2024年湖南省邵阳市新宁县水庙中心学校中考数学模拟试卷+

这是一份2024年湖南省邵阳市新宁县水庙中心学校中考数学模拟试卷+，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人视觉上以镂空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）2023年3月5日，十四届全国人大一次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总李克强在政府工作报告中指出：五年来移动互联网用户数增加到14.5亿户，实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比重从15.8%提高到27.2%，数据“14.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A．14.5×107B．14.5×108C．1.45×108D．1.45×109
5．（3分）计算（﹣2m3n2）2的结果是（ ）
A．﹣2m6n4B．4m5n4C．4m6n4D．4m9n4
6．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC长为半径画圆，分别与AB边相切于点B，AO边相交于点D，连接BD，则∠CBD的度数为（ ）
A．135°B．120°C．112.5°D．105.5°
7．（3分）一组数据：1，4，7，7，x，4的平均数是5，则下列说法中正确的是（ ）
A．这组数据的极差是3
B．这组数据的中位数是7
C．这组数据的众数是4
D．这组数据的方差是5
8．（3分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线BP；④以点D为圆心，BD长为半径画弧，交射线BP于点Q；⑤作射线DQ交边AC于点E．若DE＝3，则BC的长为（ ）
A．1.5B．3C．6D．9
10．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn＝ ．
12．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，直线AC经过点O，且与反比例函数图象相交于点A、C，过A作AB⊥x轴于点B，连接BC，已知，则S△ABC＝ ．
14．（3分）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.78，S乙2＝0.2，S丙2＝1.28，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 .（填“甲”或“乙”或“丙”）
15．（3分）若a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则代数式的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC上的一点，过点D作DE∥BC，交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F，若DE＝2CF，AB＝12，则BE＝ ．
17．（3分）点E为正方形ABCD的边AB上一点，连接DE，AC，且DE与AC相交于点M．若＝ 则sin∠CDE＝ ．
18．（3分）一个实数的两个平方根分别是a+3和2a﹣9，则这个实数是 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2024）0+（）﹣2．
20．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝+1．
21．（8分）731遗址博物馆的爆火，引发了市民对安徽抗日历史的讨论．某校数学兴趣小组为了解本市市民对安徽抗日历史的了解程度，在街头组织一次随机问卷调查活动，并将问卷调查活动结果分为四个类别：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请结合图中所给的信息，解答下列问题．
（1）本次活动共调查了 人，扇形统计图中D部分的扇形所对应的圆心角的度数是 ．
（2）请补全条形统计图．
（3）若本市共有36万人，请通过此次问卷调查结果，估计全市对安徽抗日历史“非常了解”的人数．
22．（8分）2023年哈尔滨冰雪大世界一开园，就备受全国各地游客的关注．某商场以每件50元的价格购进某款冰雪大世界纪念品，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．后来该商场决定以降价促销的方式回馈顾客，发现该纪念品每降价1元，日销售量就增加20件．设售价为每件x（50＜x＜80）元．
（1）当该纪念品的售价定为多少元时，日销售利润为7500元且能让顾客得到更多的实惠？
（2）该商场如何定价才能使销售该款纪念品的日销售利润最大？最大利润为多少元？
23．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝2，∠AFB＝60°，求CF的长．
24．（9分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BD＝4，求CE的长．
25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到A′B，连接AA′，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点．
（1）求DA′的最小值；
（2）若A点所经过的路径长为2π，求点A′到直线AD的距离；
（3）如图2，若CF＝4，求tan∠ECB的值．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年湖南省邵阳市新宁县水庙中心学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人视觉上以镂空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可得出答案．
【解答】解：A，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D，该图形即是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形、中心对称图形的识别，关键掌握“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质可以求得CD的长，然后即可求得tanB的值．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝8，BD＝4，
∴，
解得CD＝4，
∴tanB＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出CD的值．
4．（3分）2023年3月5日，十四届全国人大一次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总李克强在政府工作报告中指出：五年来移动互联网用户数增加到14.5亿户，实物商品网上零售额占社会消费品零售总额的比重从15.8%提高到27.2%，数据“14.5亿”用科学记数法表示为（ ）
A．14.5×107B．14.5×108C．1.45×108D．1.45×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：14.5亿＝1450000000＝1.45×109．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
