苏科版九年级数学暑假第14讲一元二次方程全章复习与测试练习(学生版+解析)

这是一份苏科版九年级数学暑假第14讲一元二次方程全章复习与测试练习(学生版+解析)，共45页。

一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程
（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．
解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
【考点剖析】
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（真题•丹阳市期末）若方程xm+1﹣8x﹣8＝0是一元二次方程，则m的值等于（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．0
二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．（真题•密山市校级期末）方程x2﹣x＝0的一次项系数是 ，常数项是 ．
三．一元二次方程的解（共1小题）
3．（真题•金湖县期末）根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：
则方程x2+px+q＝0的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是1，十分位是1
B．解的整数部分是1，十分位是2
C．解的整数部分是1，十分位是3
D．解的整数部分是1，十分位是4
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
4．（2022•盐城开学）解方程（x﹣1）2＝225．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
5．（2022春•温州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
6．（2022•海陵区一模）
（1）分解因式：3a2﹣6a+3； （2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
六．解一元二次方程-公式法（共1小题）
7．（2022•泗洪县一模）解下列方程：
（1）（2x+1）（x﹣3）＝0； （2）．
七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）
8．（真题•平罗县期末）方程（x+1）（x﹣2）＝0的两根分别为（ ）
A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2
9．（2022春•海安市期中）方程x2﹣2022x＝0的解是 ．
10．（2022春•张家港市校级期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）3x2﹣1＝2x+2
八．换元法解一元二次方程（共1小题）
11．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
九．根的判别式（共1小题）
12．（2022春•海门市期中）若方程mx2+6x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
一十．根与系数的关系（共2小题）
13．（2022春•崇川区校级月考）已知方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 ．
14．（2022•靖江市一模）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 ．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
15．（2022春•海门市期中）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2D．x2﹣102＝（x﹣1）2
16．（2019春•阜阳期中）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为 ；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为： ．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
一十二．一元二次方程的应用（共1小题）
17．（2022春•鼓楼区校级月考）我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题．
（1）已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数，并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？
（2）某商品现在每件盈利10元，每天可卖出30件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？
一十三．配方法的应用（共1小题）
18．（2022春•润州区校级期中）阅读材料：
数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解决下列问题：
（1）代数式x2+10x﹣6的最小值为 ；
（2）试比较代数式A＝3x2﹣2x与B＝2x2+4x﹣10的大小，并说明理由．
一十四．高次方程（共1小题）
19．（真题•溧阳市期中）阅读理解：
对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
理解运用：
如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，
即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0．
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：
求方程x3﹣5x+2＝0的解．
一十五．无理方程（共1小题）
20．（真题•秦淮区期中）阅读解方程的途径．
方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程．
（1）请用“转化”的数学思想，填写如图的空格．
（2）求方程x的解．
一十六．一元二次方程的整数根与有理根（共1小题）
21．（2010秋•海淀区校级月考）已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程根的情况．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程
2．（3分）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2014的值为（ ）
A．2014B．2015C．2016D．2017
3．（3分）用直接开平方法解方程（x﹣3）2＝8，得方程的根为（ ）
A．x＝3+2B．x＝3﹣2C．x＝3±2D．x＝3±2
4．（3分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时，此方程可变形为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．2B．﹣1C．D．
6．（3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+1＝0B．x2+4x﹣4＝0C．x2+x0D．x2﹣x0
7．（3分）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（ ）
A．5人B．6人C．7人D．8人
8．（3分）一元二次方程2x2+6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，6，9B．6，2，9C．2，6，﹣9D．6，2，﹣9
9．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
10．（3分）下面结论错误的是（ ）
A．方程x2+4x+5＝0，则x1+x2＝﹣4，x1x2＝5
B．方程2x2﹣3x+m＝0有实根，则m
C．方程x2﹣8x+1＝0可配方得（x﹣4）2＝15
D．方程x2+x﹣1＝0两根x1，x2
二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）
11．（3分）（1）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
