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专练05 等积转化问题-【期末精讲】最新人教版五年级数学下册典型题型精讲(原卷版+解析版)
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最新五年级数学下册典型例题系列之
期末典例专项练习五:等积转化问题(解析版)
1.明明在手工社团课上用橡皮泥捏各种造型。他先捏了一个长8厘米,宽5厘米,高4厘米的长方体。后又把这块橡皮泥改造成了一个长10厘米,宽8厘米的长方体,改造后长方体的高是多少厘米?
【答案】2厘米
【分析】由题意可知,改造前后橡皮泥的体积不变,根据长方体的体积公式:V=abh,据此求出橡皮泥的体积,已知长方体的长和宽,求高,根据h=V÷a÷b,据此代入数值进行计算即可。
【详解】8×5×4÷10÷8
=40×4÷10÷8
=160÷10÷8
=16÷8
=2(厘米)
答:改造后长方体的高是2厘米。
【点睛】本题考查长方体的体积,明确改造前后橡皮泥的体积不变是解题的关键。
2.王官村乡村振兴改造公路,工人叔叔把3立方米的沥青混凝土铺在一条宽6米的公路上,铺了5厘米厚,这些混凝土能铺多少米长的公路?
【答案】10米
【分析】沥青混凝土的体积不变,先统一单位,再通过长方体的体积公式:V=abh,代入数据即可求出这些混凝土能铺多少米长的公路。
【详解】5厘米=0.05米
3÷6÷0.05=10(米)
答:这些混凝土能铺10米长的公路。
【点睛】此题的解题关键是熟练运用长方体的体积公式求解。
3.一个棱长是4分米的正方体鱼缸,里面装满水,把水倒入一个底面积32平方分米,高6分米的的长方体鱼缸里,鱼缸里水有多深?
【答案】2分米
【分析】根据题意,用正方体玻璃鱼缸的棱长求出水的体积,正方体的体积=棱长×棱长×棱长,长方体鱼缸内水的深度=水的体积÷长方体玻璃鱼缸的底面积,据此解答。
【详解】4×4×4÷32
=16×4÷32
=64÷32
=2(分米)
答:鱼缸里水有2分米深。
【点睛】灵活运用长方体和正方体的体积计算公式是解答题目的关键。
4.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早,据《管子》记载,齐国“断山木,鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是6分米的正方体铁块,锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体,这个长方体的长是多少分米?
【答案】54分米
【分析】根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用6×6×6即可求出正方体铁块的体积,把正方体铁块锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体,根据长方体的体积=长×宽×高=长×横截面积,用正方体铁块的体积除以4平方分米,即可求出这个长方体的长。
【详解】6×6×6÷4
=216÷4
=54(分米)
答:这个长方体的长是54分米。
【点睛】本题主要考查正方体体积公式和长方体体积公式的灵活应用,要熟练掌握公式。
5.有一个完全封闭的容器,里面的长是20厘米,宽是16厘米,高是10厘米,平放时里面装了8厘米的水。如果把这个容器竖起来放,水的高度是多少?
【答案】16厘米
【分析】容器竖起来放之前,容器的底面积是(20×16)平方厘米,水的高度8厘米,利用“长方体的体积=底面积×高”求出水的体积,容器竖起来放之后,容器内水的体积不变,容器的底面积是(10×16)平方厘米,利用“高=长方体的体积÷底面积”求出此时水的高度,据此解答。
【详解】20×16×8÷(10×16)
=20×16×8÷160
=320×8÷160
=2560÷160
=16(厘米)
答:水的高度是16厘米。
【点睛】掌握长方体的体积计算公式,理解容器竖起来前后容器内水的体积不变是解答题目的关键。
6.一个棱长为6分米的正方体容器,装满水后倒入另一个空的长方体容器中,长方体容器长9分米,宽4分米,高0.8米,这时长方体容器中水面高多少分米?(容器的厚度忽略不计)
【答案】6分米
【分析】先利用正方体的体积公式:V=a3,代入数据求出水的体积,倒入到长方体容器中,体积不变,利用长方体的体积公式:V=abh,已知长方体容器长9分米,宽4分米以及水的体积,代入数据即可求出水面的高度。
【详解】6×6×6=216(立方分米)
216÷9÷4=6(分米)
答:这时长方体容器中水面高6分米。
【点睛】此题的解题关键是抓住水的体积不变,灵活运用长方体和正方体的体积公式求解。
7.赵师傅把一块棱长的正方体铁块锻造成长、宽、高的长方体铁条,可以锻造出几根?