5．（3分）计算（﹣2m3n2）2的结果是（ ）
A．﹣2m6n4B．4m5n4C．4m6n4D．4m9n4
【分析】根据积的乘方、幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）2⋅（m3）2⋅（n2）2
＝4m6n4．
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方、幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC长为半径画圆，分别与AB边相切于点B，AO边相交于点D，连接BD，则∠CBD的度数为（ ）
A．135°B．120°C．112.5°D．105.5°
【分析】连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BA，根据等腰直角三角形的性质求出∠OCB＝45°，求出∠AOB，即可得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥BA，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∠A＝∠OCB，
∴OB⊥OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠A＝45°，
∴∠AOB＝45°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠AOB）＝67.5°，
∴∠CBD＝45°+67.5°＝112.5°，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7．（3分）一组数据：1，4，7，7，x，4的平均数是5，则下列说法中正确的是（ ）
A．这组数据的极差是3
B．这组数据的中位数是7
C．这组数据的众数是4
D．这组数据的方差是5
【分析】分别求出这组数据的极差，众数，中位数，方差，即可判断每个选项．
【解答】解：∵一组数据：1，4，7，7，x，4的平均数是5，
∴，
∴x＝7．
极差是7﹣1＝6，故A是错误的，不符合题意；
则一组数据：1，4，4，7，7，7，
则这组数据的中位数是，故B是错误的，不符合题意；
∴这组数据的众数是7，故C是错误的，不符合题意；
方差＝，
故D是正确的，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查极差，众数，平均数，中位数、方差的定义，属于基础题．
8．（3分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx的图象开口方向向下，图象经过原点，对称轴在y轴左侧，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a，b的符号是解题关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线BP；④以点D为圆心，BD长为半径画弧，交射线BP于点Q；⑤作射线DQ交边AC于点E．若DE＝3，则BC的长为（ ）
A．1.5B．3C．6D．9
【分析】根据基本作图，得∠DBQ＝∠CBQ，根据BD＝QD得∠DBQ＝∠DQB，继而得到∠CBQ＝∠DQB得到DE∥BC，得到，结合点D是边AB的中点，得到AE＝EC，结合DE＝3解答即可．
【解答】解：根据基本作图，得∠DBQ＝∠CBQ，
根据BD＝QD得∠DBQ＝∠DQB，
∴∠CBQ＝∠DQB，
∴DE∥BC，
∴，
∵点D是边AB的中点，
∴AE＝EC，
∴，
∵DE＝3，
∴BC＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了角的平分线作图，掌握等腰三角形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理是解题的关键．
10．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】连接OD，由圆周角定理得出∠AOD＝45°，根据垂径定理可得CE＝DE＝CD，证出△DOE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4，
∴OD＝2，CE＝DE＝CD，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝，
∴CD＝2DE＝2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）分解因式：1﹣m2﹣n2+2mn＝ （1+m﹣n）（1﹣m+n） ．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中后三项正好符合完全平方式的公式，即（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab．所以要考虑﹣m2﹣n2+2mn为一组．然后再根据平方差公式分解．
【解答】解：1﹣m2﹣n2+2mn，
＝1﹣（m2+n2﹣2mn），
＝1﹣（m﹣n）2，
＝（1+m﹣n）（1﹣m+n）．
【点评】本题考查用了分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项正好符合完全平方式的公式，即（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，所以要考虑1﹣m2﹣n2+2mn为一组．
12．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣3且x≠2 ．
【分析】直接利用二次根式的有意义和分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x+3≥0，且x﹣2≠0，
∴实数x的取值范围是：x≥﹣3且x≠2．
故答案为：x≥﹣3且x≠2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
13．（3分）如图，直线AC经过点O，且与反比例函数图象相交于点A、C，过A作AB⊥x轴于点B，连接BC，已知，则S△ABC＝ ．
【分析】由直线AC经过点O，且与反比例函数图象相交于点A、C，得出A、C两点关于原点对称，进一步得到S△OBA＝S△OBC即可求解．
【解答】解：∵直线AC经过点O，且与反比例函数图象相交于点A、C，
∴A、C两点关于原点对称，
∴OA＝OC，
∴S△OBA＝S△OBC，
∵A（，1），
∵OB＝，AB＝1，
又∵AB⊥x，
∴S△OBA＝OB•AB＝××1＝，
∴S△ABC＝S△OBA+S△OBC＝+＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
14．（3分）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.78，S乙2＝0.2，S丙2＝1.28，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 乙 .（填“甲”或“乙”或“丙”）
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【解答】解：∵S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的定义，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是关键．
15．（3分）若a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则代数式的值为 2022 ．