（2）一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝ ．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ．
13．（3分）若x1是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝ ，该方程的另一个根x2＝ ．
14．（3分）已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝ ，x1•x2＝ ，（x1﹣1）（x2﹣1）＝ ，x1﹣x2＝ ．
15．（3分）某单位准备将院内一块长30米，宽20米的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532平方米，那么小道进出口的宽度应为 米．（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
16．（3分）已知多项式A＝x2﹣x+（3），若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ．
17．（3分）已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是 ．
18．（3分）设x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两根，则x12+x22＝ ， ．
19．（3分）一元二次方程x2﹣mx+m＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x1x2+x2＝ ．（用含m的代数式表示）
三．解答题（共6小题，满分43分）
20．（6分）解方程
（1）x2﹣4x＝0； （2）4x2﹣25＝0； （3）2x（x﹣3）+x＝3．
21．（6分）已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程根的情况．
22．（6分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？
23．（6分）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为25米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为80平方米？
24．（9分）在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．
（1）求6、7两月平均每月降价的百分率；
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由．
25．（10分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
x
0.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+px+q
﹣2.75
﹣1
﹣0.59
﹣0.16
0.29
0.76
第14讲一元二次方程全章复习与测试（核心考点讲与练）
【基础知识】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
十四．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
十五．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程
（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．
解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
【考点剖析】
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（真题•丹阳市期末）若方程xm+1﹣8x﹣8＝0是一元二次方程，则m的值等于（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．0
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【解答】解：若方程xm+1﹣8x﹣8＝0是一元二次方程，
则m+1＝2，
解得m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．（真题•密山市校级期末）方程x2﹣x＝0的一次项系数是 ﹣1 ，常数项是 0 ．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程x2﹣x＝0的一次项系数是﹣1，常数项是0．
【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．在本题中要注意常数项是0，而不是不存在．
三．一元二次方程的解（共1小题）
3．（真题•金湖县期末）根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：
则方程x2+px+q＝0的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是1，十分位是1
B．解的整数部分是1，十分位是2
C．解的整数部分是1，十分位是3
D．解的整数部分是1，十分位是4
【分析】通过观察表格可得x2+px+q＝0时，1.2＜x＜1.3，即可求解．
【解答】解：由表格可知，
当x＝1.2时，x2+px+q＜0，
当x＝1.3时，x2+px+q＞0，
∴x2+px+q＝0时，1.2＜x＜1.3，
∴解的整数部分是1，十分位是2，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
4．（2022•盐城开学）解方程（x﹣1）2＝225．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝225，
∴x﹣1＝±15，
解得x1＝16，x2＝﹣14．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
5．（2022春•温州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
6．（2022•海陵区一模）（1）分解因式：3a2﹣6a+3；
（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）先提公因数3，然后利用完全平方公式分解因式；
（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）原式＝3（a2﹣2a+1）
＝3（a﹣1）2；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝2
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝±，
所以x1＝2，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
六．解一元二次方程-公式法（共1小题）
7．（2022•泗洪县一模）解下列方程：
（1）（2x+1）（x﹣3）＝0；
（2）．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：（1）方程（2x+1）（x﹣3）＝0，
所以2x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1，x2＝3；
（2）方程变形得：（x﹣2）2＝0，
开方得：x﹣20，
解得：x1＝x2＝2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，直接开平方法，以及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）
8．（真题•平罗县期末）方程（x+1）（x﹣2）＝0的两根分别为（ ）
A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2
【分析】利用因式分解法把方程化为x+1＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x+1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
9．（2022春•海安市期中）方程x2﹣2022x＝0的解是 x1＝0，x2＝2022 ．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣2022x＝0，
x（x﹣2022）＝0，
