贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县宰便中学2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试题+

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县宰便中学2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试题+，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1．下列数组是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．6，8，14D．7，23，26
2．在▱ABCD中，若∠A+∠C=180°，下列图形中最符合条件的图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列选项错误的是( )
A．AC，BD互相平分
B．OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形
C．AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形
D．∠BAC=45°时，平行四边形ABCD为正方形
4．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°， AB=2.5 cm，则对角线BD的长为( )
A．3 cmB．4 cmC．5 cmD．6 cm
5．已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB∶BC=2∶3，则CD的长为( )
A．4B．5C．6D．8
6．如图所示，在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，则∠CPQ的度数为( )
A．50°B．60°C．45°D．70°
7．根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图①所示，AC=2；当∠B=90°时，如图②所示，AC等于( )
①②
A．2B．2C．22D．3
8．如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC=45°时，已知AB=4cm，则剪下来图形的周长为（ ）
A．22cmB．42cmC．82cmD．162cm
9．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为( )
A．12B．17C．19D．20
10．如图所示，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q.若DQ=2QC，BC=3，则▱ABCD的周长为( )
A．10B．12C．15D．20
11．如图所示，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'处.若AB=6，BC=9，则BF的长为( )
A．4B．32C．4.5D．5
12．如图所示，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°.已知AD=6，DF=2，则△AEF的面积为( )
A．6B．12C．15D．30
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13．命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 ，它是 命题(填“真”或“假”).
14．已知菱形ABCD中，对角线AC=4，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积是 .
15．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10，点P在对角线AC上，点E，F分别在AB，AD上，且PE∥BC，PF∥CD，连接EF，则图中阴影部分的面积为 .
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，N是边BC上一点，M是边AB上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 .
三、解答题(本题共9小题,共98分)
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，BE=DF，求证：四边形AECF为平行四边形.
18．如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F.求证：BE=CF.
19．如图所示的是由单位长度为1的小正方形组成的网格，按要求作图.
（1）在图①中画出一条长为5的线段；
（2）在图②中画出一个以格点(小正方形的顶点)为顶点，三边长都为无理数的直角三角形.
20．在数学活动课上，老师出了一道关于矩形的题，让同学们解答.
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
（1）嘉嘉的思路 ，琪琪的思路 ；(均选填“正确”或“错误”)
（2）请按照你认为的正确思路进行解答.
21．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF.
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积.
22．如图所示，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）判断△EAF的形状，并说明理由.
23．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且AE∥CF，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD=180°，求证：四边形AECF是矩形.
24．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF=DE.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，试判断当BE的长为多少时，四边形AECF为菱形，并说明理由.
25．已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点.
①②③
（1）【建立模型】
如图①所示，连接BE，DE.求证：BE=DE；
（2）【模型应用】
如图②所示，F是DE延长线上一点，EF交AB于点G，FB⊥BE，判断△FBG的形状，并说明理由；
（3）【模型迁移】
如图③所示，F是DE延长线上一点，EF交AB于点G，FB⊥BE，BE=BF，求证：GE=(2-1)DE.
答案解析部分
贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县宰便中学2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试题
一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分)
1．下列数组是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．6，8，14D．7，23，26
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。由此可知，A项不是，
C：62+82≠142，C项错误；
D：72+232≠262，D项错误。
故答案为：B。
【分析】本题考查勾股数的概念，牢记概念逐项分析即可。
2．在▱ABCD中，若∠A+∠C=180°，下列图形中最符合条件的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
又∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：A.
【分析】根据题意可得四边形ABCD是矩形，由此即可得出答案。
3．如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列选项错误的是( )
A．AC，BD互相平分
B．OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形
C．AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形
D．∠BAC=45°时，平行四边形ABCD为正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴对角线AC，BD互相平分，A正确
OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形，B正确
AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，C正确
∠BAC=45°时，∠BAD不一定为90°，平行四边形不一定是正方形，D错误
故答案为：D
【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形，正方形的判定定理即可求出答案.
4．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°， AB=2.5 cm，则对角线BD的长为( )
A．3 cmB．4 cmC．5 cmD．6 cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD=120°
∴∠AOB=60°
∵OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴OA=OB=AB=2.5
∴BD=2OB=5
故答案为：C
【分析】根据矩形的性质，结合等边三角形的性质即可求出答案.
