七年级数学下册专题04平行线中的拐点模型之羊角模型(原卷版+解析)

这是一份七年级数学下册专题04平行线中的拐点模型之羊角模型(原卷版+解析)，共37页。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：羊角模型
图1图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
图1 图2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.
例1．（2023·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．
例2．（2023下·福建福州·七年级统考期末）如图，已知，．求证：．

例3．（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）如图，与分别相交于点B、F，连接．给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判断的条件的个数为（ ）

A．2B．3C．4D．5
例4．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为上的点，，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是（ ）．

A．①②B．②③C．①③D．①②③
例5．（2023下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．

(1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系；
①______，②______，③______，④______．(2)请写出图③证明过程．
例6．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，在中，E在边BC上，过点E作，交AC于点F，若D为BC边上的动点，连接DF、DA，设，．(1)如图①，当D在线段BE上时．①若，，则________；②试证明．
(2)如图②，当点D在线段EC上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．
(3)如图③，当点D在BC延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．

课后专项训练
1．（2023·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）如图，，，则（ ）

A．B．C．D．
3．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，要求使，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023下·湖南永州·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，．若，则等于（ ）

A．B．C．D．
5．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，，，，点在上，点在上，则的度数为( )

A．B．C．D．
6．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023下·四川泸州·七年级校考期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2023下·重庆合川·八年级统考期末）如图，直线 ,的直角顶点在直线上，点在直线上，若边的中点在直线上且，则的度数为 ．
9．（2023下·福建三明·七年级统考期中）如图，与交于点，于点．若，则 度．

10．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，，，则 ．

11．（2023上·广东·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ．

12．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ．

13．（2023·新疆·七年级期中）如图．已知，且，求的度数．
14．（2023上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点平分，如果，求的度数．
解：因为（ ），
又因为（ ），所以________．
因为平分（已知），所以________（ ）
因为（已知），所以________（ ）．
所以（ ）．所以．
因为________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又因为（已知），所以________．
15．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考阶段练习）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．(1)如图，若，求的度数；(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
(3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
16．（2023下·福建龙岩·七年级统考期中）已知，点M、N分别是、上的点，点在、之间，连接、．（作辅助线提示：过点G、P作平线）
(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．

17．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）综合与实践
（1）【图形探究】如图1，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，、、之间的数量关系为________；（提示：可以过点作的平行线）
（2）【问题迁移】如图2，，点在的上方时，、、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，则________（用含有的式子表示）.

18．（2023下·河南焦作·七年级统考期中）如图1，已知，C为射线上一点(不与点A 重合)，连接【发现】如图2过点C作（1）若，求 的度数；（2）若，求的度数；【探究】直接写出图1中和之间的数量关系： ；
【拓展】利用【探究】中的结论完成下列问题．如图3，为射线上一点(不与点A 重合)，在射线上取一点O，过点O作直线，使，平分交于点E，平分交于点F，交于点G，当点C沿着射线方向运动时，的度数是否会变化 ？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．

19．（2023下·贵州铜仁·七年级统考阶段练习）阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．
(1)已知，如图1，，请你探究一下与、度数之间有何数量关系？并说明理由．
(2)在图1中，当点向左移动到图2所示的位置时，与、的度数之间又有怎样的数量关系呢？请说明理由．(3)在图1中，当点向上移动到图3所示的位置时，请直接写出与、度数之间的数量关系．
20．（2023下·江西吉安·七年级统考期中）求解下列各题
(1)如图（1），，点在外部，若，则____
(2)如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．

