2024年湖南省长沙市雨花区中考适应性考试数学试题(一)答案

这是一份2024年湖南省长沙市雨花区中考适应性考试数学试题(一)答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.【解答】解：∵是有理数，
∴选项A不符合题意；
∵﹣是负数，
∴选项B不符合题意；
∵是比1小的正无理数，
∴选项C符合题意；
∵是比1大的正无理数
∴选项D不符合题意，
故选：C.
2.【解答】解：A、交通标志不是中心对称图形，不符合题意；
B、交通标志不是中心对称图形，不符合题意；
C、交通标志是中心对称图形，符合题意；
D、交通标志不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C.
3.【解答】解：×＝3，故选项A正确，符合题意；
（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项B错误，不符合题意；
不能合并，故选项C错误，不符合题意；
a2•a3＝a5，故选项D错误，不符合题意；
故选：A.
4.【解答】解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，
∴8﹣6＜m＜8+6，
∴2＜m＜14，
∴整数m的最小值是3.
故选：B.
5.【解答】解：A、3个球都是白球，是不可能事件，不符合题意；
B、至少有1个黑球，是必然事件，符合题意；
C、3个球都是黑球，是随机事件，不符合题意；
D、有1个白球2个黑球，是随机事件，不符合题意；
故选：B.
6.【解答】解：由表知甲、丙、丁成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴丁发挥稳定，
∴选择丁参加比赛.
故选：D.
7.【解答】解：如图：
∵∠1＝105°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝75°，
∵CD∥EF，
∴∠2＝∠3＝75°，
故选：C.
8.【解答】解：由作图知，AQ是∠BAC的角平分线，
∴∠BAQ＝∠CAQ，故A不符合题意；
由作图知MN垂直平分BC，
∴BE＝CE，∠BED＝90°，故B，D不符合题意；
无法证明AF＝AC，故C符合题意，
故选：C.
9.【解答】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50.
故选：B.
10.【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，OC＝OB，
∵B（4，0），
∴OB＝OA＝4，
∴OC＝2，AC＝2.
∴A（2，2），
∵等边三角形OAB的顶角A在反比例函数的图象上，
∴k＝2×＝4.
故选：B.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.【解答】解：1.43万亿＝1.43×104×108＝1.43×1012，
故答案为：1.43×1012.
12.【解答】解：原式＝﹣
＝
＝x.
故答案为：x.
13.【解答】解：∵方程的其中一根为x＝1，
∴2﹣m+3＝0，
解得m＝5，
∴方程为2x2﹣5x+3＝0，
∴两根之和为﹣＝.
故答案为：.
14.【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是9：1.
∴△ABC∽△DEF，AB：DE＝OA：OD＝3：1，
故答案为：3：1.
15.【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
在Rt△AOB中，AB＝5，
∴OA＝AB•cs45°＝5×＝5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5.
16.【解答】解：令x+y＝t（t≥2）
则t+z＝8的正整数解有：t＝2，3，4，5，6，7，共6组.
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组；
t＝x+y＝3的正整数解有2组；
t＝x+y＝4的正整数解有3组；
...
t＝x+y＝7的正整数解有6组.
总的正整数解组数为：1+2+3+4+5+6＝21，
故答案为：21.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.【解答】解：
＝1+2﹣5﹣4×
＝1+2﹣5﹣2
＝﹣4.
18.【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
.
19.【解答】解：（1）由题意得：DE⊥CE，
在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝100（2﹣）m，
∴DE＝CD＝50（2﹣）≈13（m），
∴DE的长约为13m；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝AE，DE＝AF＝50（2﹣）m，
在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝100（2﹣）m，
∴CE＝CD•cs30°＝100（2﹣）×＝（100﹣150）m，
设AC＝x m，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（100﹣150+x）m，
在Rt△ABC中，∠BCA＝45°，
∴AB＝AC•tan45°＝x（m），
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（100﹣150+x）m，
∵AF+BF＝AB，
∴50（2﹣）+0.5（100﹣150+x）＝x，
解得：x＝50，
∴白鹭塔AB的高度约为50m.
20.【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
答：本次调查共抽取了50名学生；
（2）选择排球的人数为：50﹣8﹣12﹣10＝20，
补全条形统计图如下：
（3）1200×＝480（人），
答：估计该学校学生选择排球的大约有480人；
（4）由统计图可知，选择排球的人数较多，建议学校适当增加和完善排球场地.（答案不唯一）.
21.【解答】解：（1）结论：BF⊥AC.
理由：∵∠AGF＝∠ABC，
∴FG∥BC，
∴∠BFG＝∠FBC，
∠BFG＝35°，
∴∠FBC＝35°，
节∠EDB＝145°，
∴∠FBC+∠EDB＝180°，
∴BF∥DE，
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC；
（2）∵GF＝GB，
∴∠GBF＝∠BFG＝35°，
∴∠ABC＝70°，
∵DE∥BF，
∴∠CDE＝∠FBC＝35°，
∵DE⊥AC，
∠CED＝90°，
∴∠C＝55°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣55°＝55°.
