苏教版八年级数学暑假第11讲立方根练习(学生版+解析)

这是一份苏教版八年级数学暑假第11讲立方根练习(学生版+解析)，共20页。
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【基础知识】
一．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
二．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
【考点剖析】
一．立方根（共8小题）
1．（2022春•海安市校级月考）若，，则下列各式中正确的是
A．B．C．D．
2．（2022•碑林区校级二模）的立方根为
A．B．C．D．
3．（2022•鄞州区一模）计算：的结果是 ．
4．（真题•崇川区校级月考）已知的平方根是，的算术平方根是5，则的立方根是 ．
5．（真题•东台市期末）解方程：．
6．（真题•济宁期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根．
7．（2022春•如皋市校级月考）如果与互为相反数，那么的立方根是 ．
8．（2022春•开州区期中）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根．
二．计算器—数的开方（共1小题）
9．（2016春•固始县期末）按要求填空：
（1）填表：
（2）根据你发现规律填空：
已知：，则 ， ；
已知：，，则 ．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（真题•阜宁县期末）下列说法正确的是
A．4的平方根是B．8的立方根是
C．D．
2．（真题•双塔区校级期末）下列说法：①都是27的立方根；②的算术平方根是；③；④的平方根是；⑤是81的算术平方根，其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（真题•东营期末）下列运算正确的是
A．B．C．D．
4．（真题•江都区期末）面积为9的正方形的边长是
A．9的算术平方根B．9的平方根
C．9的立方根D．9开平方的结果
5．（2022春•孝南区期中）下列说法中，正确的是
A．4的算术平方根是B．的平方根是
C．8立方根是D．的立方根是
6．（真题•东台市期末）下列说法正确的是
A．4的算术平方根是2B．0.16的平方根是0.4
C．0没有立方根D．1的立方根是
二．填空题（共6小题）
7．（2022春•开州区期中）已知，，则 ．
8．（真题•礼泉县期末）的立方根是 ．
9．（2022•秦淮区校级模拟）16的平方根是 ；16的立方根是 ．
10．（真题•海安市期中）已知，则 ．
11．（真题•肃州区期末）的平方根是 ，的立方根是 ．
12．（2022•丹江口市模拟）定义一种新的运算：．计算： ．
三．解答题（共9小题）
13．（2022春•崇川区校级期中）求下列各式中的值：
（1）； （2）．
14．（2022春•海安市校级月考）求的值：
（1）； （2）．
15．（真题•仪征市期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，求代数式的平方根．
16．（真题•大丰区期末）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
17．（真题•白银期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
18．（真题•海陵区校级月考）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
19．（真题•盱眙县期末）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．
（1）求、的值；
（2）求的平方根．
20．（真题•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．
21．（真题•江宁区期中）（1）填空：
， ，，， ，
（2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
①已知，则 ；
②已知，，则 ．
（3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知，，则 ．
0.0004
0.04
4
400




第11讲 立方根
【学习目标】
1. 了解立方根的含义；
2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【基础知识】
一．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
二．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
【考点剖析】
一．立方根（共8小题）
1．（2022春•海安市校级月考）若，，则下列各式中正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解．
【解答】解：被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，
，
故选：．
【点评】此题考查了开立方运算中规律问题的解决能力，关键是能准确理解运用相关的规律．
2．（2022•碑林区校级二模）的立方根为
A．B．C．D．
【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根）解决此题．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．
3．（2022•鄞州区一模）计算：的结果是 ．
【分析】直接利用立方根定义计算即可．
【解答】解：的结果是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意：负数的立方根还是负数．
4．（真题•崇川区校级月考）已知的平方根是，的算术平方根是5，则的立方根是 3 ．
【分析】根据平方根和算术平方根的概念列方程求得和的值，然后代入求得其立方根即可．
【解答】解：的平方根是，的算术平方根是5，
，，
解得：，，
，
的立方根是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查平方根，算术平方根和立方根，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键．
5．（真题•东台市期末）解方程：．
【分析】根据立方根的定义，求出．
【解答】解：，
，
解得．
