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江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考试题 数学 Word版含解析
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这是一份江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考试题 数学 Word版含解析，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
已知，，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.设，且，则的（ ）
A．最小值为-3B．最小值为3
C．最大值为-3D．最大值为3
4.函数在区间的图象大致为( )
5.设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝（ ）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝EQ \F(λ\S(k),k!)eEQ \S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（ ）
A．EQ \F(2,e\S(4)) B．EQ \F(4,e\S(4)) C．EQ \F(6,e\S(4)) D．EQ \F(8,e\S(4))
已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则=（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
9.下列说法正确的是 （ ）
A．“x>2”是“eq \f(1,x)B．命题“” 的否定是
C．已知幂函数的图象过点，则=
D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则
如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点.下列选项中正确的有( )
A． B．
C．直线与所成的角的余弦值为
D．平面与平面不垂直
11.在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是 ．
13.若不等式＋≥在x∈(，2)上恒成立，则实数的取值范围为 ．
14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．
已知集合，．
（1）命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）函数的定义域为，若，求实数的取值范围。
设函数
若函数是奇函数，求与的值；
在（1）的条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集．
如图，三棱柱中，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
已知函数，．
（1）若函数依次在处取到极值．
①求的取值范围； ②若，求的值．
（2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立．求正整数 的最大值．常州市第一中学2023-2024学年第二学期6月阶段检测
高二数学答案与解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 设集合 QUOTE A=−1,0,1 A=−1,0,1， QUOTE B=xlgx+2>0 B=xlgx+2>0，则 QUOTE （ ）
A. QUOTE B. QUOTE 0,1 0,1 C. QUOTE 1 1D.
【答案】B
已知 QUOTE ， QUOTE ，且 QUOTE ，则（ ）
A． QUOTE x=13 x=13， QUOTE y=1 y=1B． QUOTE x=12 x=12， QUOTE y=−4 y=−4
C．， QUOTE y=−14 y=−14D． QUOTE x=1 x=1， QUOTE y=−1 y=−1
【答案】B
【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.
【详解】因为 QUOTE ， QUOTE ，
所以 QUOTE ， QUOTE
由 QUOTE ，可得 QUOTE ，解之得 QUOTE x=12y=−4 x=12y=−4
故选：B
3.设 QUOTE a>0,b>0 a>0,b>0，且 QUOTE a+2b=1 a+2b=1，则 QUOTE lg2a+lg2b lg2a+lg2b的（ ）
A．最小值为-3B．最小值为3
C．最大值为-3D．最大值为3
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式先求 QUOTE ab ab的范围，然后结合对数的运算性质即可求解.
【详解】因为 QUOTE a>0,b>0 a>0,b>0，且 QUOTE a+2b=1 a+2b=1，
所以 QUOTE ，即 QUOTE ，
当且仅当 QUOTE a=2b a=2b时取等号，
所以 QUOTE ，
即 QUOTE .
故选：C.
4.函数 QUOTE y=(3x−3−x)csx y=(3x−3−x)csx在区间的图象大致为( )
答案 A
5.设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝（ ）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
若过点 QUOTE 1,b 1,b可以作曲线 QUOTE y=lnx+1 y=lnx+1的两条切线，则（ ）
A． QUOTE ln2ln2 b>ln2
C． QUOTE 01 b>1
【答案】B
【分析】设切点点 QUOTE Pt,lnt+1 Pt,lnt+1，写出切线方程，将点 QUOTE 1,b 1,b代入切线方程得 QUOTE b=1−tt+1+lnt+1 b=1−tt+1+lnt+1，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线 QUOTE y=lnx+1 y=lnx+1上任取一点 QUOTE Pt,lnt+1 Pt,lnt+1， QUOTE y'=1x+1 y'=1x+1，
所以曲线 QUOTE y=lnx+1 y=lnx+1在点 QUOTE P P处的切线方程为 QUOTE y−lnt+1=1t+1x−t y−lnt+1=1t+1x−t.