21．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知．

(1)如图1，求证：；(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．①如图2，若，且，求的度数；②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ．
22．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）阅读与理解：
如图1，直线，点P在a，b之间，M，N分别为a，b上的点，P，M，N三点不在同一直线上，与的夹角为，与b的夹角为β，则．
理由如下：过P点作直线，因为，所以（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．所以（两直线平行，内错角相等），所以，即．
计算与说明：已知：平面上一点O和线段，．
(1)当点O在线段之间时，如图2，平分，平分，若，则的度数为 ．(2)当点O位于图3的位置时，连接，请问：与有怎样的数量关系？并说明理由．
专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：羊角模型
图1图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
图1 图2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.
例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
例2．（2023下·福建福州·七年级统考期末）如图，已知，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】先证明，可得，结合，可得，从而可得结论．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．
例3．（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）如图，与分别相交于点B、F，连接．给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判断的条件的个数为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据平行线的判定条件进行判断即可．
【详解】解：①当时，根据同位角相等，两直线平行可得，故①符合题意；
②当时，
∵，∴，∴，故②符合题意；
③当时，无法判断，故③不符合题意；
④当时，无法判断，故④不符合题意；
⑤当时，根据内错角相等，两直线平行得，故⑤符合题意．
则符合题意的有①②⑤，共3个．故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件．
例4．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为上的点，，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是（ ）．

A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质、邻补角的定义可得，，，，再根据角的和差可得，再根据平行线的性质和三角形的内角和定理可判定①；如图：过E作，先说明判定②解答；由已知得，，则，即，由②有，即，可得，即可判定③．
【详解】解：∵与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，
∴，，,
∴，∵，∴，
∴,即①正确；
如图：过E作，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，
∴，故②正确；

∵，，∴，即，
∵，∴，即，解得：，即③正确．故选D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、四边形的内角和定理等知识点，明确各角之间的关系是解答本题的关键．
例5．（2023下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．

(1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系；
①______，②______，③______，④______．(2)请写出图③证明过程．
【答案】(1)；；；(2)见解析
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线平行解答；
（2）过点作的平行线，由平行线的性质和三角形外角的性质证明．
【详解】（1）解：①；②；
③；④；
（2）①如图①，过点作，则，，，
，．

②如图②，过点作，则，，，
，．
③如图③，过点作，则，，，
，．
④如图④，过点作，则，，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是过拐点准确作出的平行线．
例6．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，在中，E在边BC上，过点E作，交AC于点F，若D为BC边上的动点，连接DF、DA，设，．(1)如图①，当D在线段BE上时．①若，，则________；②试证明．
(2)如图②，当点D在线段EC上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．
(3)如图③，当点D在BC延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．

【答案】(1)①；②见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析．
【分析】（1）①过点D作，利用两直线平行，内错角相等得，，则；②由①同理解决问题；（2）设AD与EG的交点为M，由平行线的性质得，且是的外角，得，从而得出答案；
（3）设EG与AD的交点为N，由（2）同理可得．
【详解】（1）解：①过点D作，，，，，
∵，，，
，，，故答案为：；

②过点D作，∵，，，
，，；
（2）解：，理由如下：设AD与EG的交点为M，
，，是的外角，
，；
（3）解：，理由如下：设EG与AD的交点为N，
∵，，是的外角，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用两直线平行，同位角相等，三角形外角性质计算即可．
【详解】解：∵，∴，

∵，，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
2．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）如图，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得，根据三角形的外角进行计算即可得．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
3．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，要求使，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质，由得到，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角性质计算的度数．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∵，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．
4．（2023下·湖南永州·七年级校考阶段练习）如图，直线，相交于点，．若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由邻补角的定义，即可求得的度数，然后由，根据两直线平行，同位角角相等，即可求得的度数．
【详解】解：∵，
又∵，∴，故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等，注意数形结合思想的应用．
5．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，，，，点在上，点在上，则的度数为( )

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，据两直线平行，同位角相等，即可求得，又由三角形外角的性质，求得答案．
【详解】解：，，
，．故选：B．
6．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用等量代换即可解答．
【详解】解：如图：

∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2023下·四川泸州·七年级校考期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理可判断①；由平行线的性质得到，等量代换得到，可判断②；根据的余角比大，又，由此列方程得到，可判断③；设，，得到，根据角平分线的定义即可得到结论，可判断④．
【详解】解：∵，，∴，∴，故①正确；
∴，∵，∴，∴平分，故②正确；
∵的余角比大，∴，
∵，∴，∴，故③错误；
设，，∴，∵平分，∴，
∵平分，∴，∴，
∴，∴，∴，故④错误，∴正确结论的个数有2个．故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，正确识别图形是解题的关键．
8．（2023下·重庆合川·八年级统考期末）如图，直线 ,的直角顶点在直线上，点在直线上，若边的中点在直线上且，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质可知，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：∵在中，点为的中点，
∴，，∴，
∵，∴在中，，
即，∴，∵，∴，故答案为；
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
9．（2023下·福建三明·七年级统考期中）如图，与交于点，于点．若，则 度．