【答案】20根
【分析】根据正方体体积公式:体积=棱长×棱长×棱长,代入数据,求出棱长是20cm的正方体铁块的体积,再根据长方体体积公式:体积=长×宽×高,代入数据,求出长方体铁条的体积,再用正方体的体积除以长方体的体积,即可解答。
【详解】(20×20×20)÷(8×5×10)
=(400×20)÷(40×10)
=8000÷400
=20(根)
答:可以锻造出20根。
【点睛】熟练掌握长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键。
8.把一个棱长30厘米的正方体钢坯熔铸成底面积是675平方厘米的长方体钢坯,长方体钢坯的高度是多少厘米?(损耗忽略不计)
【答案】40厘米
【分析】已知把一个正方体钢坯熔铸成长方体钢坯,钢坯的形状变了,体积不变;先根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长,求出钢坯的体积;再根据长方体的高=体积÷底面积,代入数据计算,求出长方体钢坯的高度。
【详解】正方体的体积(钢坯的体积):
30×30×30
=900×30
=27000(立方厘米)
长方体的高:
27000÷675=40(厘米)
答:长方体钢坯的高度是40厘米。
【点睛】本题考查正方体体积、长方体体积公式的灵活运用,抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。
9.把一个长8厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体橡皮泥,捏成一个棱长为4厘米的正方体,长方体和正方体哪个体积大?
【答案】长方体和正方体的体积相等
【分析】长方体体积=长×宽×高,正方体体积=棱长×棱长×棱长,将数据代入公式,分别求出长方体和正方体的体积,再比较大小。
【详解】长方体体积:8×4×2=64(立方厘米)
正方体体积:4×4×4=64(立方厘米)
答:长方体和正方体的体积相等。
【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积,解题关键是熟记公式。
10.一个圆锥形沙堆,底面周长是18.84米,高是6米,用这堆沙在15米宽的公路上铺20厘米厚的路面,能铺多少米长?
【答案】18.84米
【分析】根据圆的周长公式,先求出圆锥形沙堆的底面半径,再根据圆锥的体积公式求这个圆锥形沙堆的体积,铺在路上,体积不变,换算单位后,最后利用长方体的体积公式即可求出能铺路的长度。
【详解】18.84÷2÷3.14=3(米)
=
=
=56.52(立方米)
20厘米=0.2米
56.52÷15÷0.2
=3.768÷0.2
=18.84(米)
答:能铺18.84米长。
【点睛】此题主要考查等积变形,灵活运用圆锥和长方体的体积公式解决问题。
11.一个正方体玻璃缸的棱长是6分米,将它装满水,再把水全部倒入一个底面积是30平方分米的长方体玻璃缸中,长方体玻璃缸的水面高度是多少分米?
【答案】7.2分米
【分析】根据正方体体积公式:体积=棱长×棱长×棱长,代入数据,求出正方体玻璃钢里水的体积,倒入长方体玻璃钢中,水的体积不变,根据长方体体积公式:体积=底面积×高,高=体积÷底面积,代入数据,即可解答。
【详解】6×6×6÷30
=36×6÷30
=216÷30
=7.2(分米)
答:长方体玻璃钢的水面高度是7.2分米。
【点睛】解答本题的关键明确水的体积没有变,进而解答。
12.把一个长4分米,宽3分米,高2.5分米的长方体水槽装满水,把这些水倒入另一个棱长为5分米的正方体水槽中,水深多少分米?
【答案】1.2分米
【分析】首先根据长方体的容积(体积)=长×宽×高,求出长方体水槽中水的体积,然后用水的体积除以正方体水槽的底面积即可求出水深,据此解答。
【详解】4×3×2.5÷(5×5)
=12×2.5÷25
=30÷25
=1.2(分米)
答:水深1.2分米。
【点睛】此题主要考查长方体、正方体的体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。
13.把一个棱长是9厘米的正方体橡皮泥捏成一个底面积是27平方厘米的长方体,这个长方体的高是多少厘米?
【答案】27厘米
【分析】根正方体的体积公式可以求得这个橡皮泥的体积,变化成长方体后,体积不变,利用长方体的高=体积÷底面积即可解决问题。
【详解】9×9×9÷27
=81×9÷27
=729÷27
=27(厘米)
答:高是27厘米。
【点睛】此题考查了正方体与长方体的体积公式的综合应用,抓住变化前后的体积不变,是解决此类问题的关键。
14.如图,一个密闭的长方体容器长15厘米,宽8厘米,高8厘米(容器厚度忽略不计)。向内部注入6厘米深的水,然后把容器立起来,这时水面高多少厘米?
【答案】11.25厘米
【分析】由于体积不变,根据长方体体积公式:体积=长×宽×高,先求出长是15厘米,宽是8厘米,高是6厘米的长方体的体积,再除以竖起后的长方体的底面积,即可求出水面的高。
【详解】15×8×6÷(8×8)
=120×6÷64
=720÷64
=11.25(厘米)
答:这时水面高11.25厘米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活应用,关键是熟记公式。
15.一个长方体的容器(如图),里面的水深5厘米。把这个容器盖紧,竖放后使长10厘米、宽8厘米的面朝下,这时里面的水深多少厘米?