由题意可知，点 QUOTE 1,b 1,b在直线 QUOTE y−lnt+1=1t+1x−t y−lnt+1=1t+1x−t上，可得 QUOTE b=1−tt+1+lnt+1 b=1−tt+1+lnt+1，
令函数 QUOTE ，
令 QUOTE m=t+1>0 m=t+1>0
泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝EQ \F(λ\S(k),k!)eEQ \S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（ ）
A．EQ \F(2,e\S(4)) B．EQ \F(4,e\S(4)) C．EQ \F(6,e\S(4)) D．EQ \F(8,e\S(4))
【答案】D
【解析】由题意可知，P(X＝1)＝P(X＝2)，即EQ \F(λ,1!)eEQ \S\UP6(－λ)＝EQ \F(λ\S(2),2!)eEQ \S\UP6(－λ)，解得λ＝2，所以P(X＝k)＝EQ \F(2\S(k),k!)eEQ \S\UP6(－2)，所以两周共销售2件该商品的概率2P(X＝0)P(X＝2)＋P(X＝1)P(X＝1)＝2eEQ \S\UP6(－2)EQ \F(2\S(2),2!)eEQ \S\UP6(－2)＋EQ \F(2\S(1),1!)eEQ \S\UP6(－2)EQ \F(2\S(1),1!)eEQ \S\UP6(－2)＝EQ \F(8,e\S(4))，故答案选D．
已知函数 QUOTE fx fx的定义域为 QUOTE R R，且满足 QUOTE f(x)+f(3−x)=4 f(x)+f(3−x)=4， QUOTE fx fx的导函数为 QUOTE g(x) g(x)，函数 QUOTE y=g(1+3x)−1 y=g(1+3x)−1为奇函数，则 QUOTE f(32)+g(2024) f(32)+g(2024) =（ ） B
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
9.下列说法正确的是 （ ）
A．“x>2”是“eq \f(1,x)B．命题“ QUOTE ” 的否定是 QUOTE
C．已知幂函数 QUOTE 的图象过点 QUOTE ，则 QUOTE = QUOTE 32 32
D．已知随机变量 QUOTE X X服从两点分布，且 QUOTE PX=0=0.6 PX=0=0.6， QUOTE PX=1=0.4 PX=1=0.4，令 QUOTE Y=3X−2 Y=3X−2，则 QUOTE
【答案】ACD
如图，已知斜三棱柱 QUOTE ABC−A1B1C1 ABC−A1B1C1中， QUOTE 鈭燘AC=蟺2 鈭燘AC=蟺2， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE AB=AC=1 AB=AC=1， QUOTE AA1=2 AA1=2，点 QUOTE O O是与的交点.下列选项中正确的有( AC )
A． QUOTE B． QUOTE
C．直线 QUOTE AO AO与 QUOTE BC BC所成的角的余弦值为 QUOTE
D．平面 QUOTE ABC ABC与平面 QUOTE 不垂直
11.在一个有限样本空间中，假设 QUOTE PA=PB=PC=13 PA=PB=PC=13，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A．B． QUOTE
C． QUOTE D．若 QUOTE PCB+PCB=12 PCB+PCB=12，则 QUOTE PBC=0 PBC=0
【答案】BCD
【分析】A与B相互独立，则 QUOTE PAB=PAPB PAB=PAPB,又因为 QUOTE 可判断A选项；由条件概率的运算 QUOTE PBA=PBAPA PBA=PBAPA判断B选项 ；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故 QUOTE PCA=PA PCA=PA可判断C选项； QUOTE PBC=0 PBC=0，即B与C互斥判断D.
【详解】对于A，A与B相互独立，则 QUOTE ,
QUOTE ，A错误；
对于B，因为A与C互斥，所以,所以
QUOTE , QUOTE ,
所以 QUOTE ,B正确；
对于C， QUOTE ,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，
所以 QUOTE PCA=PA PCA=PA,所以 QUOTE ，C正确；
对于D，显然 QUOTE PC=PBC+PBC=13 PC=PBC+PBC=13，即 QUOTE ，
由 QUOTE PCB+PCB=12 PCB+PCB=12，得 QUOTE ，
解得 QUOTE PBC=0 PBC=0，所以B与C互斥，D正确.
故选：BCD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是 0.175 ．
解：设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.
13.若不等式 QUOTE a a＋ QUOTE x2−1x x2−1x≥ QUOTE 2lg2x 2lg2x在x∈( QUOTE 12 12，2)上恒成立，则实数 QUOTE a a的取值范围为 ． QUOTE
14.如图，已知点 QUOTE A A是圆台 QUOTE O1O O1O的上底面圆 QUOTE O1 O1上的动点， QUOTE B,C B,C在下底面圆 QUOTE O O上， QUOTE AO1=1,OO1=2,BO=3,BC=25 AO1=1,OO1=2,BO=3,BC=25，则直线 QUOTE AO AO与平面 QUOTE O1BC O1BC所成角的正弦值的最大值为 ．
【答案】 QUOTE 31010 31010
【分析】以 QUOTE O O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.