22.【解答】解：（1）设购买1棵红枫需x元，购买1棵香樟需y元，
由题意可得：，
解得：，
答：购买1棵红枫需25元，购买1棵香樟需15元；
（2）设红枫a棵，
由题意可得：25a+15（40﹣a）≤800，
解得：a≥20，
∵a为正整数，
∴至多可以购买20棵红枫.
∴至少可以购买20棵香樟
23.【解答】解：（1）AO＝CO；
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
又∵AO＝CO，
∴△AOF≌COE（ASA），
∴OE＝OF.
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
又∵EO＝FO，
∴△AOF≌COE（AAS），
∴AO＝CO＝5，
在Rt△COE中，tan∠OCE＝＝，
在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝，
∴，
∴，
∴EF＝.
24.【解答】解：（1）连接OC，如图一，
∵OE⊥BC，OD⊥AC，
∴BE＝EC，CD＝DA，
∵OB＝OC，OA＝AC，
∴∠COE＝BOC，∠COD＝AOC，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝（∠BOC+∠AOC）＝BOA＝45°.
（2）连接OC，如图二，
∵OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠OEC＝∠ODC＝90°，
∴O，E，C，D四点在以OC为直径的圆上，该圆为△ODE的外接圆，
∴△ODE的外心P为OC的中点，
∴OP＝OC＝2，
∵∠AOB＝90°，C为弧AB上的一个动点，
∴△ODE的外心P的运动的轨迹为以O为圆心，2为半径的圆周，
∴△ODE的外心P所经过的路径的长度＝×2×2π＝π.
（3）连接CM，CN，如图三，
∵半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝OB＝4，
∴AB＝OA＝4.
由（1）知：OE垂直平分BC，OD垂直平分AC，
∴NB＝NC，MC＝MA.
∴∠NBC＝∠NCB＝α，∠MAC＝∠MCA＝β，
∴∠CNM＝2α，∠NMC＝2β.
∵∠DOE＝45°，OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠BCA＝135°.
∴∠NCM+α+β＝135°.
∵∠NCM+∠MNC+∠NMC＝180°，
∴∠NCM+2α+2β＝180°，
∴α+β＝45°，
∴∠NCM＝90°，
∴以线段AM，MN，NB为三边的三角形为直角三角形，
∴r＝MN.
∵S△OEC＝S△OBC，，
∴，
∵S四边形OACB＝S△OBA+S△CBA＝4×4+S△CBA，
∴△CAB的面积取最大值时，四边形DOEC的面积取最大值，
∵AB＝4，
∴AB边上的高取最大值时，△CAB的面积取最大值，
∵C为弧AB上的一个动点，
∴当点C为的中点时，AB边上的高取最大值.
设点C为的中点，连接CM，CN，OC，OC与AB交于点H，如图，
则，OC⊥AB，
∴AC＝BC，BH＝AH＝2，
∴a＝b.
∴OH＝AB＝2，
∴CH＝4﹣2，
此时，△CMN为等腰直角三角形，
∴CH＝MN，
∴MN＝8﹣4，
∴r＝MN＝4﹣2.
∵BC2＝BH2+CH2＝＝32﹣16，
∴a2＝32﹣16，
∴a2+b2＝2a2＝64﹣32，
∴＝.
25.【解答】解：（1）∵∠COB＝75°，∠OCB＝45°，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝2，
∴OE＝OB•tan60°＝2，
∴E（0，2），
设直线l的解析式为y＝kx+2，
∴2k+2＝0，
解得k＝﹣，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+2；
（2）作△ABC的外接圆，设圆心为D，作DE⊥x轴交于E点，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当y＝0时，ax2﹣ax﹣6a＝0，
解得x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
∴AB＝5，D点横坐标为，
∵DE＝AB，
∴DE＝，
∴D（，），
∴AD＝，
∵C（0，﹣6a），DC＝AD＝，
∴a＝﹣1或a＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣1，
∴C（0，6），
∴△ABC的面积＝×5×6＝15；
（3）∵A（﹣4，0），B（4，0），
∴A、B关于y轴对称，
∵∠AQB＝45°，
∴A、B、Q三点在以（0，4）或（0，﹣4）为圆心的圆上，
∵圆的半径为4，“星城”点Q至少有3个，
∴Q点的纵坐标最大为4+4，
∴Q（0，4+4），
设经过A、B、Q三点的抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣4），
∴﹣16a＝4+4，
∴a＝﹣﹣，
∴抛物线解析式为y＝（﹣﹣）x2+4+4，
∴c2+32a﹣2023的最小值为（4+4）2+32×（﹣﹣）﹣2023＝40﹣1999.