将顺时针旋转，连接，
由（2）中的结论可证
根据旋转的性质可得：，
在中有
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键．
例7．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．
【答案】（1）成立；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可；（2）根据正方形性质得出即可；（3）如图3，在上取一点，使，过作于，根据四边形为菱形，且，证出，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可．
【详解】解：（1）结论成立
理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴
∵，，∴
又∵，∴，∴，
∵，∴，故答案为：成立
（2）证明：如图2，∵四边形是正方形，∴，

∵，∴，∴，∴，
又∵，∴；
（3）线段的长为 理由：如图3，在上取一点，使，过作于，
又∵四边形为菱形，且，
∴，∴
∴，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，，
∴2AN=，2AN=AD，∴，
∵，∴，∴，
∵菱形的边长为，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴线段的长为．故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键。
课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在中，，点D、E在边上，，若，则的面积为（ ）
A．20B．24C．32D．36
【答案】D
【分析】设，则，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x的值，最后利用直角三角形面积公式求解即可．
【详解】设，则，
， ．
设，则有以下等式：，，，
整理得， ， 解得，
， ， ， 故选：D．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键．
2．（2023·广东广州·统考一模）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论不正确的是（ ）．
A．△AED≌△AEF B．△ABE∽△ACD C．BE+DC＞DE D．BE2+DC2=DE2
【答案】B
【详解】试题分析：根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定A正确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定B错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定C正确；
先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定D正确．
试题解析：A、∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），故A正确；
B、∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．
∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，
∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定相似，故B错误；
C、∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，故C正确；
D、由C知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故D正确．故选B．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．
3．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（ ）
①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°；②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似；③根据SAS可证△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF；DE=EF；④BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
【详解】解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．∴∠EAF=45°，故①正确；
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似，故②错误；
③∵AF=AD，∠FAE=∠DAE=45°，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF，即AE平分∠DAF，故③错误；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2（勾股定理），
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，
又∵EF=DE，∴BE2+CD2=DE2（等量代换）．故④正确．故选B．
【点睛】此题主要考查图形的旋转变换，解题时注意旋转前后对应的相等关系．
4．（2023·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿翻折至，延长交边于点，连接，．则下列给出的判断：①；②若，则；③若为的中点，则的面积为；④若，则，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①根据定理先证，得出即可；
②设，根据勾股定理求出，再求出的值即可；
③同样利用特殊值法计算得不出相应的关系即可证明结论不正确；④根据已知关系先求证是等腰直角三角形，设，根据，则有，解出即可．
【详解】①将沿翻折至，，，
四边形是正方形，，，
，，，，
四边形是正方形，
，，故①正确；
②设，在中，，
即，解得，，，
，
，，故②正确；
③同理可得，，为的中点，，
，过作的高线，
，，，即，解得，
，故③错误；④，
，
，为等腰直角三角形，，
设，则有，解得，故④正确；故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的翻折，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练利用特殊值法解选择题是解本题的关键．
5．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；②连接，，则为直角三角形；
③；④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①；将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②；
由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③；
旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④．
【详解】解：如图中，
四边形是正方形，，，
，，
在和中， ，，
，同理可证，
，，
，，故①正确；
如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，，
由旋转知：，，
四边形是正方形，，
，，
，
，又，，，
四边形是正方形，．
由旋转知：，，
，
，．
又，，
，，同理可证：
，
即为直角三角形，故②正确；

， ，
又，
由①可知：，
， ，
又，，故③正确；如图中，
旋转到，，，，
同理②中可证：，，设，
，，
四边形是正方形，，，
在中，根据勾股定理得，
或舍，，，正方形的边长为；
由正方形的边长为，，
由①可知，，，由②得，设，
，，，
，解得，，故④正确故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．（2021秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．
其中正确的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】①如图，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，
②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；
③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；
④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF=a，想办法求出BE，EC即可判断．
【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∴，
∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．
∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，

∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE=OF，Rt△CEF中，OCEFx，
在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE．∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，
∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，∴1x，∴x=2，
∴，故③不正确，
③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH．
∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，
如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa，
∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AEANa，
∴BEa，∴ECaBC，故⑤正确．故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
7．（2023·山东青岛·统考二模）如图，等腰直角三角形，，D，E是上的两点，且，过D，E作分别垂直，垂足为M，N，交于点F，连接．其中①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中，正确结论有 ．（填序号）

【答案】①②④
【分析】由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形是矩形，再证明，从而可判断①；利用可判定，从而可判断②；在没有时，无法证得，故可判断③；由可判定，从而可判定④．
【详解】解：∵分别垂直，垂足为M、N，∴，
又∵，∴四边形是矩形；
∵为等腰直角三角形，∴，
∵，∴和均为等腰直角三角形，
又∵，∴，
∴∴，∴四边形是正方形，故①正确；
∵，∴∴，
∵为等腰直角三角形，∴，
∴，故②正确；
如图所示，将绕点A顺时针旋转至，则，
由于，故点N落在点M处，连接，则D、M、共线，