【详解】连接 QUOTE OC OC，过 QUOTE C C作 QUOTE CH CH垂直于 QUOTE BO BO的延长线于点，以 QUOTE O O为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形 QUOTE OBC OBC中，因为 QUOTE OB=3,OC=3,BC=25 OB=3,OC=3,BC=25，
故 QUOTE ，则 QUOTE ，
则 QUOTE CH=BC2−BH2=20−1009=453 CH=BC2−BH2=20−1009=453， QUOTE OH=BH−OB=13 OH=BH−OB=13，故点 QUOTE C−13,453,0 C−13,453,0；
又 QUOTE B3,0,0,O0,0,0,O10,0,2 B3,0,0,O0,0,0,O10,0,2，设点 QUOTE ，由 QUOTE O1A=1 O1A=1，则可得 QUOTE m2+n2=1 m2+n2=1；
QUOTE ，
设平面 QUOTE O1BC O1BC的法向量 QUOTE ，
则 QUOTE ，即 QUOTE −103x+453y=0−3x+2z=0 −103x+453y=0−3x+2z=0，取 QUOTE y=5 y=5，则 QUOTE x=2,z=3 x=2,z=3，
故平面 QUOTE O1BC O1BC的法向量 QUOTE ，又 QUOTE ，
设直线 QUOTE AO AO与平面 QUOTE O1BC O1BC所成角为 QUOTE ，
则 QUOTE
因为 QUOTE ，且 QUOTE m2+n2=1 m2+n2=1，故令 QUOTE ，
则 QUOTE
又 QUOTE ，故 QUOTE sin?+??"C"C?−1,1 sin?+??"C"C?−1,1， QUOTE ，也即 QUOTE ，
故 QUOTE 的最大值为 QUOTE 9310=31010 9310=31010
解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．
已知集合 QUOTE ， QUOTE ．
（1）命题p： QUOTE ，命题q： QUOTE ，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）函数的定义域为 QUOTE C C，若 QUOTE ，求实数 QUOTE a a的取值范围。
【详解】（1）解不等式 QUOTE ，即 QUOTE ，解得 QUOTE ，
所以， QUOTE ．
由于p是q的必要非充分条件，则 QUOTE B B是 QUOTE A A的真子集，所以 QUOTE ，解得 QUOTE ，
因此，实数 QUOTE m m的取值范围是 QUOTE 2,3 2,3； ┄ ┄ 6分
（2）因为 QUOTE ，在 QUOTE 1,4 1,4内有有解
令 QUOTE ，则 QUOTE ，所以 QUOTE a>0 a>0 ┄ ┄ 13分
设函数 QUOTE f(x)=−2x+a2x+1+b(a>0,b>0). f(x)=−2x+a2x+1+b(a>0,b>0).
若函数 QUOTE f(x) f(x)是奇函数，求 QUOTE a a与 QUOTE b b的值；
在（1）的条件下，判断并证明函数 QUOTE f(x) f(x)的单调性，并求不等式 QUOTE f(x)>−16 f(x)>−16的解集．
解析： （1）由函数 QUOTE f(x) f(x)是奇函数，得 QUOTE f(−x)=−f(x) f(−x)=−f(x)，
即 QUOTE −2x+a2x+1+b −2x+a2x+1+b对定义域内任意实数 QUOTE x x都成立，化简整理得
QUOTE ，它对定义域内任意实数 QUOTE x x都成立，
所以 QUOTE 2a−b=0,2ab−4=0, 2a−b=0,2ab−4=0,所以 QUOTE a=−1,b=−2 a=−1,b=−2或 QUOTE a=1,b=2. a=1,b=2.
经检验 QUOTE a=1,b=2, a=1,b=2,符合题意． ………………………7分
（3）由（2）可知 QUOTE f(x)=−2x+12x+1+2, f(x)=−2x+12x+1+2,由 QUOTE f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1) f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1)
易判断 QUOTE f(x) f(x)为 QUOTE 上的减函数。证明略（定义法或导数法）
由 QUOTE f(1)=−16 f(1)=−16，不等式 QUOTE f(x)>−16 f(x)>−16即为 QUOTE f(x)>f(1) f(x)>f(1)，由 QUOTE f(x) f(x)为 QUOTE 上的减函数
可得 QUOTE x<1. x<1.
或者由 QUOTE f(x)>−16 f(x)>−16即 QUOTE ，
所以 QUOTE 所以 QUOTE x/x<1. x/x<1. ………………………15分
如图，三棱柱 QUOTE ABC−A1B1C1 ABC−A1B1C1中， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE A1C鈯B A1C鈯B， QUOTE AC=1 AC=1， QUOTE AA1=2 AA1=2.
（1）求证： QUOTE 平面 QUOTE ABC ABC；
（2）直线 QUOTE BA1 BA1与平面 QUOTE BCC1B1 BCC1B1所成角的正弦值为 QUOTE 34 34，求二面角 QUOTE A1−BB1−C A1−BB1−C的余弦值.
