苏教版八年级数学暑假第15讲轴对称图形全章复习与测试练习(学生版+解析)

这是一份苏教版八年级数学暑假第15讲轴对称图形全章复习与测试练习(学生版+解析)，共46页。
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。
2.对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
3.线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
4了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
5了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】
一．生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
二．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
四．镜面对称
1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
五．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
六．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
七．剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
八．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
九角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
十线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
十一等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
十二等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
十三等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
十四等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
十五等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
十六等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
【考点剖析】
一．角平分线的性质（共1小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（ ）
A．3B．C．4D．
二．线段垂直平分线的性质（共1小题）
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若△ABC的周长为19cm，AE＝3cm，则△ACD的周长为（ ）
A．22cmB．19cmC．13cmD．7cm
三．等腰三角形的性质（共1小题）
3．等腰三角形的两边长分别是4cm、9cm，则它的周长为 ．
四．等腰三角形的判定（共2小题）
4．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，4
5．如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．
五．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
6．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
求证：MN＝BM+CN．
六．等边三角形的性质（共1小题）
7．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
七．等边三角形的判定（共1小题）
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
八．等边三角形的判定与性质（共1小题）
9．如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
九．含30度角的直角三角形（共1小题）
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
一十．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝CD＝1，求直角边BC的长．
一十一．生活中的轴对称现象（共1小题）
12．观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号1，2等）．
一十二．轴对称的性质（共1小题）
13．如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．7C．9D．10
一十三．轴对称图形（共1小题）
14．下列4个图形：角、等腰三角形、平行四边形、圆，其中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
一十四．镜面对称（共1小题）
15．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 ．
一十五．作图-轴对称变换（共1小题）
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的7×12的网格中，A，B均为格点（网格线的交点）．
（1）作线段A′B′，使A′B′与线段AB关于直线l对称；
（2）连接BB′，仅用无刻度的直尺在BB′上找一点C，使得AC+B′C＝BB′．
一十六．利用轴对称设计图案（共1小题）
17．如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有 种．
一十七．剪纸问题（共1小题）
18．如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝（ ）
A．230°B．130°C．50°D．110°
一十八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
19．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为（ ）
A．10B．25C．30D．70
【过关检测】
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（3分）如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和AM相等的线段一定是（ ）
A．BMB．BNC．MND．AN
4．（3分）下列图形中，点P与点G关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．40°D．35°
6．（3分）已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）
A．3B．10C．6.5D．3或6.5
7．（3分）到三角形三边距离相等的点是三条中垂线的交点（ ）
A．正确B．错误
8．（3分）如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB＝60°；③∠ADE＝∠BDC；④∠AED＝∠ABD，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②④
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝ 时，△ABC是等腰三角形．
10．（3分）在Rt△ABC中，斜边上的中线长为5cm，则斜边长为 ．
11．（3分）在上学的路上，小刚从电瓶车的后视镜里看到一辆汽车，车顶字牌上的字在平面镜中的像是IXAT，则这辆车车顶字牌上的字实际是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝ °．
13．（3分）将以长方形纸片如图折叠，若∠1＝140°，则∠2＝ ．
14．（3分）如图，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF＝90°，从而∠ACB＝90°．设小方格的边长为1，取AB的中点M，连接CM．则CM＝ ，理由是： ．
15．（3分）如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5cm，则△OEF的周长 cm．
16．（3分）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，三角形顶角度数 ．
17．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 个．
18．（3分）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，该三角形的一个底角是 ．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
21．（8分）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
22．（8分）如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC＝PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
23．（9分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BD⊥CD，求∠C的度数．
24．（9分）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是 ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 ．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
第15讲 轴对称图形全章复习与测试
【学习目标】
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。
2.对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
3.线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
4了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
5了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】
一．生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
二．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
四．镜面对称
1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