【答案】53
【分析】根据，可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：，，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识是解题关键．
10．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，，，则 ．

【答案】/60度
【分析】过点C作，则，由，，得到，进而，从而．
【详解】 如图，过点C作，∴，
∵，，∴，∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2023上·广东·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ．

【答案】/68度
【分析】如图，延长交于M．由题意设，．构建方程组证明即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于M．由题意设，．

则有，得：，
∵，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题．
12．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，

（1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ．
【答案】
【分析】（1）延长，交与点H，令和相交于点I，根据三角形的外角定理得出，易得，根据平行线的性质得出，，求出，进而求出，最后根据三角形的外角定理得出，即可求解；（2）设，则，根据角平分线的定义的得出，则，进而得出，根据平行线的性质得出，进而得出，最后根据三角形的内角和定理得出，列出等式，即可得出结论．
【详解】解：（1）延长，交与点H，令和相交于点I，
∵，，∴，
∵，，∴，
∵， ∴，，
∵平分，∴，∴，
∴，故答案为：20°；

（2）设，∴，
∵平分，∴，
∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，，，
∴，即，
整理得：．故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
13．（2023下·新疆喀什·七年级校考期中）如图．已知，且，求的度数．

【答案】
【分析】根据平行公理可得，根据内错角相等可得，根据，可得，进而根据，即可求解．
【详解】∵，∴，∴，
∵，∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
14．（2023上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点平分，如果，求的度数．
解：因为（ ），
又因为（ ），所以________．
因为平分（已知），所以________（ ）
因为（已知），所以________（ ）．
所以（ ）．所以．
因为________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又因为（已知），所以________．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角定义以及三角形的角平分线定义．先根据三角形的内角和求出，，则，再根据平行线的性质得出，则，最后据三角形的外角定理，即可求解，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理及定义．
【详解】解：因为（三角形的内角和等于），
又因为，（已知），所以．
因为平分（已知），所以（ 角平分线的定义）．
因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）．
所以（等量代换）．所以．
因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又因为（已知），所以．
故答案为：三角形的内角和等于；已知；55；，角平分线的定义；，两直线平行，同位角相等；等量代换；E；20．
15．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考阶段练习）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．(1)如图，若，求的度数；(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
(3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数；
（2）过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到；
（3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过作，

，∴，∴，，
，∴；
（2）解：如图2，过作，过点P作，设，
，，，，
，，，
平分，平分，，，
，，平分，，
，，，
，，；
（3）解：如图3，过作，过作，设，，
交于，平分，，，
，，，，
，，，
，平分，，，
，，
，，
，，，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
16．（2023下·福建龙岩·七年级统考期中）已知，点M、N分别是、上的点，点在、之间，连接、．（作辅助线提示：过点G、P作平线）

(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数；
（2）过作，过点作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到．
【详解】（1）解：如图1，过作，

，，，，
，∴，；
（2）如图2，过作，过点作，设，
，，，，
，，，
平分，，，
，，平分，，
，，，
，，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
17．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）综合与实践
（1）【图形探究】如图1，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，、、之间的数量关系为________；（提示：可以过点作的平行线）
（2）【问题迁移】如图2，，点在的上方时，、、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，则________（用含有的式子表示）.

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）过点作的平行线，根据平行线的性质可得，即可推得，，即可求得；（2）过点作，根据平行线的性质可得，即可推得，，即可求得；
（3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质可得，，，，推得，，根据角平分线的性质可求得，即可得到．
【详解】解：（1）过点作的平行线，如图：