（1）证明：在 QUOTE 中， QUOTE ， QUOTE AC=1 AC=1， QUOTE AA1=2 AA1=2，
由余弦定理可得 QUOTE ，
QUOTE ， QUOTE ，
又 QUOTE ， QUOTE AB鈭〢C=A AB鈭〢C=A， QUOTE 平面 QUOTE ABC ABC； ……………… 5分
（2）由（1）知： QUOTE CA CA、 QUOTE CB CB、 QUOTE CA1 CA1两两垂直，
以 QUOTE C C为原点， QUOTE CA CA、 QUOTE CB CB、 QUOTE CA1 CA1所在直线分别为 QUOTE x x、 QUOTE y y、 QUOTE z z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 QUOTE A1,0,0 A1,0,0、 QUOTE C0,0,0 C0,0,0、 QUOTE A10,0,3 A10,0,3，设点 QUOTE B0,b,0 B0,b,0，其中 QUOTE b>0 b>0，
设平面 QUOTE BCB1 BCB1法向量为 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ，
QUOTE ，取 QUOTE x=3 x=3，则 QUOTE y=0 y=0， QUOTE z=1 z=1，得 QUOTE ，
QUOTE ，由已知 QUOTE ，
解得： QUOTE b=1 b=1，可得点 QUOTE B0,1,0 B0,1,0，
设为平面的法向量， QUOTE ，
由 QUOTE ，取 QUOTE x1=3 x1=3，则 QUOTE y1=3 y1=3， QUOTE z1=1 z1=1，可得 QUOTE ，
QUOTE ，
由图可知，二面角 QUOTE A1−BB1−C A1−BB1−C为锐角，所以，二面角 QUOTE A1−BB1−C A1−BB1−C的余弦值为.
………………………15分
18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 QUOTE ， QUOTE 1−伪 1−伪；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 QUOTE f伪 f伪，求 QUOTE f伪 f伪的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 QUOTE x1,x2,x3,x4 x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 QUOTE X X（ QUOTE x1,x2,x3,x4 x1,x2,x3,x4中任意相邻的数字均不相同时，令 QUOTE X=1 X=1），若 QUOTE 尾=23 尾=23，求 QUOTE X X的分布列和数学期望．
【答案】(1) QUOTE 14 14
(2)分布列见解析；期望为 QUOTE 20881 20881
【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数 QUOTE f伪 f伪表达式，进一步即可求解最小值；
（2） QUOTE X X的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望.
【详解】（1）由题可知 QUOTE ，
因为 QUOTE 0<伪<1 0<伪<1，所以当 QUOTE 伪=12 伪=12时， QUOTE f伪 f伪的最小值为 QUOTE 14 14． …………5分
（2）由题设知， QUOTE X X的可能取值为1，2，3，4．
①当 QUOTE X=1 X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此， QUOTE ，
②当 QUOTE X=2 X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此， QUOTE ，
③当 QUOTE X=3 X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此， QUOTE ，
④当 QUOTE X=4 X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此， QUOTE PX=4=134+234=1781 PX=4=134+234=1781．
所以 QUOTE X X的分布列为
QUOTE X X的数学期望 QUOTE ．
答： QUOTE X X的数学期望为 QUOTE 20881 20881 …………17分
已知函数 QUOTE f(x)=(x3−6x2+3x+t)ex f(x)=(x3−6x2+3x+t)ex， QUOTE ．
（1）若函数 QUOTE y=f(x) y=f(x)依次在 QUOTE 处取到极值．
①求 QUOTE t t的取值范围； ②若 QUOTE a+c=2b2 a+c=2b2，求 QUOTE 的值．
（2）若存在实数 QUOTE ，使对任意的 QUOTE ，不等式 QUOTE 恒成立．求正整数 QUOTE 的最大值．
解：（1）① QUOTE
QUOTE …………5分
② QUOTE
…………10分
（2）不等式 QUOTE ，即 QUOTE ，即 QUOTE ．
转化为存在实数 QUOTE ，使对任意的 QUOTE ，不等式 QUOTE 恒成立．
即不等式 QUOTE 在 QUOTE 上恒成立．
即不等式 QUOTE 在 QUOTE 上恒成立．
设 QUOTE ，则 QUOTE ．
设 QUOTE ，则 QUOTE r'(x)=e−x−2 r'(x)=e−x−2，因为 QUOTE ，有 QUOTE ．
故 QUOTE r(x) r(x)在区间 QUOTE 上是减函数．
又 QUOTE
故存在 QUOTE x0鈭?2,3) x0鈭?2,3)，使得 QUOTE ．
当 QUOTE 时，有 QUOTE ，当 QUOTE x>x0 x>x0时，有 QUOTE ．
从而 QUOTE y=蠁(x) y=蠁(x)在区间 QUOTE 1,x0 1,x0上递增，在区间 QUOTE 上递减．
又 QUOTE