5．已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB∶BC=2∶3，则CD的长为( )
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD的周长为20
∴AB+BC=10
∵AB∶BC=2∶3
∴AB=25×10=4，BC=6
∴CD=AB=4
故答案为：A
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
6．如图所示，在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，则∠CPQ的度数为( )
A．50°B．60°C．45°D．70°
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴BC=CD，∠C=90°
∵P，Q分别为BC，CD的中点
∴CP=CQ
∴△CPQ为等腰直角三角形
∴∠CPQ=45°
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质，结合等腰直角三角形性质即可求出答案
7．根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图①所示，AC=2；当∠B=90°时，如图②所示，AC等于( )
①②
A．2B．2C．22D．3
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形
∴BC=AC
当∠B=60°时，△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC=2
当∠B=90°时，△ABC为直角三角形
∴AC=AB2+BC2=2
故答案为：B
【分析】根据菱形的性质可得三角形ABC为等边三角形，则AB=BC=AC=2，再根据勾股定理即可求出答案.
8．如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC=45°时，已知AB=4cm，则剪下来图形的周长为（ ）
A．22cmB．42cmC．82cmD．162cm
【答案】D
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵将一张矩形纸片沿虚线对折两次，
∵ ∠ABC=45°，∠A=90°
∴△ABC为等腰直角三角形
∴ 剪下来的图形是以BC为边长的正方形
∵ AB=4cm
∴ AC=AB=4cm
∴ BC=AB2+AC2=42cm
∴ 剪下来的图形的周长=4BC=162cm
故答案为D
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和正方形的周长计算。结合题意，明确剪下来的图形是正方形是解题关键。
9．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为( )
A．12B．17C．19D．20
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，O是对角线AC的中点，
∴BO=12AC=AB2+BC2=132
∵M是AD的中点
∴OM为△ADC的中位线
∴OM=12DC=52，AM=12AD=6
∴四边形ABOM的周长为：AB+BO+OM+AM=5+132+52+6=20
故答案为：D
【分析】根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，结合勾股定理可得BO长，再根据三角形中位线定理可得OM长，再根据四边形周长公式即可求出答案.
10．如图所示，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q.若DQ=2QC，BC=3，则▱ABCD的周长为( )
A．10B．12C．15D．20
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由作图可得，AQ是∠DAB的平分线
∴∠DAQ=∠BAQ
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA
∴∠DAQ=∠DQA
∴DQ=AD=3
∵DQ=2QC
∴QC=12DQ=32，CD=DQ+QC=92
∴平行四边形ABCD的周长为：2(CD+AD)=15
故答案为：C
【分析】根据角平分线的判定定理可得∠DAQ=∠BAQ，再根据平行四边形性质可得DC∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，则∠DAQ=∠DQA，再根据边之间的关系结合平行四边形的周长即可求出答案.
11．如图所示，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'处.若AB=6，BC=9，则BF的长为( )
A．4B．32C．4.5D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可得：
CF=C'F，BC'=12AB=3
设BF=x，则C'F=9-x
在Rt△BC'F中
BC'2+BF2=C'F2，即32+x2=9-x2
解得：x=4
故答案为：A
【分析】根据折叠性质可得CF=C'F，BC'=12AB=3，设BF=x，则C'F=9-x，在Rt△BC'F中，根据勾股定理即可求出答案.
12．如图所示，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°.已知AD=6，DF=2，则△AEF的面积为( )
A．6B．12C．15D．30
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠C=∠ADC=90°
∴∠ADG=∠B=90°
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴AG=AE，∠BAE=∠DAG
∵∠EAF=45°
∴∠DAF+∠BAE=45°
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=45°
∴∠GAF=∠EAF
∵AF=AF
∴△∠AFG≌△AFE（SAS）
∴FG=EF
设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2
在Rt△ECF中，FC2+CE2=EF2
即42+(6-x)2=(x+2)2
解得：x=3
∴GF=DG+DF=5
∴S△AEF=S△AGF=12GF·AD=15
故答案为：C
【分析】：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，根据正方形性质及全等三角形判定定理可得△ADG≌△ABE（SAS），则AG=AE，∠BAE=∠DAG，再进行角之间的转化及全等三角形判定定理可得△∠AFG≌△AFE（SAS），则FG=EF，设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2，在Rt△ECF中，根据勾股定理可得x=3，则GF=DG+DF=5，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13．命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是 ，它是 命题(填“真”或“假”).
【答案】等腰三角形是等边三角形；假
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是“ 等腰三角形是等边三角形 ”，可知该命题是假命题。
【分析】 把一个命题的条件或结论互换后，得到的新命题就是这个命题的逆命题，在继续判断该逆命题真假即可。
14．已知菱形ABCD中，对角线AC=4，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积是 .