x＝0或x﹣2022＝0，
所以x1＝0，x2＝2022．
故答案为：x1＝0，x2＝2022．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
10．（2022春•张家港市校级期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣1＝2x+2
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）3x2﹣2x﹣3＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，
Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，
x，
所以x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
八．换元法解一元二次方程（共1小题）
11．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）
A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2
【分析】设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，可得z1＝4，z2＝﹣2，即可求解．
【解答】解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0，
∴（z﹣4）（z+2）＝0，
解得：z1＝4，z2＝﹣2，
即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴x2+y2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
九．根的判别式（共1小题）
12．（2022春•海门市期中）若方程mx2+6x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 m≤3且m≠0 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且△＝62﹣4m×3＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m≠0且△＝62﹣4m×3＞0，
解得m≤3且m≠0，
即实数m的取值范围为m≤3且m≠0．
故答案为：m≤3且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
一十．根与系数的关系（共2小题）
13．（2022春•崇川区校级月考）已知方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 ﹣1 ．
【分析】由题意可得x1•x2＝1，2022x1＝﹣1，将代数式变形为即可得出答案．
【解答】解：∵方程x2﹣2022x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1•x2＝1，2022x1+1＝0，
∴2022x1＝﹣1，
∴


＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
14．（2022•靖江市一模）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 4 ．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到x12＝2x1+2，x22＝2x2+2；然后由根与系数的关系求得x1+x2＝2；最后代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
15．（2022春•海门市期中）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2D．x2﹣102＝（x﹣1）2
【分析】首先设水深x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程．
【解答】解：设水深x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2019春•阜阳期中）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为 （60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240 ；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为： （x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240 ．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可．
（2）利用（1）中所列方程求出答案．
【解答】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
（2）方法1：设每千克特产应降价x元． 根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，
答：每千克特产应定价54元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
一十二．一元二次方程的应用（共1小题）
17．（2022春•鼓楼区校级月考）我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题．
（1）已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数，并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？
（2）某商品现在每件盈利10元，每天可卖出30件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？
【分析】（1）由a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0得（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，据此知a＝3、b＝1，继而根据三角形三边关系确定c的范围，结合c是正整数可得c＝3，从而得出答案；
（2）设每件商品涨价x元，每天的利润为（10+x）（30﹣x）＝﹣（x﹣10）2+400，由（x﹣10）2≥0知﹣（x﹣10）2+400≤400，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，
∴a2﹣6a+9+2b2﹣4b+2＝0，即（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，
则a﹣3＝0且b﹣1＝0，
解得a＝3，b＝1，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4，
∵c是正整数，
∴c＝3，
则△ABC的周长为3+1+3＝7；
（2）设每件商品涨价x元，
每天的利润为（10+x）（30﹣x）
＝﹣x2+20x+300
＝﹣（x﹣10）2+400，
∵（x﹣10）2≥0，
∴﹣（x﹣10）2≤0，
则﹣（x﹣10）2+400≤400，
∴当x＝10时，﹣（x﹣10）2+400取得最大值400，
答：当每件商品涨价10元时，每天的利润最大．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的应用、三角形三边关系及非负数的性质等知识点．
一十三．配方法的应用（共1小题）
18．（2022春•润州区校级期中）阅读材料：
数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解决下列问题：
（1）代数式x2+10x﹣6的最小值为 ﹣31 ；
（2）试比较代数式A＝3x2﹣2x与B＝2x2+4x﹣10的大小，并说明理由．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（2）利用作差法列出关系式，配方后利用非负数的性质确定出大小即可．
【解答】解：（1）x2+10x﹣6
＝（x2+10x+25）﹣31
＝（x+5）2﹣31，
∵（x+5）2≥0，
∴当x+5＝0，即x＝﹣5时，代数式x2+10x﹣6的最小值为﹣31．
故答案为：﹣31；
（2）A＞B．理由如下：
∵（3x2﹣2x）﹣（2x2+4x﹣10）
＝3x2﹣2x﹣2x2﹣4x+10
＝x2﹣6x+10
＝（x2﹣6x+9）+1
＝（x﹣3）2+1≥1＞0，
