苏教版八年级数学暑假第16讲勾股定理全章复习与测试练习(学生版+解析)

这是一份苏教版八年级数学暑假第16讲勾股定理全章复习与测试练习(学生版+解析)，共35页。
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
4. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
5. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
6. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【基础知识】
一．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
三．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
四．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
五．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
六．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【考点剖析】
一．直角三角形的性质（共1小题）
1．（2022春•滨海县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
二．勾股定理（共1小题）
2．（2022春•尤溪县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
三．勾股定理的证明（共1小题）
3．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
四．勾股定理的逆定理（共1小题）
4．（2022春•瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的长．
（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判断△ABC是否是直角三角形．
五．勾股数（共1小题）
5．（2022春•恩施市校级月考）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
六．勾股定理的应用（共1小题）
6．（2022春•中山市期中）如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．
七．等腰直角三角形（共1小题）
7．（真题•齐河县期末）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
【过关检测】
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝6B．a＝5，b＝6，c＝7
C．a＝6，b＝8，c＝9D．a＝7，b＝24，c＝25
2．（3分）下列4组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝8，b＝15，c＝17
3．（3分）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．32，42，52B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．，，
4．（3分）有一个边长为40cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ）
A．40cmB．20cmC．40cmD．40cm
5．（3分）在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和4，则斜边的长度是（ ）
A．2B．C．5D．或5
6．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．
C．6，8，10D．1.5，2，2.5
7．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA2021的长为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则∠CBD+∠ABC＝ ．
10．（3分）如图所示的正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为 ．
11．（3分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长 尺．
12．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 ．
13．（3分）如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为
m．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，BC＝1，，则四边形ABCD的面积为 ．
15．（3分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．
16．（3分）如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为 ．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（5分）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？
18．（6分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为akm和bkm，且张、李二村庄相距ckm．
水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置．
19．（6分）八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，E是AC上一点，且DE＝DA，若AB＝15，BC＝20，求EC的长．
21．（7分）如图，某气象站测得台风中心在A城正西方向300km的B处，以每小时km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200km的范围是受台风干扰的区域，问A城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出A城受台风干扰的时间．
22．（7分）拖拉机在行驶的过程中的噪音会影响周围环境，某拖拉机位于A学校正南方向125m的B处，正以150m/min的速度沿公路BC方向行驶，如图所示，已知A学校到BC的距离AD＝35m，
（1）求拖拉机从B处行驶到D处经过多长时间？
（2）如果在距拖拉机91m的圆形区域内都将受噪音影响，那么A学校受到拖拉机噪音影响的时间有多长？（精确到0.1）
23．（7分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．
（1）试用a、b有关的代数式表示梯形BCC′D′的面积；
（2）试用a、b、c有关的代数式分别表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面积；
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2．
24．（8分）如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
（2）假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
第16讲 勾股定理全章复习与测试
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
4. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
5. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.
6. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.
【基础知识】
一．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
二．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
三．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
四．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
五．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
六．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【考点剖析】
一．直角三角形的性质（共1小题）
1．（2022春•滨海县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【分析】（1）根据条件的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
二．勾股定理（共1小题）
2．（2022春•尤溪县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【解答】（1）解：△BCF为等腰直角三角形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCF为等腰直角三角形；
（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．
三．勾股定理的证明（共1小题）
3．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立．
【解答】证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形．
四．勾股定理的逆定理（共1小题）
4．（2022春•瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的长．
（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判断△ABC是否是直角三角形．
【分析】（1）根据勾股定理得出BC＝，再代入求出答案即可；
（2）先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得：BC＝＝＝3；
（2）∵AB＝，AC＝2，BC＝3，
∴AB2＝（）2＝13，AC2+BC2＝22+32＝4+9＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