五．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
六．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
七．剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
八．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
九角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
十线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
十一等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
十二等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
十三等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
十四等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
十五等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
十六等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
【考点剖析】
一．角平分线的性质（共1小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（ ）
A．3B．C．4D．
【分析】由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠ACD，再证明∠ACD＝∠B，CD＝BD＝3，根据角平分线的性质得到DE＝DF，接着利用面积法证明AC：BC＝2：3，则设AC＝2x，BC＝3x，CF＝x，然后证明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE＝CF＝x，所以AE＝x，利用勾股定理得到22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，从而得到AC的长．
【解答】解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠B，
∴CD＝BD＝3，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF
∵S△CAD：S△CBD＝AD：BD＝2：3，
∴DE•AC：DF•BC＝2：3，
∴AC：BC＝2：3，
设AC＝2x，BC＝3x，
∵DB＝DC，
∴CF＝BF＝BC＝x，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE＝CF＝x，
∴AE＝x，
∵DE2＝DA2﹣AE2＝CD2﹣CE2，
∴22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，
∴AC＝．
另一种解法：∵∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，∠BCD＝∠ACB，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2∠B，
∴∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，
∴，
解得：AC＝．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，解答的关键是熟记角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，并灵活运用．
二．线段垂直平分线的性质（共1小题）
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若△ABC的周长为19cm，AE＝3cm，则△ACD的周长为（ ）
A．22cmB．19cmC．13cmD．7cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝2AE＝6（cm），根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+AC+BC＝19cm，
∵DE是AB的垂直平分线，AE＝3cm，
∴DA＝DB，AB＝2AE＝6（cm），
∴AC+BC＝19﹣6＝13（cm），
∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝13（cm），
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三．等腰三角形的性质（共1小题）
3．等腰三角形的两边长分别是4cm、9cm，则它的周长为 22cm ．
【分析】根据题意，分两种情况：①腰是4cm，②底是4cm，根据三角形的三边关系进行判断，即可确定三角形的周长．
【解答】解：根据题意，分两种情况：
①腰是4cm，
∵4+4＜9，
∴腰是4cm不能构成三角形，
②底是4cm，
∵9+9＞4，
∴底是4cm满足条件，
则周长为：9+9+4＝22（cm），
故答案为：22cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
四．等腰三角形的判定（共2小题）
4．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，4
【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义解答．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵3+4＞5，
∴能组成三角形，但不是等腰三角形，故此选项不符合题意；
C、∵2+2＞3，
∴能组成三角形，且是等腰三角形，故此选项符合题意；
D、∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，要注意三角形的任意两边之和大于第三边．
5．如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质即可得出∠ABC＝∠ACB，从而得证；
（2）由（1）中得证△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，可知AH⊥BC，由于AD∥BC，即可得证．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠B，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（2）∵AB＝AC，
又∵点H是BC的中点，
∴AH⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AH⊥AD．
【点评】本题考查了等腰三角形，角平分线和平行线，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决本题的关键．
五．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
6．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．
求证：MN＝BM+CN．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，然后根据等角对等边得到BM＝MO，ON＝CN，再根据角的和差即可证明．
【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴MN＝MO+ON＝BM+CN．
【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO和△CNO是等腰三角形．
六．等边三角形的性质（共1小题）
7．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE＝30°是正确解答本题的关键．
七．等边三角形的判定（共1小题）
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD＝CE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
八．等边三角形的判定与性质（共1小题）
9．如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【分析】（1）由平行线的性质求出∠EDC，再由三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）证△DEC是等边三角形，得CE＝CD，再证∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
九．含30度角的直角三角形（共1小题）
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，求出∠DBA＝30°，再求出答案即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出BD＝CD，求出AD＝AC，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣∠ABC）＝30°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴BD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，
∴BD＝CD，
∵AD＝BD，
∴AD＝CD＝AC，
∵AC＝12，
∴AD＝4，
∴BD＝AC＝4．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
一十．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝CD＝1，求直角边BC的长．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝2，
由勾股定理得，BC＝＝＝，
故直角边BC的长为．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
一十一．生活中的轴对称现象（共1小题）
12．观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 ①②④ （只写序号1，2等）．
【分析】认真观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求．
【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④
故填①②④
【点评】本题考查了生活中的轴对称问题；轴对称的关键是寻找对称轴，观察直线两边图象折叠后可重合是正确解答本题的关键．
一十二．轴对称的性质（共1小题）
13．如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．7C．9D．10
