2024年高考真题——数学试卷（北京卷） 考试版

这是一份2024年高考真题——数学试卷（北京卷） 考试版，共4页。
数 学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则（ ）．
A. B. C. D. 1
3. 求圆的圆心到的距离（ ）
A. B. 2C. D.
4. 的二项展开式中的系数为（ ）
A 15B. 6C. D.
5. 已知向量，，则“”是“或”的（ ）条件．
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件
C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，，，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（ ）
A.
B.
C. 若，则；若，则；
D. 若，则；若，则；
8. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知抛物线，则焦点坐标________．
12. 已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最大值为________．
13. 已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．
14. 已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．
15. 已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.
①，均为等差数列，则M中最多一个元素；
②，均为等比数列，则M中最多三个元素；
③为等差数列，为等比数列，则M中最多三个元素；
④单调递增，单调递减，则M中最多一个元素.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在△ABC中，，A为钝角，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．
①；②；③．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
17. 已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．
（1）若F是PE中点，证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角余弦值．
18. 已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为，估计的数学期望；
（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
19. 已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t．
20. 已知在处切线为l．
（1）若切线l的斜率，求单调区间；
（2）证明：切线l不经过；
（3）已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？
（参考数据：，，）
21. 设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数