【分析】根据a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，可以得到a2﹣2023a+1＝0，从而可以得到a2﹣2023a＝﹣1，a2+1＝2023a，然后将所求式子变形，再将a2﹣2023a＝﹣1，a2+1＝2023a代入计算即可．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2023a+1＝0，
∴a2﹣2023a＝﹣1，a2+1＝2023a，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣1+2023
＝2022．
故答案是：2022．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立．
16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC上的一点，过点D作DE∥BC，交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F，若DE＝2CF，AB＝12，则BE＝ 4 ．
【分析】由题意得出四边形BEDF是平行四边形，由平行四边形的性质可得DF＝BE，BF＝DE，证明△CDF∽△CAB，得出，求出DF＝4，即可得解．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF＝BE，BF＝DE，
∵DE＝2CF，
∴BF＝2CF，
∴BC＝BF+CF＝2CF+CF＝3CF，
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CAB，
∴，
∴，
∴BE＝DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
17．（3分）点E为正方形ABCD的边AB上一点，连接DE，AC，且DE与AC相交于点M．若＝ 则sin∠CDE＝ ．
【分析】由△AME∽△CMD，推出＝＝，得到＝，因此＝，令AE＝x，AD＝4x，由勾股定理得到DE＝x，即可求出sin∠AED＝．由∠CDE＝∠AED，得到sin∠CDE＝sin∠AED＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AE∥CD，AD＝CD，
∴△AME∽△CMD，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
令AE＝x，AD＝4x，
DE＝＝x，
∴sin∠AED＝＝＝．
∵AE∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∴sin∠CDE＝sin∠AED＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，关键是由△AME∽△CMD，得到＝．
18．（3分）一个实数的两个平方根分别是a+3和2a﹣9，则这个实数是 25 ．
【分析】根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a+3+2a﹣9＝0，
∴a＝2，
∴a+3＝5，
∴这个是数为25，
故答案为：25．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根，本题属于基础题型．
三、解答题（本大题有8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2024）0+（）﹣2．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2024）0+（）﹣2
＝6×﹣（﹣1）﹣2×1+4
＝3﹣+1﹣2+4
＝5．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝+1．
【分析】先算括号里面的，再算除法，把分式化为最简分式，把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
21．（8分）731遗址博物馆的爆火，引发了市民对安徽抗日历史的讨论．某校数学兴趣小组为了解本市市民对安徽抗日历史的了解程度，在街头组织一次随机问卷调查活动，并将问卷调查活动结果分为四个类别：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请结合图中所给的信息，解答下列问题．
（1）本次活动共调查了 40 人，扇形统计图中D部分的扇形所对应的圆心角的度数是 126° ．
（2）请补全条形统计图．
（3）若本市共有36万人，请通过此次问卷调查结果，估计全市对安徽抗日历史“非常了解”的人数．
【分析】（1）根据类别C的人数和所占百分比就可求出本次活动共调查的人数，用D部分的百分比乘以360°即可得出圆心角的度数；
（2）先求出B类别的人数，再补全统计图即可；
（3）根据样本估计总体即可得出答案．
【解答】解：（1）本次活动共调查的人数为：16÷40%＝40（人），
扇形统计图中D部分的扇形所对应的圆心角的度数是，
故答案为：40，126°；
（2）B类别的人数为：40﹣4﹣16﹣14＝6（人），
条形统计图如下：
（3）（万人），
答：计全市对安徽抗日历史“非常了解”的人数为3.6万人．
【点评】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图能反映每个项目所占总数的百分比．
22．（8分）2023年哈尔滨冰雪大世界一开园，就备受全国各地游客的关注．某商场以每件50元的价格购进某款冰雪大世界纪念品，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．后来该商场决定以降价促销的方式回馈顾客，发现该纪念品每降价1元，日销售量就增加20件．设售价为每件x（50＜x＜80）元．
（1）当该纪念品的售价定为多少元时，日销售利润为7500元且能让顾客得到更多的实惠？
（2）该商场如何定价才能使销售该款纪念品的日销售利润最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）根据题意可得此时日销售量为[200+20（80﹣x）]件，然后根据“利润＝收入﹣成本”可列出方程进行求解；
（2）设该款纪念品的日销售利润为w元，然后由（1）可列出函数关系式，进而问题可求解．
【解答】解：（1）由题意得：
（x﹣50）[200+20（80﹣x）]＝7500
解得：x1＝75，x2＝65；
∵要让顾客得到更多的实惠，
∴x＝65；
答：当该纪念品的售价定为65元时，日销售利润为7500元且能让顾客得到更多的实惠．
（2）设该款纪念品的日销售利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）[200+20（80﹣x）]＝﹣20x2+2800x﹣90000＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∵﹣20＜0，50＜x＜80，
∴当x＝70时，w的值最大，即为8000；
答：该商场把该纪念品的单价定为70元时日销售利润最大，最大利润为8000元．
【点评】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
23．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝2，∠AFB＝60°，求CF的长．