∴A＞B．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
一十四．高次方程（共1小题）
19．（真题•溧阳市期中）阅读理解：
对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
理解运用：
如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，
即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0．
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：
求方程x3﹣5x+2＝0的解．
【分析】仿照题例，先变形方程，转化为一个一次方程和一个二次方程的形式，求解即可．
【解答】解：方程x3﹣5x+2＝0变形为x3﹣（4+1）x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0．
∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0．
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0．
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0．
∴x1＝2，x2＝﹣1，x3＝﹣1．
【点评】本题考查了解高次方程，看懂和理解题例，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
一十五．无理方程（共1小题）
20．（真题•秦淮区期中）阅读解方程的途径．
方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知，用“转化”的数学思想，我们还可以解决一些新的方程．
（1）请用“转化”的数学思想，填写如图的空格．
（2）求方程x的解．
【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根即可；
（2）通过方程两边平方，把无理方程转化为整式方程，利用一元二次方程的解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0．
即x+2＝0或x﹣1＝0．
∴x2＝﹣2，x3＝1．
故答案为：﹣2，1；
（2）两边平方，得2x+3＝x2．
整理，得x2﹣2x﹣3＝0．
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x1＝3，x2＝﹣1．
经检验，x＝﹣1是增根，舍去．
所以原方程的解为x＝3．
【点评】本题考查了高次方程和无理方程，掌握转化的思想和一元二次方程的解法是解决本题的关键．
一十六．一元二次方程的整数根与有理根（共1小题）
21．（2010秋•海淀区校级月考）已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程根的情况．
【分析】（1）方程有两根，则根据跟的判别式求出k的取值范围，然后根据两根都是有理数，进而判断出整数k的值，
（2）分类讨论，当k＝0时，方程是一元一次方程，方程的根只有一个，当k≠0，结合不等式16k+3＞0和跟的判别式等条件讨论出方程根的情况．
【解答】解：（1）若方程有两个有理数根，
则△＝4（k+1）2+12k≥0，
解得k或k，
若一元二次方程有有理根，
则△＝4（k+1）2+12k是一个有理数的平方，
解得k＝3或﹣5或﹣8，
（2）若k满足不等式16k+3＞0，
即k，
①若k＝0，方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0只有一个根，
②当k≠0时，方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0为一元二次方程，
令△＝4（k+1）2+12k＝4k2+20k+4＝0，
解得k，
又知，
∴当16k+3＞0时，Δ＞0，
∴方程有两个根，
故当k＝0时，方程有一个根，
当k≠0，16k+3＞0，时，方程有两个根．
【点评】本题主要考查一元二次方程的整数根与有理根的知识点，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和跟的判别式的知识，此题有点难度．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．依此即可求解．
【解答】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；
B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；
C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；
D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．（3分）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2014的值为（ ）
A．2014B．2015C．2016D．2017
【分析】把m代入x2+x﹣1＝0得到m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，把m2+m＝1代入式子：m3+2m2+2014，再将式子变形为m（m2+m）+m2+2014的形式，即可求出式子的值．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，
∴m3+2m2+2014＝m（m2+m）+m2+2014＝m+m2+2014＝1+2014＝2015．
故选：B．
【点评】考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2+m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
3．（3分）用直接开平方法解方程（x﹣3）2＝8，得方程的根为（ ）
A．x＝3+2B．x＝3﹣2C．x＝3±2D．x＝3±2
【分析】方程利用平方根的定义开方即可求出解．
【解答】解：方程开方得：x﹣3＝±2，
解得：x1＝3+2，x2＝3﹣2，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
4．（3分）用配方法解关于x的方程x2+px+q＝0时，此方程可变形为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，要注意解题步骤，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2+px+q＝0
∴x2+px＝﹣q
∴x2+pxq
∴（x）2
故选：B．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．（3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k＝0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．2B．﹣1C．D．
【分析】首先把x＝1代入方程，即可求得k的值，代入k的值，解方程即可求得．
【解答】解：根据题意得：2×1﹣3×1﹣k＝0
∴k＝﹣1
∴方程为：2x2﹣3x+1＝0
解得：x1＝1，x2．
故选：C．
【点评】此题考查了方程解的定义．还应注意根与系数的关系的应用，解题时会更简单．
6．（3分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+1＝0B．x2+4x﹣4＝0C．x2+x0D．x2﹣x0
【分析】直接利用根的判别式分别分析各选项，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a＝1，b＝0，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴此一元二次方程无实数根；
B、∵a＝1，b＝4，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根；
C、∵a＝1，b＝1，c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×10，
∴此一元二次方程有两个相等的实数根；
D、∵a＝1，b＝﹣1，c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×11＜0，