所以当 QUOTE 时，恒有 QUOTE ；当 QUOTE 时，恒有 QUOTE ；
故使命题成立的正整数 QUOTE 的最大值为5． …………17分
X
1
2
3
4
P
881
1781
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
已知，，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.设，且，则的（ ）
A．最小值为-3B．最小值为3
C．最大值为-3D．最大值为3
4.函数在区间的图象大致为( )
5.设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝（ ）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝EQ \F(λ\S(k),k!)eEQ \S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（ ）
A．EQ \F(2,e\S(4)) B．EQ \F(4,e\S(4)) C．EQ \F(6,e\S(4)) D．EQ \F(8,e\S(4))
已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则=（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
9.下列说法正确的是 （ ）
A．“x>2”是“eq \f(1,x)
C．已知幂函数的图象过点，则=
D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则
如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点.下列选项中正确的有( )
A． B．
C．直线与所成的角的余弦值为
D．平面与平面不垂直
11.在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是 ．
13.若不等式＋≥在x∈(，2)上恒成立，则实数的取值范围为 ．
14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．
已知集合，．
（1）命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）函数的定义域为，若，求实数的取值范围。
设函数
若函数是奇函数，求与的值；
在（1）的条件下，判断并证明函数的单调性，并求不等式的解集．
如图，三棱柱中，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
已知函数，．
（1）若函数依次在处取到极值．
①求的取值范围； ②若，求的值．
（2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立．求正整数 的最大值．常州市第一中学2023-2024学年第二学期6月阶段检测
高二数学答案与解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 设集合 QUOTE A=−1,0,1 A=−1,0,1， QUOTE B=xlgx+2>0 B=xlgx+2>0，则 QUOTE （ ）
A. QUOTE B. QUOTE 0,1 0,1 C. QUOTE 1 1D.
【答案】B
已知 QUOTE ， QUOTE ，且 QUOTE ，则（ ）
A． QUOTE x=13 x=13， QUOTE y=1 y=1B． QUOTE x=12 x=12， QUOTE y=−4 y=−4
C．， QUOTE y=−14 y=−14D． QUOTE x=1 x=1， QUOTE y=−1 y=−1
【答案】B
【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.
【详解】因为 QUOTE ， QUOTE ，
所以 QUOTE ， QUOTE
由 QUOTE ，可得 QUOTE ，解之得 QUOTE x=12y=−4 x=12y=−4
故选：B
3.设 QUOTE a>0,b>0 a>0,b>0，且 QUOTE a+2b=1 a+2b=1，则 QUOTE lg2a+lg2b lg2a+lg2b的（ ）
A．最小值为-3B．最小值为3
C．最大值为-3D．最大值为3
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式先求 QUOTE ab ab的范围，然后结合对数的运算性质即可求解.
【详解】因为 QUOTE a>0,b>0 a>0,b>0，且 QUOTE a+2b=1 a+2b=1，
所以 QUOTE ，即 QUOTE ，
当且仅当 QUOTE a=2b a=2b时取等号，
所以 QUOTE ，
即 QUOTE .
故选：C.
4.函数 QUOTE y=(3x−3−x)csx y=(3x−3−x)csx在区间的图象大致为( )
答案 A
5.设随机变量ξ ~ N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1＜ξ≤3)＝（ ）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
若过点 QUOTE 1,b 1,b可以作曲线 QUOTE y=lnx+1 y=lnx+1的两条切线，则（ ）
A． QUOTE ln2
C． QUOTE 0
【答案】B
【分析】设切点点 QUOTE Pt,lnt+1 Pt,lnt+1，写出切线方程，将点 QUOTE 1,b 1,b代入切线方程得 QUOTE b=1−tt+1+lnt+1 b=1−tt+1+lnt+1，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线 QUOTE y=lnx+1 y=lnx+1上任取一点 QUOTE Pt,lnt+1 Pt,lnt+1， QUOTE y'=1x+1 y'=1x+1，
所以曲线 QUOTE y=lnx+1 y=lnx+1在点 QUOTE P P处的切线方程为 QUOTE y−lnt+1=1t+1x−t y−lnt+1=1t+1x−t.
