江西省抚州市临川区第十六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（体艺）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量m=(3,0)，n=(−3,0)，(q→−m→)⊥(q→−n→)，则|q|为
( )
A. 7B. 5C. 3D. 1
2.若△ABC的面积为 3，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于
A. 2B. 3C. 2D. 3
3.如图所示，矩形ABCD中，若BC→=6e1→，DC=4e2，则OC等于 ( )
A. 3e1+2e2B. 3e1−2e2C. 2e1+3e2D. 2e1−3e2
4.在△ABC中，已知sin2A+sin2B−sinAsinB=sin2C,且满足ab=4,则该三角形的面积为
( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
5.已知cs(π2+φ)= 32且|φ|<π2，则tanφ等于
( )
A. − 33B. 33C. − 3D. 3
6.下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线x=π3对称的是
( )
A. y=2sin2x+π3B. y=2sin2x−π6
C. y=2sinx2+π3D. y=2sin2x−π3
7.函数f(x)=sinxcsx在区间−π,π内的大致图象是
( )
A. B.
C. D.
8.如图，在△ABC中，AD⊥AB，BD→=xAB→+yAC→(x,y∈R)，|AD|=2，且AC⋅AD=12，则2x+y=( )
A. 1B. −23C. −13D. −34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=2sinωx+φ+1(ω>0,φ<π2)图象的一条对称轴为直线x=−π12，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8，则下列选项正确的是
( )
A. ω=4B. φ=−π6
C. fx的一个对称中心为(π24,0)D. fx+π6为偶函数
10.已知向量m→+n→=(3,1)，m→−n→=(1,−1)，则下列结论正确的是( )
A. (m→−n→) //n→B. (m→−n→)⊥n→
C. m= 2nD. =45°
11.下列说法中错误的为( )
A. 已知a=(1,2)，b=(1,1)且a与a+λb夹角为锐角，则λ∈(−53,+∞)
B. 已知a=(2,−3)，b=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若a与b平行，a在b方向上的投影为|a|
D. 若非零a，b满足|a|=|b|=|a−b|则a与a+b的夹角是60∘
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tanα=3，则sinα+csαsinα−csα=______．
13.函数fx=Asinωx+φ(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0，0⩽φ<2π)的部分图象如图所示，则f(−π3)的值是__________．
14.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=2，|c|=1，a⋅b=−2，若c=λa+μb，(λ∈R,μ∈R)，则λ−2μ的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
化简下列各式：
(1)−OA+OB−OC−CO．
(2)2(a+2b)+3(3a+2b)−4(a−b)．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(12x+π6)．
(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；
(2)若x∈[−π,π]，求f(x)的值域．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(a+c)(sinA−sinC)=( 3a−b)sinB.
(1)求角C的值;
(2)若sinAsinB= 34，c=2，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
已知a= 2,b=1,a与b的夹角为45 ∘.
(1)求a在b方向上的投影向量；
(2)求|a+2b|的值；
(3)若向量2a−λb与λa−3b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c=1且2csin Acs B=asin A−bsin B+14bsin C，cs∠BAD= 217．
(1)求b边的长度．
(2)求△ABC的面积．
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半、求AG·EF的最小值．