【分析】由对称得OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，
∵OP1+OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜8，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形三边的关系．
一十三．轴对称图形（共1小题）
14．下列4个图形：角、等腰三角形、平行四边形、圆，其中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：角、等腰三角形、平行四边形、圆，其中是轴对称图形是角、等腰三角形、圆共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
一十四．镜面对称（共1小题）
15．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 21：05 ．
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．
故答案为：21：05．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
一十五．作图-轴对称变换（共1小题）
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的7×12的网格中，A，B均为格点（网格线的交点）．
（1）作线段A′B′，使A′B′与线段AB关于直线l对称；
（2）连接BB′，仅用无刻度的直尺在BB′上找一点C，使得AC+B′C＝BB′．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作线段A′B′，使A′B′与线段AB关于直线l对称；
（2）根据垂直平分线的性质即可在BB′上找一点C，使得AC+B′C＝BB′．
【解答】解：（1）如图，线段A′B′即为所求；
（2）如图，点C即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
一十六．利用轴对称设计图案（共1小题）
17．如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有 5 种．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形，共有5种情形，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
一十七．剪纸问题（共1小题）
18．如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝（ ）
A．230°B．130°C．50°D．110°
【分析】根据∠1+∠2的度数，再利用四边形内角和定理得出∠A+∠B的度数，即可得出∠C的度数
【解答】解：∵四边形ABDE的内角和为360°，且∠1+∠2＝230°．
∴∠A+∠B＝360°﹣230°＝130°．
∵△ABC的内角和为180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）
＝180°﹣130°＝50°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，利用四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系是解题关键．
一十八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
19．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为（ ）
A．10B．25C．30D．70
【分析】由∠C＝100°，∠A＝∠B，得∠A＝∠B＝40°，根据将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，可得∠EDF＝∠A＝40°，当△BED为“准直角三角形”时，2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，可解得x＝25°或x＝10°，①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，可得∠CFD＝55°，2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，故△CDF不是“准直角三角形”；②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，可得∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，2∠CDF+∠CFD＝90°，△CDF是“准直角三角形”，即可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝40°，
∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，
∴∠EDF＝∠A＝40°，
当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，
∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，
∴x＝25°或x＝10°，
①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，
此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，
∴△CDF不是“准直角三角形”；
②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，
此时2∠CDF+∠CFD＝90°，
∴△CDF是“准直角三角形”；
综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10，
故选：A．
【点评】本题考查三角形中的折叠问题，涉及新定义，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用．
【过关检测】
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义解答．
【解答】解：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，符合这一要求的只有B．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，要知道“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”．
2．（3分）如图，△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据等腰三角形的判断解答即可．
【解答】解：△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是
△ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角新的判定与性质、三角形内角和定理以及三角外角的性质．此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用．
3．（3分）如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和AM相等的线段一定是（ ）
A．BMB．BNC．MND．AN
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上一点到角的两边距离相等，即可判断．
【解答】解：∵M点在∠ANB的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，
∴AM＝BM．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，正确理解性质是解题关键．
4．（3分）下列图形中，点P与点G关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称的性质可得出结论．
【解答】解：A、B、C中，∵直线不是线段PG的垂直平分线，∴点P与点G不关于直线对称，故本选项错误；
D中，直线是线段PG的垂直平分线，∴点P与点G关于直线对称，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．40°D．35°
【分析】连接BE，根据等腰三角形性质求出EB＝EC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据等边对等角求出∠BAE＝∠EBA、∠BCE＝∠EBC，即可求出答案．
【解答】解：连接BE，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠ABC＝70°，AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝20°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝EB，
∴∠ABE＝∠BAE＝20°，
∴∠BCE＝∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣20°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠BAE＝∠EBA和∠BCE＝∠EBC是解此题的关键．
6．（3分）已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）
A．3B．10C．6.5D．3或6.5
【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论．
【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，
此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；
（2）当3是底边时，腰长为×（16﹣3）＝6.5，
此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．
所以腰长为6.5．
故选：C．
【点评】本题要分情况讨论，注意利用三角形的三边关系判断能否组成三角形，是学生容易出错的题．
7．（3分）到三角形三边距离相等的点是三条中垂线的交点（ ）
A．正确B．错误
【分析】根据角平分线性质得出即可．
【解答】解：到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，所以到三角形三边距离相等的点是三条中垂线的交点是错误的；
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
8．（3分）如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB＝60°；③∠ADE＝∠BDC；④∠AED＝∠ABD，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②④