由题意可知，点 QUOTE 1,b 1,b在直线 QUOTE y−lnt+1=1t+1x−t y−lnt+1=1t+1x−t上，可得 QUOTE b=1−tt+1+lnt+1 b=1−tt+1+lnt+1，
令函数 QUOTE ，
令 QUOTE m=t+1>0 m=t+1>0
泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝EQ \F(λ\S(k),k!)eEQ \S\UP6(－λ)(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为（ ）
A．EQ \F(2,e\S(4)) B．EQ \F(4,e\S(4)) C．EQ \F(6,e\S(4)) D．EQ \F(8,e\S(4))
【答案】D
【解析】由题意可知，P(X＝1)＝P(X＝2)，即EQ \F(λ,1!)eEQ \S\UP6(－λ)＝EQ \F(λ\S(2),2!)eEQ \S\UP6(－λ)，解得λ＝2，所以P(X＝k)＝EQ \F(2\S(k),k!)eEQ \S\UP6(－2)，所以两周共销售2件该商品的概率2P(X＝0)P(X＝2)＋P(X＝1)P(X＝1)＝2eEQ \S\UP6(－2)EQ \F(2\S(2),2!)eEQ \S\UP6(－2)＋EQ \F(2\S(1),1!)eEQ \S\UP6(－2)EQ \F(2\S(1),1!)eEQ \S\UP6(－2)＝EQ \F(8,e\S(4))，故答案选D．
已知函数 QUOTE fx fx的定义域为 QUOTE R R，且满足 QUOTE f(x)+f(3−x)=4 f(x)+f(3−x)=4， QUOTE fx fx的导函数为 QUOTE g(x) g(x)，函数 QUOTE y=g(1+3x)−1 y=g(1+3x)−1为奇函数，则 QUOTE f(32)+g(2024) f(32)+g(2024) =（ ） B
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
9.下列说法正确的是 （ ）
A．“x>2”是“eq \f(1,x)
C．已知幂函数 QUOTE 的图象过点 QUOTE ，则 QUOTE = QUOTE 32 32
D．已知随机变量 QUOTE X X服从两点分布，且 QUOTE PX=0=0.6 PX=0=0.6， QUOTE PX=1=0.4 PX=1=0.4，令 QUOTE Y=3X−2 Y=3X−2，则 QUOTE
【答案】ACD
如图，已知斜三棱柱 QUOTE ABC−A1B1C1 ABC−A1B1C1中， QUOTE 鈭燘AC=蟺2 鈭燘AC=蟺2， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE AB=AC=1 AB=AC=1， QUOTE AA1=2 AA1=2，点 QUOTE O O是与的交点.下列选项中正确的有( AC )
A． QUOTE B． QUOTE
C．直线 QUOTE AO AO与 QUOTE BC BC所成的角的余弦值为 QUOTE
D．平面 QUOTE ABC ABC与平面 QUOTE 不垂直
11.在一个有限样本空间中，假设 QUOTE PA=PB=PC=13 PA=PB=PC=13，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
A．B． QUOTE
C． QUOTE D．若 QUOTE PCB+PCB=12 PCB+PCB=12，则 QUOTE PBC=0 PBC=0
【答案】BCD
【分析】A与B相互独立，则 QUOTE PAB=PAPB PAB=PAPB,又因为 QUOTE 可判断A选项；由条件概率的运算 QUOTE PBA=PBAPA PBA=PBAPA判断B选项 ；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故 QUOTE PCA=PA PCA=PA可判断C选项； QUOTE PBC=0 PBC=0，即B与C互斥判断D.
【详解】对于A，A与B相互独立，则 QUOTE ,
QUOTE ，A错误；
对于B，因为A与C互斥，所以,所以
QUOTE , QUOTE ,
所以 QUOTE ,B正确；
对于C， QUOTE ,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，
所以 QUOTE PCA=PA PCA=PA,所以 QUOTE ，C正确；
对于D，显然 QUOTE PC=PBC+PBC=13 PC=PBC+PBC=13，即 QUOTE ，
由 QUOTE PCB+PCB=12 PCB+PCB=12，得 QUOTE ，
解得 QUOTE PBC=0 PBC=0，所以B与C互斥，D正确.
故选：BCD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是 0.175 ．
解：设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.
13.若不等式 QUOTE a a＋ QUOTE x2−1x x2−1x≥ QUOTE 2lg2x 2lg2x在x∈( QUOTE 12 12，2)上恒成立，则实数 QUOTE a a的取值范围为 ． QUOTE
14.如图，已知点 QUOTE A A是圆台 QUOTE O1O O1O的上底面圆 QUOTE O1 O1上的动点， QUOTE B,C B,C在下底面圆 QUOTE O O上， QUOTE AO1=1,OO1=2,BO=3,BC=25 AO1=1,OO1=2,BO=3,BC=25，则直线 QUOTE AO AO与平面 QUOTE O1BC O1BC所成角的正弦值的最大值为 ．
【答案】 QUOTE 31010 31010
【分析】以 QUOTE O O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.