∵，∴，∴，∴，
当时，，
，∴，∴，
∴在没有时，无法证得，故③错误；
∵，∴，∴，
∴当时，，
∵，∴，
∴，∴，∴，故④正确．
综上，正确的有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
8．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，已知正方形边长为，为边上一点，将以点为中心按顺时针方向旋转得到，连接，分别交，于点，若，则 ．
【答案】
【分析】过点作于点，则，设，则，证明点、、在同一条直线上，再证明∽，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出的值，即得到的长，再求出的长，可证明是等腰直角三角形，即可求得的长，再根据勾股定理求出的长，再求出的值即可．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
四边形是正方形，且正方形的边长为，
，，，
，，设，则，
，，由旋转得，，
，，点、、在同一条直线上，
，，∽，
，，整理得，解得，不符合题意，舍去，
，，
，，
，，故答案为：．
【点睛】此题考查旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数、勾股定理、解直角三角形等知识与方法，证明∽并且求出的长是解题的关键．
9．（2023·安徽宿州·校考模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．
（1）若正方形的边长为2，则的周长是 ．（2）若，则 ．
【答案】 4
【分析】（1）过作，交延长线于，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明和得到，进而推导出的周长为即可求解；
（2）连接，证明和得到为等腰直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）过作，交延长线于，如图．
四边形是正方形，，，，
，，
，，，
，，又，，，
的周长
，
正方形的边长为2，的周长为4，故答案为：4；
（2）连接，，，，
，即，又，
，，，
为等腰直角三角形，即，，
，，，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
10．（2023.上海市黄浦区九年级一模）如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q．
（1）求的值：（2）当时，求的度数；（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置．
【答案】（1）；（2）45°；（3）不会发生变化，．
【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt△ABC，由正弦三角函数即可求得；
（2）证明 △BCG≌△DCN，得到角相等，再由角相等，得△GMC≌△NMC，由解答即可；
（3）由D、C、N、P四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC，再得△CPQ∽△CNM，由此解答即可．
【详解】解：（1）连接AC
∵，∴AC垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=∠MCN
在Rt△ABC中，AB=4，AC=3∴AC= ∴=sin∠ACB=
（2）延长AB至G点，使BG=DN，连接CG，
∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG≌△DCN
∴∠G=∠CND，CN=CG，∠BCG=∠DCN
∴∠MCN=∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=∠BCD
∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=∠BCD=∠MCN
∵CM=CM， ∠G=∠CND,∴△GMC≌△NMC∴∠G=∠MNC=∠DNC
当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°
（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90° ∠ADO+∠CDO=90°
∴∠ADO=∠COD= ∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP
∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°
∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC
∴△CPQ∽△CNM∴
在Rt△CPN中， =cs∠MCN=cs∠ACB=
∴不会发生变化
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．
11．（2023山东九年级期末）已知正方形ABCD的边长为8，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图①，当a=8时，b的值为 ；
（2）如图②，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（3）请写出∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．

【答案】（1）16；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，判断出∠CAF=∠AEC，进而判断出△ACF∽△ECA，即可得出结论；
（2）先证明△ACF≌△ACE，从而得到CF=CE，然后再证明△ACE为等腰三角形，则CE=AC=8；
（3）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，判断出∠CAF=∠AEC，进而判断出△ACF∽△ECA，即可得出结论．
【详解】（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BCD=90°，∠ACB=45°，∴∠ACF=135°，∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA，∴，
∴EC×CF=AC2=2AB2=128∴ab=128，∵a=8，∴b=16；
（2）∵四边形是正方形，∴
∵是正方形的对角线，∴，∴，
∵被对角线平分，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，，∴，∵，
又∵，∴，∴
在直角三角形中，∴，即：．
（3） 理由：∵是正方形的对角线
∴，∴
∵，
∴∴∴∴
∵（已求）， ∴
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断△ACF∽△ECA，也是本题的难点．
12．（2023·宁夏·九年级统考期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），设，．
（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．
（2）求与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围．
（3）以的斜边所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图（2），若，求出点的坐标，猜想线段、和之间的关系，并通过计算加以验证．
【答案】（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA，证明见解析；（2）b=，1＜a＜2；（3）G（1－，0）；BG2+CF2=FG2．
【分析】(1)找到有公共角的和45°角的两个三角形即可；
(2)证明△ACG∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可得与a的函数关系式，根据点F与点C重合时a为2，点G与点B重合时a为1，可得a的取值范围
(3)先求得a=b=，可求点G（1－，0）；根据BG=OB﹣OG，求得FG=BC﹣2BG=2－2，即可得到线段、和之间的关系.
【详解】（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA．
∵∠GAF=∠C=45°，∠AGF=∠AGC，
∴△ACG∽△FAG．类似证明△FAG∽△FBA；
（2）∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，∴∠CAG=∠BFA．
∵∠B=∠C=45°，∴△ACG∽△FBA，∴ =．
由题意可得CA=BA=．∴=．∴b=．自变量a的取值范围为1＜a＜2．
（3）由BG=CF可得BF=CG，即a=b．
∵b=，∴a=b=．∵OB=OC=BC=1，∴OF=OG=﹣1．∴G（1－，0）．
线段BG、FG和CF之间的关系为BG2+CF2=FG2；
∵BG=OB﹣OG=1－(－1)=2－=CF，FG=BC﹣2BG= 2－2(2－)=2－2．
∵BG2+CF2=2(2－)2=12－8，FG2=(2－2)2=12－8．
∴BG2+CF2=FG2 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质.，利用两角对应相等得到所需的两个三角形相似进而得到对应边成比例是解决问题的关键.
13．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．

