2024安徽中考数学二轮专题训练 题型五 “常见数据小规律”拆解“规律探索题” (含答案)

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(1)若一列正整数：1，2，3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________，这n(n≥1)个数的和为________．
(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________，这n(n≥1)个数的和为________．
(3)若一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________，这n(n≥1)个数的和为________．
(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
能力提升
(6)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(9)若一列数：4，7，10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(10)若一列数：2，6，12，20，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
类型一 数式规律探索
典例精讲
例 1 观察以下等式：
第1个等式：eq \f(2,1)－eq \f(3,2)＝eq \f(1,2)；
第2个等式：eq \f(3,2)－eq \f(5,6)＝eq \f(2,3)；
第3个等式：eq \f(4,3)－eq \f(7,12)＝eq \f(3,4)；
第4个等式：eq \f(5,4)－eq \f(9,20)＝eq \f(4,5)；
第5个等式：eq \f(6,5)－eq \f(11,30)＝eq \f(5,6)；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式______________；
(2)写出你猜想的第n个等式：______________________________________________________
(用含n的等式表示)，并证明．
【小数据分析】
等式的结构为：eq \f(B,A)－eq \f(D,C)＝eq \f(F,E)
【自主作答】
安徽近年真题精选
1. 观察以下等式：
第1个等式：eq \f(2,1)＝eq \f(1,1)＋eq \f(1,1)，
第2个等式：eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)，
第3个等式：eq \f(2,5)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,15)，
第4个等式：eq \f(2,7)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,28)，
第5个等式：eq \f(2,9)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,45)，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：____________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________(用含n的等式表示)，并证明．
2. 观察以下等式：
第1个等式：eq \f(1,1)＋eq \f(0,2)＋eq \f(1,1)×eq \f(0,2)＝1，
第2个等式：eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝1，
第3个等式：eq \f(1,3)＋eq \f(2,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,4)＝1，
第4个等式：eq \f(1,4)＋eq \f(3,5)＋eq \f(1,4)×eq \f(3,5)＝1，
第5个等式：eq \f(1,5)＋eq \f(4,6)＋eq \f(1,5)×eq \f(4,6)＝1，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________(用含n的等式表示)，并证明．
类型二 图形与等式关系的规律探索
典例精讲
例 2 很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：13＋23＋33＋…＋n3＝？
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：
例2题图
【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出13＋23＋33＋…＋n3＝________＝________(用含n的代数式表示)；
【拓展应用】根据以上结论，计算：23＋43＋63＋…＋(2n)3的结果为______________．
【小数据分析】
等式的结构为：Aeq \\al(3,1)＋Aeq \\al(3,2)＋Aeq \\al(3,3)＋…＋Aeq \\al(3,k)＝B2
【自主作答】
安徽近年真题精选
1.(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：
第1题图①
(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________．
第1题图②
类型三 图形规律探索
典例精讲
例 3 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，请根据排列规律完成下列问题：
例3题图
(1)填写下表：
(2)根据表中规律猜想图 )中菱形的个数：________(用含n的代数式表示)；
(3)是否存在一个图形恰好由111个菱形组成？若存在求出图的序号；若不存在说明理由．
【小数据分析】
【自主作答】
安徽近年真题精选
1. 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……
第1题图①
(1)观察以上图形并完成下表：
猜想：在图 )中，特征点的个数为________(用n表示)；
(2)如图，将图 )放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，2)，则x1＝____；图的对称中心的横坐标为________．
第1题图②
2. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
【观察思考】
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图②)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图③)；以此类推．
第2题图
【规律总结】
(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；
(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________(用含n的代数式表示)；
【问题解决】
(3)现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
参考答案
基础小练
(1)n；eq \f(n（n＋1）,2).
(2)2n－1；n2. (3)2n；n2＋n.
(4)(－1)n. (5)(－1)n＋1.
(6)n2. (7)n2＋1.
(8)n2－1. (9)3n＋1. (10)n(n＋1)
类型一 数式规律探索
典例精讲
例1 解：(1)eq \f(7,6)－eq \f(13,42)＝eq \f(6,7)；
(2)eq \f(n＋1,n)－eq \f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq \f(n,n＋1)，
证明：∵左边＝eq \f(n＋1,n)－eq \f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq \f(（n＋1）2,n（n＋1）)－eq \f(2n＋1,n（n＋1）)＝eq \f(（n＋1）2－（2n＋1）,n（n＋1）)＝eq \f(n2＋2n＋1－2n－1,n（n＋1）)＝eq \f(n2,n（n＋1）)＝eq \f(n,n＋1)＝右边，
∴等式成立．
安徽近年真题精选
1. 解：(1)eq \f(2,11)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,66)；(4分)
(2)eq \f(2,2n－1)＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n（2n－1）).