【详解】连接 QUOTE OC OC，过 QUOTE C C作 QUOTE CH CH垂直于 QUOTE BO BO的延长线于点，以 QUOTE O O为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形 QUOTE OBC OBC中，因为 QUOTE OB=3,OC=3,BC=25 OB=3,OC=3,BC=25，
故 QUOTE ，则 QUOTE ，
则 QUOTE CH=BC2−BH2=20−1009=453 CH=BC2−BH2=20−1009=453， QUOTE OH=BH−OB=13 OH=BH−OB=13，故点 QUOTE C−13,453,0 C−13,453,0；
又 QUOTE B3,0,0,O0,0,0,O10,0,2 B3,0,0,O0,0,0,O10,0,2，设点 QUOTE ，由 QUOTE O1A=1 O1A=1，则可得 QUOTE m2+n2=1 m2+n2=1；
QUOTE ，
设平面 QUOTE O1BC O1BC的法向量 QUOTE ，
则 QUOTE ，即 QUOTE −103x+453y=0−3x+2z=0 −103x+453y=0−3x+2z=0，取 QUOTE y=5 y=5，则 QUOTE x=2,z=3 x=2,z=3，
故平面 QUOTE O1BC O1BC的法向量 QUOTE ，又 QUOTE ，
设直线 QUOTE AO AO与平面 QUOTE O1BC O1BC所成角为 QUOTE ，
则 QUOTE
因为 QUOTE ，且 QUOTE m2+n2=1 m2+n2=1，故令 QUOTE ，
则 QUOTE
又 QUOTE ，故 QUOTE sin?+??"C"C?−1,1 sin?+??"C"C?−1,1， QUOTE ，也即 QUOTE ，
故 QUOTE 的最大值为 QUOTE 9310=31010 9310=31010
解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．
已知集合 QUOTE ， QUOTE ．
（1）命题p： QUOTE ，命题q： QUOTE ，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）函数的定义域为 QUOTE C C，若 QUOTE ，求实数 QUOTE a a的取值范围。
【详解】（1）解不等式 QUOTE ，即 QUOTE ，解得 QUOTE ，
所以， QUOTE ．
由于p是q的必要非充分条件，则 QUOTE B B是 QUOTE A A的真子集，所以 QUOTE ，解得 QUOTE ，
因此，实数 QUOTE m m的取值范围是 QUOTE 2,3 2,3； ┄ ┄ 6分
（2）因为 QUOTE ，在 QUOTE 1,4 1,4内有有解
令 QUOTE ，则 QUOTE ，所以 QUOTE a>0 a>0 ┄ ┄ 13分
设函数 QUOTE f(x)=−2x+a2x+1+b(a>0,b>0). f(x)=−2x+a2x+1+b(a>0,b>0).
若函数 QUOTE f(x) f(x)是奇函数，求 QUOTE a a与 QUOTE b b的值；
在（1）的条件下，判断并证明函数 QUOTE f(x) f(x)的单调性，并求不等式 QUOTE f(x)>−16 f(x)>−16的解集．
解析： （1）由函数 QUOTE f(x) f(x)是奇函数，得 QUOTE f(−x)=−f(x) f(−x)=−f(x)，
即 QUOTE −2x+a2x+1+b −2x+a2x+1+b对定义域内任意实数 QUOTE x x都成立，化简整理得
QUOTE ，它对定义域内任意实数 QUOTE x x都成立，
所以 QUOTE 2a−b=0,2ab−4=0, 2a−b=0,2ab−4=0,所以 QUOTE a=−1,b=−2 a=−1,b=−2或 QUOTE a=1,b=2. a=1,b=2.
经检验 QUOTE a=1,b=2, a=1,b=2,符合题意． ………………………7分
（3）由（2）可知 QUOTE f(x)=−2x+12x+1+2, f(x)=−2x+12x+1+2,由 QUOTE f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1) f(x)=−2x+12x+1+2=12(−1+22x+1)
易判断 QUOTE f(x) f(x)为 QUOTE 上的减函数。证明略（定义法或导数法）
由 QUOTE f(1)=−16 f(1)=−16，不等式 QUOTE f(x)>−16 f(x)>−16即为 QUOTE f(x)>f(1) f(x)>f(1)，由 QUOTE f(x) f(x)为 QUOTE 上的减函数
可得 QUOTE x<1. x<1.
或者由 QUOTE f(x)>−16 f(x)>−16即 QUOTE ，
所以 QUOTE 所以 QUOTE x/x<1. x/x<1. ………………………15分
如图，三棱柱 QUOTE ABC−A1B1C1 ABC−A1B1C1中， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE A1C鈯B A1C鈯B， QUOTE AC=1 AC=1， QUOTE AA1=2 AA1=2.
（1）求证： QUOTE 平面 QUOTE ABC ABC；
（2）直线 QUOTE BA1 BA1与平面 QUOTE BCC1B1 BCC1B1所成角的正弦值为 QUOTE 34 34，求二面角 QUOTE A1−BB1−C A1−BB1−C的余弦值.