【答案】83
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O
∵四边形ABCD是菱形
∴BA=BC，BD⊥AC，AO=CO=12AC=2，BO=DO=12BD
∵∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴BC=AC=4
∵BD⊥AC
∴∠CBO=30°
∴BO=42-22=23
∴BD=43
∴菱形ABCD的面积为：12AC·BD=83
故答案为：83
【分析】根据菱形性质可得△ABC是等边三角形，则BC=AC=4，再根据勾股定理可求出BO=23，再根据菱形面积即可求出答案.
15．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10，点P在对角线AC上，点E，F分别在AB，AD上，且PE∥BC，PF∥CD，连接EF，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∵PE∥BC，PF∥CD
∴AE∥PF，AF∥EP
∴OA=OP，OE=OF
∴S△AEO=S△PFO
∴S阴影=12S▱ABCD=5
故答案为：5
【分析】根据平行四边形的性质即可求出答案.
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，N是边BC上一点，M是边AB上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 .
【答案】65
【知识点】三角形的面积；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】解：连接CM
∵点D，E分别为CN，MN的中点
∴DE=12CM
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小
根据勾股定理可得：AB=AC2+BC2=5
∵S△ABC=12AB·CM=12AC·BC
∴CM=125
∴DE=12CM=65
故答案为：65
【分析】连接CM，根据线段中点性质可得DE=12CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理可得AB=5，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题(本题共9小题,共98分)
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，BE=DF，求证：四边形AECF为平行四边形.
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵BE=DF，
∴AB-BE=CD-DF，
即AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得AB∥CD，AB=CD，由BE=DF，可得AE=CF，再根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
18．如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F.求证：BE=CF.
【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OC.
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEO=∠CFO=90°.
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF(AAS)，
∴BE=CF.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得OB=OC，由题意可得∠BEO=∠CFO=90°，再根据全等三角形判定定理可得△BOE≌△COF(AAS)，则BE=CF，即可求出答案.
19．如图所示的是由单位长度为1的小正方形组成的网格，按要求作图.
（1）在图①中画出一条长为5的线段；
（2）在图②中画出一个以格点(小正方形的顶点)为顶点，三边长都为无理数的直角三角形.
【答案】（1）解：(画法不唯一)如图①所示.
∵AC=AB2+BC2=12+22=5，
∴线段AC即为所求.
（2）解：(画法不唯一)如图②所示.
△ABC的三边长分别为AB=1+1=2，AC=22+22=22， BC=12+32=10，
且 AB2+AC2=(2)2+(22)2=10，
BC2=(10)2=10，
∴(2)2+(22)2=(10)2，
∴△ABC即为所求.
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）要画出一条长为5的线段，根据勾股定理，可以先找到两条直角边的长为1和2，即可画出图形；（2）利用小正方形的长度，先分别找出长度为无理数的三条边，如2、22、10，且三边长度恰好能满足勾股定理逆定理，即可画出满足要求的图形。
20．在数学活动课上，老师出了一道关于矩形的题，让同学们解答.
嘉嘉和琪琪分别给出了自己的思路：
（1）嘉嘉的思路 ，琪琪的思路 ；(均选填“正确”或“错误”)
（2）请按照你认为的正确思路进行解答.
【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择嘉嘉思路.
证明如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∵AF=CE，
∴BF=DE，
∴四边形DFBE是平行四边形.
又∵CD⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴平行四边形DFBE是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的判定定理可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可求出答案；②根据全等三角形判定定理可得△ADF与△CBE全等，再根据有三个角是直角的四边形是矩形即可求出答案；
（2）根据菱形性质可得AB=CD，AB∥CD，再根据平行四边形判定定理可得四边形DFBE是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可求出答案.
21．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF.
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE和△ADF中，∠ABE=∠ADF,BE=DF,∠AEB=∠AFD,
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形.
（2）解：如图所示，
连接BD，交AC于点O.
由(1)知▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，点O是AC，BD的中点，
∴AO=CO=3，BD=2BO.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
BO=AB2-AO2=52-32=4，
∴BD=2BO=8，
∴S▱ABCD=12AC·BD=12×6×8=24.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得∠ABC=∠ADC，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADF(ASA)，则AB=AD，再根据菱形判定定理即可求出答案；
（2）连接BD，交AC于点O，根据菱形性质可得AC⊥BD，点O是AC，BD的中点，则AO=CO=3，BD=2BO，在Rt△ABO中，根据勾股定理可得BO=4，则BD=8，再根据平行四边形面积即可求出答案.