【分析】由题意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC
∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60°
∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形
∴AE∥BC
∵△BED是等边三角形
∴∠DEB＝60°
故①②正确
∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED+∠BED，∠BDC＝∠BAC+∠ABD
∴∠AED＝∠ABD
故④正确
∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60°
∴∠BDC≠∠ADE
故③错误．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝ 80°、50°、20° 时，△ABC是等腰三角形．
【分析】此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°、50°、20°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解．
10．（3分）在Rt△ABC中，斜边上的中线长为5cm，则斜边长为 10 ．
【分析】已知CD的长，则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得AB的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD＝5cm，
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
11．（3分）在上学的路上，小刚从电瓶车的后视镜里看到一辆汽车，车顶字牌上的字在平面镜中的像是IXAT，则这辆车车顶字牌上的字实际是 TAXI ．
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：IXAT是经过镜子反射后的字母，则这车车顶上字牌上的字实际是TAXI．
故答案为TAXI．
【点评】本题主要考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝ 40 °．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，
∴∠B＝＝＝80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝＝＝40°．
【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．
13．（3分）将以长方形纸片如图折叠，若∠1＝140°，则∠2＝ 110° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠3＝140°，∠4+∠2＝180°，然后可得∠4的度数，进而可得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠3＝140°，∠4+∠2＝180°，
根据折叠可得：∠4＝3＝70°，
∴∠2＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
14．（3分）如图，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF＝90°，从而∠ACB＝90°．设小方格的边长为1，取AB的中点M，连接CM．则CM＝ 5 ，理由是： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ．
【分析】先根据网格结构求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：由图可知，AB＝10，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB＝×10＝5（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
故答案为：5，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题目信息并熟练掌握性质是解题的关键．
15．（3分）如图所示，已知O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5cm，则△OEF的周长 5 cm．
【分析】由O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，根据轴对称的性质，可得OE＝ME，OF＝NF，继而可得△OEF的周长＝MN，则可求得答案．
【解答】解：∵O是∠APB内的一点，点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，
∴OE＝ME，OF＝NF，
∵MN＝5cm，
∴△OEF的周长为：OE+EF+OF＝ME+EF+NF＝MN＝5（cm）．
故答案为：5．
【点评】此题考查了轴对称的性质．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用．
16．（3分）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，三角形顶角度数 45°或135° ．
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝45°，
∴∠A＝45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故答案为45°或135°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
17．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 8 个．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
18．（3分）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，该三角形的一个底角是 25°或65° ．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝50°，
所以∠B＝∠C＝25°
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故答案为：25°或65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．
【分析】利用SAS证得△ACD≌△ABD，从而证得BD＝CD，利用等边对等角证得结论即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，特别是在应用SAS进行判定三角形全等时，主要A为两边的夹角．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直DF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
21．（8分）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
【分析】因为正三角形是轴对称图形，其对称轴是从顶点向底边所作垂线，故只要所涂得小正三角形关于大正三角形的中垂线对称即可．
【解答】解：如图．
【点评】解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．
22．（8分）如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC＝PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
【分析】（1）作出∠AOB的平分线，（2）作出CD的中垂线，（3）找到交点P即为所求．
【解答】解：
作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P．
【点评】解答此题要明确两点：（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．
23．（9分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BD⊥CD，求∠C的度数．
【分析】由AB＝AD＝CD，可知∠ABD＝∠ADB，又AD∥BC，可推得BD为∠B的平分线，而由题可知梯形ABCD为等腰梯形，则∠B＝∠C，那么在RT△BDC中，∠C+∠C＝90°，可求得∠C＝60°．
【解答】解：∵AB＝AD＝CD
∴∠ABD＝∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC
∴∠ABD＝∠DBC
∴BD为∠B的平分线
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD
∴梯形ABCD为等腰梯形
∴∠B＝∠C
∵BD⊥CD
∴∠C+∠C＝90°
∴∠C＝60°
【点评】先根据已知条件可知四边形为等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质和已知条件求解．
24．（9分）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是 △AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 EF＝BE+CF ．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 △EOB、△FOC ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【分析】（1）由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO＝∠OBC＝∠FCO＝∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO＝∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO＝BE，OF＝FC，则EF＝BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB＝AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF＝BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF＝BE﹣FC．
【解答】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO；
即EO＝EB，FO＝FC；
∴EF＝EO+OF＝BE+CF．
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC＝∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，
∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．