五．勾股数（共1小题）
5．（2022春•恩施市校级月考）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【分析】由n＝1，得到a＝（m2﹣1）①，b＝m②，c＝（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．
【解答】解：当n＝1，a＝（m2﹣1）①，b＝m②，c＝（m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为5，
∴分三种情况：
①当a＝5时，（m2﹣1）＝5，
∴m2＝11，此时b不是正整数，舍去；
②当b＝5时，即m＝5，
把m＝5代入①③得，a＝12，c＝13；
③当c＝5时，（m2+1）＝5，
∴m2＝9，
解得：m＝±3，
∵m＞0，
∴m＝3，
将m＝3代入①②得，a＝4，b＝3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．
【点评】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．进行分类讨论是解题的关键．
六．勾股定理的应用（共1小题）
6．（2022春•中山市期中）如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
七．等腰直角三角形（共1小题）
7．（真题•齐河县期末）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B＝∠ACD﹣45°，进而得出∠DCB＝90°，就可以得出结论．
【解答】（1）△ABE≌△ACD．
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．
即∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD；
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD＝∠ABE＝45°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴DC⊥BE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【过关检测】
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝6B．a＝5，b＝6，c＝7
C．a＝6，b＝8，c＝9D．a＝7，b＝24，c＝25
【分析】由勾股定理的逆定理，判定是否是直角三角形．
【解答】解：A、32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B、52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C、62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D、72+242＝252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．（3分）下列4组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝8，b＝15，c＝17
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
【解答】解：A、∵32+42＝52，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、∵22+32≠42，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、∵82+152＝172，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（3分）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．32，42，52B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．，，
【分析】根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解答】解：A、∵（32）2+（42）2＝8+256＝337≠（52）2，∴不是勾股数，故本选项错误；
B、∵（1.5）2+22＝2.25+4＝6.25＝2.52，但不是正整数，∴不是勾股数，故本选项错误；
C、∵62+82＝100＝102，∴是勾股数，故本选项正确；
D、∵（）2+（）2＝7≠（）2，∴不是勾股数，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键．
4．（3分）有一个边长为40cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ）
A．40cmB．20cmC．40cmD．40cm
【分析】根据圆与其内切正方形的关系，易得圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，已知正方形边长为40cm，进而由勾股定理可得答案．
【解答】解：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为：＝40．
故选：C．
【点评】本题主要考查正多边形和圆的相关知识；注意：熟记等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，可以给解决此题带来方便．
5．（3分）在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和4，则斜边的长度是（ ）
A．2B．C．5D．或5
【分析】根据勾股定理求出斜边即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和4，
∴斜边的长度是＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．
6．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．
C．6，8，10D．1.5，2，2.5
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
【解答】解：A、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、62+82＝102，是勾股数，符合题意；
D、不是三个整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
7．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
8．（3分）如图，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA2021的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【解答】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝，
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝（）2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝（）3．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝（）4，
……
∴OA2021的长为（）2021﹣1＝（）2020，
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质等知识；熟练应用勾股定理，得出规律是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则∠CBD+∠ABC＝ 45° ．
【分析】取格点E，连接BE、AE．利用勾股定理得到BE＝BD，根据等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CBD．由勾股定理的逆定理以及AB＝AE证明△ABE是等腰直角三角形，进而求出∠CBD+∠ABC＝45°．
【解答】解：如图，取格点E，连接BE、AE．
由勾股定理得，BE2＝12+52＝26，BD2＝12+52＝26，
∴BE＝BD，
∵BC⊥ED，
∴∠CBE＝∠CBD．
∵AB2＝22+32＝13，AE2＝22+32＝13，
∴AB2+AE2＝BE2，AB＝AE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝45°，
∴∠CBD+∠ABC＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求得△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
10．（3分）如图所示的正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为 13 ．
【分析】先由勾股定理计算出直角三角形的斜边长，即正方形的边长，最后求得面积．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为2，3，
∴斜边为＝，即大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为（）2＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，求出直角三角形的斜边长是关键．
11．（3分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长 13 尺．
【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知B'C＝5尺，设水深AC＝x尺，则芦苇长（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解答】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，
在Rt△CAB′中，
AC2+B′C2＝AB′2，
即x2+52＝（x+1）2．
解得：x＝12．
∴x+1＝13．
故芦苇长13尺．
故答案为：13．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
12．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 x2+（x+6）2＝102 ．
【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2＝102．