【点评】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义及性质是解题关键．
6．（真题•济宁期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到、的值，最后代入代数式求解即可．
【解答】解：的平方根是，
，
，
的立方根是2，
，
把的值代入解得：
，
，
的算术平方根为5．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
7．（2022春•如皋市校级月考）如果与互为相反数，那么的立方根是 ．
【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出的值，再利用立方根的定义可得出答案．
【解答】解：与互为相反数，
，
，，
解得：，，
，
的立方根是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了立方根以及算术平方根和偶次方的性质，正确得出，的值是解题关键．
8．（2022春•开州区期中）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到、的值，最后代入代数式求解即可．
【解答】解：的平方根是，
，
，
的立方根是3，
，
把的值代入解得：
，
，
的算术平方根为13．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
二．计算器—数的开方（共1小题）
9．（2016春•固始县期末）按要求填空：
（1）填表：
（2）根据你发现规律填空：
已知：，则 ， ；
已知：，，则 ．
【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案．
（2）将720化为，将0.00072化为，继而可得出答案；再根据61.64化为可得出第二空的答案．
【解答】解：（1），，，；
填表如下：
（2），
；
，，
．
故答案为：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．
【点评】此题考查了计算器数的开方，属于基础题，解答本题的关键是熟练计算机的运用，难度一般．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（真题•阜宁县期末）下列说法正确的是
A．4的平方根是B．8的立方根是
C．D．
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值，再选出即可．
【解答】解：、4的平方根是，故本选项正确；
、8的立方根是2，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了对平方根、立方根、算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
2．（真题•双塔区校级期末）下列说法：①都是27的立方根；②的算术平方根是；③；④的平方根是；⑤是81的算术平方根，其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可．
【解答】解：①3是27的立方根，原来的说法错误；
②的算术平方根是，原来的说法错误；
③是正确的；
④，4的平方根是，原来的说法错误；
⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误．
故其中正确的有1个．
故选：．
【点评】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．
3．（真题•东营期末）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根、立方根、有理数的乘方的定义解决此题．
【解答】解：．根据算术平方根的定义，，那么错误，故不符合题意．
．根据有理数的乘方，，那么错误，故不符合题意．
．根据立方根的定义，，那么错误，故不符合题意．
．根据算术平方根的定义，，那么正确，故符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查算术平方根、立方根、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根、立方根、有理数的乘方的定义是解决本题的关键．
4．（真题•江都区期末）面积为9的正方形的边长是
A．9的算术平方根B．9的平方根
C．9的立方根D．9开平方的结果
【分析】设正方形边长为，根据面积公式得方程，解出即可．
【解答】解：设正方形边长为，
根据面积公式得：，
解得，不合题意，舍去，
故选：．
【点评】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念的运用，熟练掌握它们的区别与联系，根据题意列出方程是解题关键．
5．（2022春•孝南区期中）下列说法中，正确的是
A．4的算术平方根是B．的平方根是
C．8立方根是D．的立方根是
【分析】根据平方根和立方根的性质判断即可．
【解答】解：的算术平方根是2，
不合题意．
．
9的平方根是，
符合题意．
任何数有唯一的立方根，
不合题意．
的立方根为，
不合题意．
故选：．
【点评】本题考查平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性质及表示是求解本题的关键．
6．（真题•东台市期末）下列说法正确的是
A．4的算术平方根是2B．0.16的平方根是0.4
C．0没有立方根D．1的立方根是
【分析】解：：正数的算术平方根是正数；
：正数的平方根有两个，并且互为相反数；
有立方根；
：正数的立方根只有1个正数．
【解答】解：的算术平方根是2，符合题意；
的平方根是，不符合题意；
有立方根，不符合题意；
的立方根是1，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了算术平方根和平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2022春•开州区期中）已知，，则 0.06993 ．
【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位得出即可．
【解答】解：，
，
故答案为：0.06993．
【点评】本题考查了立方根的定义和符号移动规律，能熟记立方根的符号移动规律的内容是解此题的关键．
8．（真题•礼泉县期末）的立方根是 ．
【分析】直接利用立方根的定义计算．
【解答】解：
的立方根是．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意负数的立方根还是负数．
9．（2022•秦淮区校级模拟）16的平方根是 ；16的立方根是 ．