∴此一元二次方程无实数根．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式．注意Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根．
7．（3分）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（ ）
A．5人B．6人C．7人D．8人
【分析】易得每个同学都要送给其他同学，等量关系为：小组的人数×（小组人数﹣1）＝30，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人．
x（x﹣1）＝30，
解得x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
故选：B．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到礼物总件数的等量关系是解决本题的关键．
8．（3分）一元二次方程2x2+6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，6，9B．6，2，9C．2，6，﹣9D．6，2，﹣9
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【解答】解：方程整理得：2x2+6x﹣9＝0，
则二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为﹣9．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
9．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【分析】把x＝1代入方程x2+2x+m＝0，得出一个关于m的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x+m＝0得：1+2+m＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解得应用，能得出关于m的方程是解此题的关键．
10．（3分）下面结论错误的是（ ）
A．方程x2+4x+5＝0，则x1+x2＝﹣4，x1x2＝5
B．方程2x2﹣3x+m＝0有实根，则m
C．方程x2﹣8x+1＝0可配方得（x﹣4）2＝15
D．方程x2+x﹣1＝0两根x1，x2
【分析】A、根据根与系数的关系和根的判别式即可得到结论；B、由根的判别式即可得到结论；C、把原方程配方后可得结果；D、解方程即可得到结论；
【解答】解：A、方程x2+4x+5＝0，∵Δ＝42﹣4×5＜0，则方程无实数根，此选项错误；
B、∵方程2x2﹣3x+m＝0有实根，∴Δ＝9﹣8m≥0，∴m，此选项正确；
C、方程x2﹣8x+1＝0可配方得（x﹣4）2＝15，此选项正确；
D、解方程x2+x﹣1＝0得x1，x2，此选项正确；
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二．填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）
11．（3分）（1）若（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠2 ．
（2）一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝ 1 ．
【分析】（1）直接根据一元二次方程的定义进行解答即可；
（2）将x＝0代入方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，解得m≠2．
故答案为：m≠2；
（2）将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝1或m＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，本题属于基础题型．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 m≤0 ．
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵（x+1）2+m＝0，
∴（x+1）2＝﹣m，
∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解
∴﹣m≥0，
∴m≤0．
故答案为m≤0．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．
13．（3分）若x1是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝ 4 ，该方程的另一个根x2＝ 2 ．
【分析】根据根与系数的关系，根据两根之积，即可得到方程的另一根，再由两根之和即可得出一个关于a的方程，从而求得a的值．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
∵x1是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，
∴x1•x2＝1，即（）x2＝1，
∴x2，
∴x1+x2＝﹣a，即a，解得a＝4，
故答案为4，．
【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，注意在解题时要重视解题思路的逆向分析．
14．（3分）已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝ 3 ，x1•x2＝ ﹣1 ，（x1﹣1）（x2﹣1）＝ ﹣3 ，x1﹣x2＝ ± ．
【分析】可以直接利用根与系数的关系，计算两根之积和两根之和，进而即可求得（x1﹣1）（x2﹣1）和x1﹣x2的值．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣3+1＝﹣3，
x1﹣x2＝±±±．
故答案为：3，﹣1，﹣3，±．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2，x1x2得出是解题关键．
15．（3分）某单位准备将院内一块长30米，宽20米的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532平方米，那么小道进出口的宽度应为 1 米．（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
【分析】设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为（30﹣2x）米、宽为（20﹣x）米的矩形的面积相等，根据种植花草的面积为532平方米，即可得出关于x的一元二次方程，取其符合题意的值即可得出小道进出口的宽度．
【解答】解：设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为（30﹣2x）米、宽为（20﹣x）米的矩形的面积相等，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
整理得：x²﹣35x+34＝0，
解得：x1＝1，x2＝34．
当x＝1时，30﹣2x＝30﹣2×1＝30﹣2＝28＞0，符合题意；
当x＝34时，30﹣2x＝30﹣2×34＝30﹣68＝﹣38＜0，不合题意，舍去．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及平行四边形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）已知多项式A＝x2﹣x+（3），若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 k ．
【分析】先把原式配方，再根据A的值都不是负数，得到（3）≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x（3）＝（x）2（3），
若x取任何实数，A的值都不是负数，
∴（3）≥0，
解得：k；
故答案为：k．
【点评】本题考查了配方法，关键把原式进行配方．
17．（3分）已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是 34 ．
【分析】讨论：当a＝4时，则4+b＝12，解得b＝8，此时不符合三角形三边的关系；同理可得当b＝4时，不符合三角形三边的关系；当a＝b时，利用根与系数的关系得到12＝a+b，解得a＝b＝6，则m+2＝36，从而得到m的值．
【解答】解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34，
故m的值为34，