故答案为：x2+（x+6）2＝102．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
13．（3分）如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为 13 m．
【分析】过点B作A所在水平直线的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8﹣4+1＝5，竖直距离为3+9＝12，
∴AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
故答案为13．
【点评】本题主要考查勾股定理的实际应用问题，解题关键是构造直角三角形模型，分别找到对应边的长度，利用勾股定理求解，
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，BC＝1，，则四边形ABCD的面积为 4 ．
【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：连接BD，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，
∴EB＝AB＝3，
∴，
∵，即BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝，
故答案为：．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形解答．
15．（3分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 11，60，61 ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【解答】解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．
16．（3分）如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为 S1+S2＝S3 ．
【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，利用正弦的定义求出等边三角形的面积，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×sin60°a•a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案是：S1+S2＝S3．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、特殊三角函数值．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（5分）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？
【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，AB＝进而求出即可．
【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，
故∠AOB＝90°，AB＝＝15（海里），
答：甲、乙两渔船相距15海里．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，得出∠AOB＝90°是解题关键．
18．（6分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为akm和bkm，且张、李二村庄相距ckm．
水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置．
【分析】作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
19．（6分）八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得（米）．
所以CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；
（2）由得，
在Rt△BHD中，BH＝＝9．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，E是AC上一点，且DE＝DA，若AB＝15，BC＝20，求EC的长．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出BD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵BC＝20，AB＝15，
∴AC＝25，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°．
∵S△ABC＝S△ABC
∴．
∴BD＝12，
在Rt△ABD中，AD＝＝9，
∵DE＝DA，
∴AE＝2AD＝18．
∴EC＝AC﹣AE＝25﹣18＝7．
【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
21．（7分）如图，某气象站测得台风中心在A城正西方向300km的B处，以每小时km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200km的范围是受台风干扰的区域，问A城是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出A城受台风干扰的时间．
【分析】作AM⊥BF，则得出∠AMB．根据∠FBA＝30°，可得出AM的长，则A城会受到此次台风的干扰；以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1＝AC2，在Rt△AMC1中有C1M的长，可得出C1C2，从而得出A城受台风干扰的时间．
【解答】解：作AM⊥BF于点M，则∠AMB＝90°．
∵∠FBA＝90°﹣60°＝30°，
∴AM＝，
∴A城会受到此次台风的干扰，以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1＝AC2．
∵AM⊥BF，
∴C1C2＝2C1M．
在Rt△AMC1中，有C1M＝，
∴C1C2＝100km，
∴A城受台风干扰的时间为：（小时）．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
22．（7分）拖拉机在行驶的过程中的噪音会影响周围环境，某拖拉机位于A学校正南方向125m的B处，正以150m/min的速度沿公路BC方向行驶，如图所示，已知A学校到BC的距离AD＝35m，
（1）求拖拉机从B处行驶到D处经过多长时间？
（2）如果在距拖拉机91m的圆形区域内都将受噪音影响，那么A学校受到拖拉机噪音影响的时间有多长？（精确到0.1）
【分析】（1）在Rt△ABD中，已知斜边和一直角边，即可得出第三边，利用拖拉机的速度已知，即可得出拖拉机从B处行驶到D处所经过长时间；
（2）假设A学校从P点开始受到拖拉机的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知，△ADP和△ADQ全等，A学校在拖拉机从P点到Q点均受影响，即得出PQ两点的距离，便可求出A学校受拖拉机影响的时间．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，BD＝＝＝120（m），
故120÷150＝（min），
答：拖拉机从B处行驶到D处经过min；
（2）以A为圆心，以91km为半径画弧，交BC于P、Q，
则A学校在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图），
由题意，AP＝91km，在Rt△ADP中，
PD＝＝＝＝84（m），
∵AP＝AQ，∠ADB＝90°，
∴DP＝DQ，
∴PQ＝2×84＝168（m），
∴＝1.12≈1.1（分钟），
答：A学校受到拖拉机噪音影响的时间为1.1分钟．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及学生的数形结合的思想，画图可成为解题的一大重要工具．
23．（7分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．
（1）试用a、b有关的代数式表示梯形BCC′D′的面积；
（2）试用a、b、c有关的代数式分别表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面积；
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2．
【分析】（1）根据梯形面积公式表示梯形BCC′D′的面积；
（2）根据三角形面积公式分别表示△ABC、△AD′C′、△AC′C的面积；
（3）根据S梯形BCC′D′＝SRt△CC'A+2SRt△ABC，列出方程并整理可证．
【解答】解：（1）梯形BCC′D′的面积＝（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；
（2）∵∠CAD＝∠C′AD′，
∠ACC′＝∠CAD+∠B′AC′
∠B′AC′+C′AD′＝90°
∴∠ACC′＝90°
∴△ACC′为直角三角形，
SRt△CC'A＝c2，SRt△ABC＝SRt△AD′C＝ab；
（3）由图形可知S梯形BCC′D′＝SRt△CC'A+2SRt△ABC，
则（a+b）（a+b）＝c2+2×ab
∴（a2+b2）+ab＝c2+ab．
因此，a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和．
24．（8分）如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
（1）用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
（2）假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
【分析】（1）根据图形可知四边形ABCD是梯形，再根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，列式整理即可证明；
（2）取四个直角三角形，以斜边c为边长组成正方形，中间空出的是一个小正方形，然后利用大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，列式整理即可得证．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）如图所示，可以证明a2+b2＝c2．
验证：大正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2
大正方形的面积＝c2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．