证明：∵右边＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n（2n－1）)＝eq \f(2n－1＋1,n（2n－1）)＝eq \f(2,2n－1)＝左边，
∴等式成立．(8分)
2. 解：(1)eq \f(1,6)＋eq \f(5,7)＋eq \f(1,6)×eq \f(5,7)＝1；(4分)
(2)eq \f(1,n)＋eq \f(n－1,n＋1)＋eq \f(1,n)×eq \f(n－1,n＋1)＝1.
证明：左边＝eq \f(1,n)＋eq \f(n－1,n＋1)＋eq \f(1,n)×eq \f(n－1,n＋1)＝eq \f(n＋1＋n（n－1）＋n－1,n（n＋1）)＝eq \f(n（n＋1）,n（n＋1）)＝1，
右边＝1，
∴左边＝右边，
∴等式成立．(8分)
类型二 图形与等式关系的规律探索
典例精讲
例2 解：【规律探究】62；
【解决问题】(1＋2＋3＋…＋n)2，eq \f(n2（n＋1）2,4)；
【拓展应用】
2n2(n＋1)2或2n4＋4n3＋2n2.
安徽近年真题精选
1. 解：(1)42；n2；(4分)
【解法提示】观察每一行的图形变换，可以发现，当小球有4行时，小球的总个数＝4×4＝42(个)，∴第一个空填42；根据此规律可知，当小球有n行时，小球的总数＝n·n＝n2(个)，∴第二个空填n2.
(2)2n＋1；2n2＋2n＋1.(8分)
【解法提示】在连续的奇数中，2n－1后边的数是2n＋1，∴第一个空填“2n＋1”；由第(1)小题的结论可知，在等式的左边的数中，“2n－1”前面的所有数之和等于n2，后面的所有的数之和也等于n2，∴总和＝n2＋(2n＋1)＋n2＝2n2＋2n＋1，∴等式的右边填“2n2＋2n＋1”．
类型三 图形规律探索
典例精讲
例3 解：(1)13，21；
(2)n2＋n＋1(n为正整数)；
(3)存在，由题意得n2＋n＋1＝111，解得n1＝10，n2＝－11(舍去)，∴存在一个图形恰好由111个菱形组成，序号为⑩.
安徽近年真题精选
1. (1)22，5n＋2；(4分)
【解法提示】由题意可知，图①中特征点有7个；图②中特征点有12个，12＝7＋5×1；图③中特征点有17个，17＝7＋5×2；∴图④中特征点有7＋5×3＝22个；由以上猜想，在图中，特征点的个数为7＋5(n－1)＝5n＋2.
(2)eq \r(3)，2013eq \r(3).(8分)
【解法提示】如解图，过点O1作O1M⊥y轴于点M，又∵正六边形的中心角为60°，O1C＝ O1B＝ O1A＝2，∴∠B O1M＝30°，∴O1M＝ O1B·cs∠B O1M＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，∴x1＝eq \r(3)；由题意可知，图②的对称中心的横坐标为eq \f(1,2)(2eq \r(3)×2)＝2eq \r(3)，图③的对称中心的横坐标为eq \f(1,2)(2eq \r(3)×3)＝3eq \r(3)，图④的对称中心的横坐标为eq \f(1,2)(2eq \r(3)×4)＝4eq \r(3)，∴图的对称中心的横坐标为eq \f(1,2)(2eq \r(3)×2013)＝2013eq \r(3).
第1题解图
2. 解：(1)2；(2分)
【解法提示】观察图②与图③，每增加1块正方形地砖，则增加2块等腰直角三角形地砖．
(2)2n＋4；(4分)
【解法提示】在图②中，正方形地砖1块，等腰直角三角形地砖(4＋2)块；在图③中，正方形地砖2块，等腰直角三角形地砖(4＋2×2)块；正方形地砖若有3块，则等腰直角三角形地砖(4＋2×3)块；…；正方形地砖若有n块，则等腰直角三角形地砖有(4＋2n)块．
(3)设需要正方形地砖n块，
∴2n＋4≤2021，(6分)
解得n≤1008.5，
∵n为正整数，
∴n最大取1008，
答：需要正方形地砖1008块．(8分)
A
B
C
D
E
F
第1个等式
1
2
2
3
2
1
第2个等式
2
3
6
5
3
2
第3个等式
3
4
12
7
4
3
第4个等式
4
5
20
9
5
4
第5个等式
5
6
30
11
6
5
第n个等式
n
n＋1
n(n＋1)
2n＋1
n＋1
n
A1
A2
A3
…
Ak
B
第1个等式
1
/
/
…
1
1
第2个等式
1
2
/
…
2
1＋2
第3个等式
1
2
3
…
3
1＋2＋3
第n个等式
1
2
3
…
k
1＋2＋3＋…＋k
图形序号
菱形个数(个)
①
3
②
7
③
________
④
________
……
……
图形序号
上面菱
形个数
下面菱
形个数
菱形个数
①
12
2
3
②
22
3
7
③
32
4
13
④
42
5
21
…
…
…
…
n2
n＋1
n2＋n＋1
图形的名称
基本图的个数
特征点的个数
图①
1
7
图②
2
12
图③
3
17
图④
4
________
…
…
…