故答案为34．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．
18．（3分）设x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两根，则x12+x22＝ ， 5 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再经过代数式的变形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2，x1x2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2；
5．
故答案为，5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
19．（3分）一元二次方程x2﹣mx+m＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x1x2+x2＝ 2m ．（用含m的代数式表示）
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝m，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝m，x1x2＝m，
所以x1+x1x2+x2＝m+m＝2m．
故答案为2m．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
三．解答题（共6小题，满分43分）
20．（6分）解方程
（1）x2﹣4x＝0；
（2）4x2﹣25＝0；
（3）2x（x﹣3）+x＝3．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）先变形为2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x（x﹣4）＝0；
x＝0或x﹣4＝0；
所以x1＝0，x2＝4；
（2）（2x+5）（2x﹣5）＝0，
2x+5＝0或2x﹣5＝0，
所以x1＝﹣2.5，x2＝2.5；
（3）将方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0；
（x﹣3）⋅（2x+1）＝0；
x﹣3＝0或2x+1＝0；
所以x1＝3，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
21．（6分）已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0
（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程根的情况．
【分析】（1）方程有两根，则根据跟的判别式求出k的取值范围，然后根据两根都是有理数，进而判断出整数k的值，
（2）分类讨论，当k＝0时，方程是一元一次方程，方程的根只有一个，当k≠0，结合不等式16k+3＞0和跟的判别式等条件讨论出方程根的情况．
【解答】解：（1）若方程有两个有理数根，
则△＝4（k+1）2+12k≥0，
解得k或k，
若一元二次方程有有理根，
则△＝4（k+1）2+12k是一个有理数的平方，
解得k＝3或﹣5或﹣8，
（2）若k满足不等式16k+3＞0，
即k，
①若k＝0，方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0只有一个根，
②当k≠0时，方程kx2+2（k+1）x﹣3＝0为一元二次方程，
令△＝4（k+1）2+12k＝4k2+20k+4＝0，
解得k，
又知，
∴当16k+3＞0时，Δ＞0，
∴方程有两个根，
故当k＝0时，方程有一个根，
当k≠0，16k+3＞0，时，方程有两个根．
【点评】本题主要考查一元二次方程的整数根与有理根的知识点，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和跟的判别式的知识，此题有点难度．
22．（6分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？
【分析】设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600﹣10（x﹣40）]件，根据单件利润×销售数量＝总利润即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600﹣10（x﹣40）]件，
根据题意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，
整理得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
当x＝50时，600﹣10（x﹣40）＝500；
当x＝80时，600﹣10（x﹣40）＝200．
答：该玩具销售单价应定为50元或80元，售出玩具为500件或200件．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据单件利润×销售数量＝总利润列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
23．（6分）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为25米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为80平方米？
【分析】设BC的长为xm，则AB的长为（25+1﹣x）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；
【解答】解：设BC的长为xm，则AB的长为（25+1﹣x）m．
依题意得：（25+1﹣x）x＝80，
化简，得x2﹣26x+160＝0，
解得：x1＝10，x2＝16（舍去），
（25+1﹣x）＝8米，
答：若矩形猪舍的面积为80平方米，长和宽分别为10米和8米；
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
24．（9分）在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元．
（1）求6、7两月平均每月降价的百分率；
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由．
【分析】（1）根据每次的均价等于上一次的价格乘以（1﹣x）（x为平均每次下调的百分率），可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；
（2）求出9月份该市的商品房成交均价，即可判断．
【解答】（1）设6、7两月平均每月降价的百分率为x，根据题意得10000（1﹣x）2＝8100，
即（1﹣x）2＝0.81，解得x＝10%或1.9（舍去）．
（2）∵8100（1﹣0.1）2＝6561＞6500（元）．
∴不会跌破6500元．
【点评】本题主要考查一元二次方程在实际中的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
25．（10分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【分析】（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，
∴（6﹣x）•2x6×8，
∴x2﹣6x+12＝0，
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0＜t≤4
由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5（不合题意，应舍去），t2＝5，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4＜t≤6，
由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+25＝0，
解得：t1＝t2＝5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时t＞6，
由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5，t2＝5，（不合题意，应舍去），
综上所述，经过5秒、5秒或5秒后，△PBQ的面积为1．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
x
0.5
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+px+q
﹣2.75
﹣1
﹣0.59
﹣0.16
0.29
0.76