【分析】根据平方根和立方根的定义解答．
【解答】解：16的平方根是，16的立方根是．
故答案为：，．
【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．
10．（真题•海安市期中）已知，则 55.39 ．
【分析】根据“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可．
【解答】解：，
故答案为：55.39．
【点评】本题考查立方根，理解“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”是正确解答的关键．
11．（真题•肃州区期末）的平方根是 ，的立方根是 ．
【分析】先找出、的值，再根据平方根与立方根即可得出结论．
【解答】解：，
的平方根是；
，
的立方根是．
故答案为：；．
【点评】本题考查了平方根以及立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求法．
12．（2022•丹江口市模拟）定义一种新的运算：．计算： 5 ．
【分析】根据新定义先求出，再根据新定义求即可求解．
【解答】解：，
．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了立方根，新定义，解题的关键是弄清楚新运算“※”的运算法则，属于中档题．
三．解答题（共9小题）
13．（2022春•崇川区校级期中）求下列各式中的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用平方根的计算方法进行求解即可得出答案；
（2）应用立方根的计算方法进行求解即可得出答案．
【解答】解：（1），
，
，，
或；
（2），
，
，
．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算方法进行求解是解决本题的关键．
14．（2022春•海安市校级月考）求的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）通过系数化为1、开平方进行求解；
（2）通过系数化为1、开立方进行求解．
【解答】解：（1）系数化为1，得，
开平方，得，
解得或；
（2）系数化为1，得，
开立方，得，
解得．
【点评】此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．
15．（真题•仪征市期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，求代数式的平方根．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出，的值，求出，再求它的平方根即可．
【解答】解：的算术平方根是2，的立方根是，
，，
，，
，
的平方根为．
答：的平方根为．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
16．（真题•大丰区期末）已知：一个正数的两个不同平方根分别是和．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
【分析】（1）根据正数的平方根的性质解决此题．
（2）根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：（1）由题得，．
．
．
．
．
（2）由（1）得，．
．
的立方根是2．
【点评】本题主要考查立方根、平方根，熟练掌握立方根、平方根是解决本题的关键．
17．（真题•白银期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
【分析】利用算术平方根、立方根性质求出与的值，即可确定出所求．
【解答】解：，
，
，
，
．
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．（真题•海陵区校级月考）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
【分析】根据算术平方根与立方根的定义得到，，则可计算出，，然后计算后利用平方根的定义求解．
【解答】解：因为的算术平方根是3，的立方根是2，
所以，
解得，
所以，
所以的平方根为．
【点评】本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
19．（真题•盱眙县期末）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．
（1）求、的值；
（2）求的平方根．
【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根是和，列出方程解出，再根据的立方根为，列出方程解出；
（2）把、代入计算出代数式的值，然后求它的平方根．
【解答】解：（1）正数的两个不同的平方根是和，
，
解得，
的立方根为，
，
解得
、；
（2）、代入
得，
的平方根是．
【点评】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键
20．（真题•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．
【分析】（1）先变形，再求值．
（2）先变形，再求值．
（3）先变形，再求值．
【解答】解：（1），
．
（2），
．
．
（3），
．
．
，即．
【点评】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键．
21．（真题•江宁区期中）（1）填空：
， 0.1 ，，， ，
（2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
①已知，则 ；
②已知，，则 ．
（3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知，，则 ．
【分析】（1）根据二次根式的性质解决此题．
（2）根据二次根式的性质解决此题．
（3）根据立方根解决此题．
【解答】解：（1），
．
故答案为：0.1，100．
（2）①，
．
故答案为：31.6．
②，，，
．
．
．
故答案为：36800．
（3），，，
．
．
．
故答案为：2000．
【点评】本题主要考查算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根是解决本题的关键．
0.0004
0.04
4
400
0.02



0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20