22．如图所示，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）判断△EAF的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，F是CB延长线上的点，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°.
在△ADE和△ABF中，AD=AB,∠D=∠ABF,DE=BF,
∴△ADE≌△ABF(SAS).
（2）解：△EAF是等腰直角三角形.理由如下：
由(1)知△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，∠DAE=∠BAF.
∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAE=∠EAB+∠BAF=∠EAB+∠DAE=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，再根据全等三角形判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质可得AE=AF，∠DAE=∠BAF，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
23．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且AE∥CF，连接AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠EAO+∠CFD=180°，求证：四边形AECF是矩形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
∵AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO.
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）证明：∵∠EAO+∠CFD=180°，
∠CFO+∠CFD=180°，
∴∠EAO=∠CFO.
∵∠EAO=∠FCO，
∴∠FCO=∠CFO，
∴OC=OF，
由(1)可知四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得OA=OC，根据直线平行性质可得∠EAO=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△AEO≌△CFO(ASA)，则OE=OF，由平行四边形判定定理即可求出答案；
（2）进行角之间的转化可得∠FCO=∠CFO，则OC=OF，再根据平行四边形性质可得OA=OC，OE=OF，则AC=EF，再根据矩形判定定理即可求出答案.
24．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF=DE.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，试判断当BE的长为多少时，四边形AECF为菱形，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中，AD=CB,∠ADE=∠CBF,DE=BF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
（2）解：当BE=1.4时，四边形AECF为菱形.
理由如下：
如图所示，连接AC交BD于点G.
∵AE=3，AD=4，∠DAE=90°，
∴BF=DE=5.
∵四边形AECF为菱形，
∴AC⊥EF，AE=AF=3，
∴12DE·AG=12AE·AD，
∴AG=2.4.
在Rt△AGF中，FG=AF2-AG2=1.8，
∴BE=BF-2FG=1.4.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD=CB，AD∥CB，则∠ADE=∠CBF，再根据全等三角形判定定理即可求出答案；
（2）连接AC交BD于点G，根据勾股定理可得BF=DE=5，由菱形性质可得AC⊥EF，AE=AF=3，再根据三角形面积得12DE·AG=12AE·AD，即AG=2.4，在Rt△AGF中，根据勾股定理即可求出答案.
25．已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点.
①②③
（1）【建立模型】
如图①所示，连接BE，DE.求证：BE=DE；
（2）【模型应用】
如图②所示，F是DE延长线上一点，EF交AB于点G，FB⊥BE，判断△FBG的形状，并说明理由；
（3）【模型迁移】
如图③所示，F是DE延长线上一点，EF交AB于点G，FB⊥BE，BE=BF，求证：GE=(2-1)DE.
【答案】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°.
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE.
（2）解：△FBG为等腰三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=90°，
∴∠AGD+∠ADG=90°.
由(1)知△ABE≌△ADE，
∴∠ADG=∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG=90°.
∵FB⊥BE，
∴∠EBF=90°，
∴∠FBG+∠EBG=90°，
∴∠AGD=∠FBG.
∵∠AGD=∠FGB，
∴∠FBG=∠FGB，
∴FG=FB，
∴△FBG是等腰三角形.
（3）证明：∵FB⊥BE，
∴∠FBE=90°.
在Rt△EBF中，BE=BF，
∴EF=BE2+BF2=BE2+BE2=2BE.
由(1)知BE=DE，
由(2)知FG=BF，
∴FG=BF=BE=DE，
∴GE=EF-FG=2BE-DE=2DE-DE=(2-1)DE.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADE(SAS)，则BE=DE，即可求出答案；
（2）根据正方形性质可得∠GAD=90°，则∠AGD+∠ADG=90°，再根据全等三角形性质可得∠ADG=∠EBG，则∠AGD+∠EBG=90°，再进行角之间的转化可得FG=FB，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案；
（3）在Rt△EBF中，根据勾股定理可得EF=2BE，结合BE=DE，FG=BF，可得FG=BF=BE=DE，则GE=EF-FG=2BE-DE=2DE-DE=(2-1)DE，即可求出答案.
如图所示，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，且AF=CE，连接BD，DF.求证：四边形BFDE是矩形
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可
得证；
琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证
如图所示，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，且AF=CE，连接BD，DF.求证：四边形BFDE是矩形
嘉嘉：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可
得证；
琪琪：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证