【答案】12.5厘米
【分析】正放时长方体容积的长是20厘米、宽是10厘米,水深5厘米,根据长方体的体积=长×宽×高,求出容器内水的体积;因为这个容器是盖紧的,所以无论正放还是竖放,容器内水的体积不变;竖放时,容积的长是10厘米,宽是8厘米,根据长方体的高=体积÷(长×宽),求出此时水的深度。
【详解】20×10×5=1000(立方厘米)
1000÷(10×8)
=1000÷80
=12.5(厘米)
答:这时里面的水深12.5厘米。
【点睛】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”以及灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。
16.把一个棱长是10厘米的正方体橡皮泥捏成一个长20厘米,宽10厘米的长方体。这个长方体橡皮泥高是多少厘米?
【答案】5厘米
【分析】根据体积的意义,物体所占空间的大小叫做物体的体积。由此可知,把一个正方体的橡皮泥无论捏成什么形状,体积不变。根据正方体的体积公式:V=a3,长方体的体积公式:V=abh,那么h=V÷(ab),把数据代入公式解答。
【详解】10×10×10÷(20×10)
=1000÷200
=5(厘米)
答:这个长方体橡皮泥的高是5厘米。
【点睛】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。
17.一个正方体的水槽,从里面量棱长4分米,装满水后倒入另一个(从里面量)长8分米,宽5分米的长方体水槽内,水深多少分米?
【答案】1.6分米
【分析】根据题意,正方体的水槽装满水,那么水的体积等于正方体的体积,根据正方体体积=棱长×棱长×棱长,求出水的体积;再倒入长方体水槽内,水的体积不变,根据长方体的高=体积÷长÷宽,即可求出水的高度。
【详解】正方体的体积(水的体积):
4×4×4
=16×4
=64(立方分米)
水深:
64÷8÷5
=8÷5
=1.6(分米)
答:水深1.6分米。
【点睛】本题考查正方体积、长方体体积公式的灵活运用,抓住“水的体积不变”是解题的关键。
18.一个棱长为30厘米的正方体水箱里盛有25厘米深的水,现把水箱中的水倒一部分到长40厘米,宽40厘米,使得两个水箱里的水的高度相同,正方体水箱倒出了多少升水?
【答案】14.4升
【分析】根据长方体体积公式:体积=长×宽×高,先求出长是30厘米,宽是30厘米正方体水箱中有水的体积,由于两个水箱中水的高度相同,用水的体积除以两个水箱的底面积之和,求出水箱水的高度,再用水的高度×长40厘米,宽40厘米正方体的底面积,求出倒出水的体积,再化成升,即可解答。
【详解】(30×30×25)÷(30×30+40×40)
=(900×25)÷(900+1600)
=22500÷2500
=9(厘米)
40×40×9
=1600×9
=14400(立方厘米)
14400立方厘米=14.4升
答:正方体水箱倒出了14.4升水。
【点睛】本题主要考查长方体体积的计算方法,关键是掌握长方体、正方体的体积的计算公式。
19.把一块棱长是0.8分米的正方体铁块熔铸成一个高是5厘米,宽是4厘米的长方体铁块,熔铸后铁块的长是多少厘米?
【答案】25.6厘米
【分析】由题意可知,长方体和正方体的体积相等,利用“正方体的体积=棱长×棱长×棱长”表示出正方体的体积,再根据“长=长方体的体积÷宽÷高”求出熔铸后铁块的长,据此解答。
【详解】0.8分米=8厘米
8×8×8÷5÷4
=512÷5÷4
=102.4÷4
=25.6(厘米)
答:熔铸后铁块的长是25.6厘米。
【点睛】本题主要考查正方体、长方体体积公式的运用,理解把正方体铁块熔铸成长方体铁块体积不变是解答题目的关键。
20.有一个棱长是9分米的正方体钢锭,要把它熔铸成一个底面是正方形,底面周长是12分米的长方体钢材,钢材长是多少米?
【答案】81分米
【分析】根据正方体的体积公式:体积=棱长×棱长×棱长,代入数据,求出这个正方体钢锭的体积;再根据正方形周长公式:周长=边长×4,边长=周长÷4;代入数据,求出熔铸后长方体钢材的宽和高;再根据长方体体积公式:体积=长×宽×高;长=体积÷(宽×高),代入数据,即可解答。
【详解】12÷4=3(分米)
9×9×9÷(3×3)
=81×9÷9
=729÷9
=81(分米)
答:钢材长是81分米。
【点睛】本题考查正方体体积公式、长方体体积公式以及正方形周长公式的应用,关键是熟记公式,灵活运用。
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