∵∴∴，
∴故答案为：
（2）理由如下：如图所示：过点作
∵，∴∴，
∵，∴
（3） 过点P作，过点Q作，如图
∵，∴，
∵，，∴，，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，是的平分线∴，
∴
∴ 故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线性质的综合应用，解题关键在于：一是辅助线的作法，二是根据不同图形利用不同的性质去解决问题．
18．（2023下·河南焦作·七年级统考期中）如图1，已知，C为射线上一点(不与点A 重合)，连接【发现】如图2过点C作（1）若，求 的度数；（2）若，求的度数；【探究】直接写出图1中和之间的数量关系： ；
【拓展】利用【探究】中的结论完成下列问题．如图3，为射线上一点(不与点A 重合)，在射线上取一点O，过点O作直线，使，平分交于点E，平分交于点F，交于点G，当点C沿着射线方向运动时，的度数是否会变化 ？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．

【答案】（1）（2）【探究】 【拓展】不变，
【分析】【发现】（1）根据平行线的性质，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度数；（2）由（1）可得出；
【探究】过点C作，类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；
【拓展】运用（2）的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出度数，可得结论．
【详解】【发现】(1)∵，∴，
∵∴
（2）由（1）可知
【探究】，理由：过点C，如图2，
则，∵，
∴；故答案为：
【拓展】不变，设，∵平分，∴，
由 【探究】结论可知，，
则：，∵，∴，
∵平分，，
∵，∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练掌握用平行线的性质证明角相等，通过等量代换等方法得出角之间的关系．
19．（2023下·贵州铜仁·七年级统考阶段练习）阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．
(1)已知，如图1，，请你探究一下与、度数之间有何数量关系？并说明理由．
(2)在图1中，当点向左移动到图2所示的位置时，与、的度数之间又有怎样的数量关系呢？请说明理由．(3)在图1中，当点向上移动到图3所示的位置时，请直接写出与、度数之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）过点作，于是得出，根据两直线平行，同旁内角互补得出，，于是有，即；
（2）过点作，于是得出，根据两直线平行，内错角相等得出，，于是得出；（3）过点作，于是得出，根据两直线平行，内错角相等得出，，于是得出．
【详解】（1）解： ，理由：如图1，过点作，
，，
，，，
，；

（2），理由：如图2，过点作，
，，，，，
，；
（3），理由：如图3，过点作，
，，，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（2023下·江西吉安·七年级统考期中）求解下列各题
(1)如图（1），，点在外部，若，则____
(2)如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．

【答案】(1)(2)，证明见解析；(3)
【分析】（1）由，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，又由三角形外角的性质列式求得的度数；（2）过点P作，由可得，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
（3）如图：过点作交于，过点作，根据平行线的性质可得、,，结合图形可得即即可解答．
【详解】（1）解：，，
∵,∴．
（2）解：．理由如下：过点作，

，，
，．
（3）解：过点作交于，过点作，
,，
，,，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，正确作出辅助线、灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．
21．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知．

(1)如图1，求证：；(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．①如图2，若，且，求的度数；②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ．
【答案】(1)见解析(2)①；②或
【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可；
（2）①过F作，交于H点，过点作，则，，根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案；②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，过E作，∴，

又∵，∴，∴，
即；
（2）①如图，过F作，交于H点，过点作，则，，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
∵，即，∴，
∵，∴，
∴，即，∴；
②如图，过点F作，则，作，
设，则，∵，∴，
∵∴，，
∵，∴
∴，即
∴，，当K在上，，
同推出的道理可证：
∴，
∵平分，∴，即，∴；
当K在延长线上时，同推出的道理可证：

∴∵∴，
∵平分，∴，即，∴；
综上所述，或．故答案是：或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键．
22．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）阅读与理解：
如图1，直线，点P在a，b之间，M，N分别为a，b上的点，P，M，N三点不在同一直线上，与的夹角为，与b的夹角为β，则．
理由如下：过P点作直线，因为，所以（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．所以（两直线平行，内错角相等），所以，即．
计算与说明：已知：平面上一点O和线段，．
(1)当点O在线段之间时，如图2，平分，平分，若，则的度数为 ．(2)当点O位于图3的位置时，连接，请问：与有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1) (2)，理由见解析
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，同题干可得；（2）如图所示，过点O作，则，由平行线的性质得到，进一步转换即可证明．
【详解】（1）解：∵，平分，平分，
∴，
同题干可证明，故答案为：；
（2）解：，理由如下：如图所示，过点O作，
∵，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，正确理解题意是解题的关键．