【分析】（1）由D是BC的中点，E是AD的中点，得BD＝CD，AE＝DE，由AF∥BC，得∠AFE＝∠DCE，可证明△AFE≌△DCE，得FA＝CD，则四边形ADBF是平行四边形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得AD＝BD＝BC，所以四边形ADBF是菱形；
（2）作FG⊥CB交CB的延长线于点G，由菱形的性质得AF＝BF＝AD＝BD，∠ADB＝∠AFB＝60°，则△ADB和△AFB都是等边三角形，所以CD＝BD＝BF＝AB＝2，∠ABF＝∠ABD＝60°，则∠GBF＝60°，由＝sin60°＝，＝cs60°＝，求得FG＝，BG＝1，则CG＝5，即可根据勾股定理求得CF＝＝2．
【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，E是AD的中点，
∴BD＝CD，AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴FA＝CD，
∴FA∥BD，FA＝BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形．
（2）解：作FG⊥CB交CB的延长线于点G，则∠G＝90°，
∵四边形ADBF是菱形，
∴AF＝BF＝AD＝BD，∠ADB＝∠AFB＝60°，
∴△ADB和△AFB都是等边三角形，
∴CD＝BD＝BF＝AB＝2，∠ABF＝∠ABD＝60°，
∴∠GBF＝180°﹣∠ABF＝∠ABD＝60°，
∴＝sin∠GBF＝sin60°＝，＝cs∠GBF＝cs60°＝，
∴FG＝BF＝×2＝，BG＝BF＝×2＝1，
∴CG＝CD+BD+BG＝2+2+1＝5，
∴CF＝＝＝2，
∴CF的长是2．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△AFE≌△DCE是解题的关键．
24．（9分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BD＝4，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，AD，利用圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用等腰三角形的性质，圆的有关性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接OD，AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
∵OA＝OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∵OD为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为5，
∴AB＝AC＝10．
由（1）知：BD＝DC＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠CDE+∠ADE＝90°．
∵DE⊥AC，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝∠DAE．
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴，
∴CE＝1.6．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形 的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到A′B，连接AA′，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点．
（1）求DA′的最小值；
（2）若A点所经过的路径长为2π，求点A′到直线AD的距离；
（3）如图2，若CF＝4，求tan∠ECB的值．
【分析】（1）连接BD、DA'，先由勾股定理求得BD＝10，由旋转可得，BA'＝BA＝6，因为BA'+DA'≥BD，所以当点A'落在BD上时，DA'最小，据此求解即可；
（2）先由弧长公式求得α＝60°，得△ABA'是等边三角形，从而求得∠DAA'＝30°，过点A'作A′M⊥AD于M点，可由直角三角形性质得求解；
（3）先证△ABE∽△BFC，得，即可求出，过E作EH⊥BC于H点，则EH∥CD，证明△BEH∽△BFC，则，即可求出，，，即可由求解．
【解答】解：（1）连接BD、DA'，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
由旋转可得，BA'＝BA＝6，
∵BA'+DA'≥BD，
∴当点A'落在BD上时，DA'最小，最小值为10﹣6＝4，
∴DA'最小值为4；
（2）解：由题意得，，解得：α＝60°，
∵AB＝A'B，
∴△ABA'是等边三角形，
∴∠BAA'＝60°，AB＝A'B＝AA'＝6，
∴∠DAA'＝30°，
过点A'作A′M⊥AD于M点，
∴，
∴点A'到直线AD的距离为3；
（3）解：∵BC＝8，CF＝4，
∴，
∵∠BAE+∠ABE＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BFC，
∴，
∴，
过E作EH⊥BC于H点，
∴EH∥CD，
∴△BEH∽△BFC，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点评】本题考查矩形的性质，旋转的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角函数定义，弧形长公式，垂径定理等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
26．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意将A，B两点的坐标代入y＝ax2+bx+3即可求出解析式；
（2）求出直线BC的解析式，设点P坐标为（t，﹣t+3），则M点坐标为（t，﹣t2+2t+3），可表示出PM的长，则△BCM的面积＝，可用t表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点P的坐标；
（3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点E的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P坐标为（t，﹣t+3），则M点坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△BCM＝S△PMC+S△PMB＝＝，
∴当t＝时，△BCM的面积最大．此时，点P的坐标为（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，
当四边形APDE为平行四边形时，
AP∥ED，AP＝ED，
∵A（﹣1，0），P（），
∴xA﹣xP＝xE﹣xD＝﹣1﹣，
∵xD＝1，
∴xE＝﹣，
∴E（，）；
当四边形APED为平行四边形时，
AP∥DE，AP＝DE，
∴xA﹣xP＝xD﹣xE＝﹣1﹣，
∵xD＝1，
∴xE＝，
∴E（，﹣）；
当四边形ADPE为平行四边形时，
AE∥DP，AE＝DP，
∴xA+xP＝xD+xE＝﹣1+，
∵xD＝1，
∴xE＝﹣，
∴E（﹣，）；
存在点E使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形，点E的坐标是或（）或（）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用平移规律进行分类讨论求出存在的点的坐标．