【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；
【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．
【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]
【分析】[探究一]证明，即可得证；
[探究二]根据正方形的性质证明，根据三角形内角和得出，加上公共角，进而即可证明 [探究三]先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论．
【详解】[探究一]
∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上，
∴，∴，∴，
在与中∴∴
[探究二]证明：如图所示，

∵四边形是正方形，∴，
又，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
又∵公共角，∴；
[探究三] 证明：∵是正方形的对角线，
∴，，∴，
∵，∴，
即，∴，∴，，
如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．

∴，，∴，
又，∴，∴，
∵，∴，
又∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023春·辽宁沈阳·九年级统考开学考试）在矩形中，．
(1)如图1，若，点，分别在，上，连接．
①线段，，三者之间的数量关系是：________；
②当点是中点时，求证：；
(2)如图2，若，，点，分别在，上．若，请直接写出线段的长；
(3)如图3，若，，连接，将绕点旋转，当的一边与射线重合时，另一边与的垂直平分线交于点，请直接写出线段的长．
【答案】(1)①；②见解析(2)(3)或
【分析】（1）①将绕点顺时针旋转得到，则，证明，即可得出结论；
②设正方形的边长为，，在中，，得出，进而即可求解；
（2）取的中点，连接交于点，由（1）②可得，则，勾股定理求得，根据即可求解；
（3）分在上，在上，分类讨论即可求解．
【详解】（1）①解：，如图所示，
∵四边形是正方形，∴，
将绕点顺时针旋转得到，则，
∴，，∴与重合，
∵，则，即三点共线，∴，
∵，则∴
又∵，∴∴，故答案为：．
②当点是中点时，设正方形的边长为，，则，，
∵，∴，
在中，，即，
∴，∴，
∵，∴，∴，即；
（2）解：如图，取的中点，连接交于点，
∵，∴四边形是菱形，
又∵∴四边形是正方形，∵则是的中点
由（1）②可得，∴，∴
∵∴∴∴
（3）解：如图所示，当与重合时，过点作，
∵，则是等腰直角三角形，
∴，即是等腰直角三角形，
∴四边形是正方形，∴，
∵，则，又∵∴三点共圆，
又∵，∴都在上，∴，
又∵∴是等腰直角三角形，则
如图，延长交的延长线于点，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴∴，
∵，即是等腰直角三角形，∴；
②当与重合时，如图所示，同理可得在上，
是等腰直角三角形，∴∴，综上所述，或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
15．（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践

(1)【操作发现】如图，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角；
(2)【拓展探究】如图，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点． 度；若，求线段的长；(3)【迁移应用】如图，在矩形，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)；(2)；；(3)或．
【分析】（）由是正方形，得出，再根据折叠的性质得: ，，即可求解；
（）由是正方形，得，由折叠的性质得:，，，则，由()得: ，所以是等腰直角三角形，则，，求出即可求解；
由可知，，则有，又由角所对直角边是斜边的一半及勾股定理，线段和差即可求解；（）先添加辅助线，然后分两种情形： 当，当，分别求解即可．
【详解】（1）结论: ，
理由：∵四边形是正方形，∴，
由折叠的性质得: ，，
∴，∴
（2）∵四边形是正方形，∴，
由折叠的性质得:，，，
∴，由()得: ，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：；
∵四边形是正方形，∴，
∵，∴，
∵，∴，，，
∴，
在中，，∴，
∴，
（3）如图中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接，

当时，，，
∵，∴，∴，∴，∴，
由()可知，设，则，，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：，∴，当时, 同法可得，
综上所述，满足条件的的值为：或．
【点睛】此题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识， 熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键．