上海市徐汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份上海市徐汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了06，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
一､填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）
1.已知，且，则点在第__________象限.
2.在正方形中，向量与向量的夹角是__________（用弧度制表示）.
3.若为锐角，，则__________.
4.已知复数，且复数满足，则在复平面内对应的点位于第__________象限.
5.已知，若，则__________.
6.已知数列是等比数列，且，则__________.
7.已知向量和，则在方向上的投影是__________.
8.函数的部分图像如图所示，则__________.
9.若复数满足，且（为虚数单位），则的最小值为__________.
10.已知数列满足：（为正整数，若，则所有可能的取值集合为__________.
11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________.
12.定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数.设，且是的2倍伸缩周期函数.若对于任意的，都有，则实数的最大值为__________.
二､选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）
13.“”是“复数是纯虚数”的（ ）条件.
A.必要不充分 B.充分不必要 B.充要 D.既不充分又不必要
14.已知三角形的三条边长分别为，若，则此三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上都有可能
15.函数的周期是，图象关于直线对称，则以下正确的是（ ）
A.的最大值是
B.在区间上是减函数
C.的图象过点
D.的图象的一个对称中心是
16.已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（ ）
A. B.
C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分48分）
17.（本题8分）已知是关于的方程的一个虚根.
（1）求的值；
（2）记复，求复数的模.
18.（本题8分）已知向量.
（1）求函数的最大值及相应的值；
（2）在中，角为锐角，且，求边的长.
19.（本题10分）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列.
（1）求等比数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和的最大值.
20.（本题10分）如图所示，是边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是半径为90米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场.
（1）设，长方形的面积为，试建立关于的函数关系式；
（2）当为多少时，最大，并求最大值.
21.（本题12分）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.
（1）当时，试用表示；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的最小值.
四､附加题（本大题共有2题，满分10分，不计入总分）
1.对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为__________.
2.对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.
已知，则下列3个命题中真命题的个数为__________.
（1）函数是周期函数；
（2）函数的图像关于直线对称；
（3）方程有2个实数根.
参考答案
一､填空题
1.二 2. 3. 4.二 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
11.【答案】
【解析】分别过作的垂线，垂足为，且
因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在相等
上移动，则当在上运动时，取得最大值，为
当在上运动时，取得最小值，为
所以的取值范围是.
故答案为：.
12.【答案】
【解析】由题意，可知，当；当；
以此类推，当；当，
当，令，得，或（舍），，
所以的最大值为.
二､选择题
13.A 14.B 15.D 16.C
15.【答案】D
【解析】函数的周期是，则；
又的图象关于直线对称，则；
所以，又，所以；
所以；
对于A时，的最大值是故错误.
对于B，的单调性与有关系，故错误；
对于C，时，，图象过点，故错误；
对于D，时，图象的一个对称中心是，故正确；
故答案为：D.
16.【答案】C
【解析】是等比数列，公比为，存在无穷多个不同的满足，
当时，则：当时，则为非零常数列，符合题意，
故A可能成立；
当时，则为单调数列，恒不成立，且不合题意；
当时，可得，则：
①当时，若为偶数时，则；
若时，为奇数时，则符合题意，故可能成立；
②当，若为偶数时，则，且，
即
若为奇数时，则，且，
即；故符合题意，故D可能成立；
③当
，
，则，可得则，这与等比数列相矛盾，故和均不合题意，故C不可能成立.故选：C.
三､解答题
17.（1）6（2）
18.（1），此时（2）
19.（1）（2）25
20.【答案】（1）
（2）当时，有最大值.
【解析】（1）延长交于，设则
（2）设，知，
当时，有最大值.
答：长方形停车场面积的最大值为平方米.
21.【答穼】（1）.
（2）（3）
【解析】（1）由题意可得：
当时，.
（2），则，
由（1）可得：
当时，则，
.
（3）当时，由分点恒等式可得：
令，
当时，，
当或3时，上式有最小值为；当时，，
当时，，当或6时，上式有最小值，
综上，的最小值为.
四､附加题（本大题共有2题，满分10分，不计入总分）
1.8 2.1个