（1）证明：在 QUOTE 中， QUOTE ， QUOTE AC=1 AC=1， QUOTE AA1=2 AA1=2，
由余弦定理可得 QUOTE ，
QUOTE ， QUOTE ，
又 QUOTE ， QUOTE AB鈭〢C=A AB鈭〢C=A， QUOTE 平面 QUOTE ABC ABC； ……………… 5分
（2）由（1）知： QUOTE CA CA、 QUOTE CB CB、 QUOTE CA1 CA1两两垂直，
以 QUOTE C C为原点， QUOTE CA CA、 QUOTE CB CB、 QUOTE CA1 CA1所在直线分别为 QUOTE x x、 QUOTE y y、 QUOTE z z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 QUOTE A1,0,0 A1,0,0、 QUOTE C0,0,0 C0,0,0、 QUOTE A10,0,3 A10,0,3，设点 QUOTE B0,b,0 B0,b,0，其中 QUOTE b>0 b>0，
设平面 QUOTE BCB1 BCB1法向量为 QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ，
QUOTE ，取 QUOTE x=3 x=3，则 QUOTE y=0 y=0， QUOTE z=1 z=1，得 QUOTE ，
QUOTE ，由已知 QUOTE ，
解得： QUOTE b=1 b=1，可得点 QUOTE B0,1,0 B0,1,0，
设为平面的法向量， QUOTE ，
由 QUOTE ，取 QUOTE x1=3 x1=3，则 QUOTE y1=3 y1=3， QUOTE z1=1 z1=1，可得 QUOTE ，
QUOTE ，
由图可知，二面角 QUOTE A1−BB1−C A1−BB1−C为锐角，所以，二面角 QUOTE A1−BB1−C A1−BB1−C的余弦值为.
………………………15分
18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 QUOTE ， QUOTE 1−伪 1−伪；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 QUOTE f伪 f伪，求 QUOTE f伪 f伪的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 QUOTE x1,x2,x3,x4 x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 QUOTE X X（ QUOTE x1,x2,x3,x4 x1,x2,x3,x4中任意相邻的数字均不相同时，令 QUOTE X=1 X=1），若 QUOTE 尾=23 尾=23，求 QUOTE X X的分布列和数学期望．
【答案】(1) QUOTE 14 14
(2)分布列见解析；期望为 QUOTE 20881 20881
【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数 QUOTE f伪 f伪表达式，进一步即可求解最小值；
（2） QUOTE X X的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望.
【详解】（1）由题可知 QUOTE ，
因为 QUOTE 0<伪<1 0<伪<1，所以当 QUOTE 伪=12 伪=12时， QUOTE f伪 f伪的最小值为 QUOTE 14 14． …………5分
（2）由题设知， QUOTE X X的可能取值为1，2，3，4．
①当 QUOTE X=1 X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此， QUOTE ，
②当 QUOTE X=2 X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此， QUOTE ，
③当 QUOTE X=3 X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此， QUOTE ，
④当 QUOTE X=4 X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此， QUOTE PX=4=134+234=1781 PX=4=134+234=1781．
所以 QUOTE X X的分布列为
QUOTE X X的数学期望 QUOTE ．
答： QUOTE X X的数学期望为 QUOTE 20881 20881 …………17分
已知函数 QUOTE f(x)=(x3−6x2+3x+t)ex f(x)=(x3−6x2+3x+t)ex， QUOTE ．
（1）若函数 QUOTE y=f(x) y=f(x)依次在 QUOTE 处取到极值．
①求 QUOTE t t的取值范围； ②若 QUOTE a+c=2b2 a+c=2b2，求 QUOTE 的值．
（2）若存在实数 QUOTE ，使对任意的 QUOTE ，不等式 QUOTE 恒成立．求正整数 QUOTE 的最大值．
解：（1）① QUOTE
QUOTE …………5分
② QUOTE
…………10分
（2）不等式 QUOTE ，即 QUOTE ，即 QUOTE ．
转化为存在实数 QUOTE ，使对任意的 QUOTE ，不等式 QUOTE 恒成立．
即不等式 QUOTE 在 QUOTE 上恒成立．
即不等式 QUOTE 在 QUOTE 上恒成立．
设 QUOTE ，则 QUOTE ．
设 QUOTE ，则 QUOTE r'(x)=e−x−2 r'(x)=e−x−2，因为 QUOTE ，有 QUOTE ．
故 QUOTE r(x) r(x)在区间 QUOTE 上是减函数．
又 QUOTE
故存在 QUOTE x0鈭?2,3) x0鈭?2,3)，使得 QUOTE ．
当 QUOTE 时，有 QUOTE ，当 QUOTE x>x0 x>x0时，有 QUOTE ．
从而 QUOTE y=蠁(x) y=蠁(x)在区间 QUOTE 1,x0 1,x0上递增，在区间 QUOTE 上递减．
又 QUOTE
所以当 QUOTE 时，恒有 QUOTE ；当 QUOTE 时，恒有 QUOTE ；
故使命题成立的正整数 QUOTE 的最大值为5． …………17分
X
1
2
3
4
P
881
1781
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