2024年辽宁省丹东市第五中学九年级中考三模数学试题

这是一份2024年辽宁省丹东市第五中学九年级中考三模数学试题，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为（ ）
A．6.4×10﹣5B．6.4×106C．6.4×10﹣6D．6.4×105
3．（3分）质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．a5•a2＝a15B．（a5）5＝a10
C．（ab2）3＝ab6D．a8÷a7＝a
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．（2，4）B．（3，4）C．（3，5）D．（4，3）
7．（3分）将分别标有“大”、“美”、“织”、“金”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若ab＞0，则a＞0，b＞0
B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
9．（3分）如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．（3分）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg），已知U0随着R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，U0越大，R1越小
B．当U0＝3V时，R1的阻值为50Ω
C．当踏板上人的质量为90kg时，U0＝2V
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）
11．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式x2y﹣16y的结果为 ．
13．（3分）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝ ．
15．（3分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+（a≠0）经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，过D作DF∥BC交x轴于F点，则DF的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
17．（9分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
小宇的作业：
解：，
．
（1）a＝ ，x乙＝ ，甲成绩的众数是 ，乙成绩的中位数是 ．
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．
（3）①请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
18．（8分）为加强学生安全教育，某学校组织了“安全教育”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；购买2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且总费用不超过1100元，求至少购买多少副乒乓球拍．
19．（8分）某单位准备购买一种水果，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该水果在两家超市的标价均为13元/千克．甲超市购买该水果的费用y（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；乙超市该水果在标价的基础上每千克直降3元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）现计划用290元购买该水果，选甲、乙哪家超市能购买该水果更多一些？
20．（8分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）
21．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．
22．（12分）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一；如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF＝ °；
②线段EF，BE，DF之间的数量关系为 ．
【深入探究】
操作二：如图2、将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①AP＝BE+DF；②∠BAE＝30°．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE或AF上时，请直接写出线段BE的长．
23．（12分）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），如果满足y1﹣x1＝y2﹣x2，那么称P、Q两点互为“等差点”．
（1）请判断在点A（2，﹣1）、B（1，4）、C（﹣2，﹣1）中，有哪些点与点D（﹣1，2）互为“等差点”？
（2）已知点E在直线y＝x﹣2上，点F在双曲线（k为常数，且k≠±1）上，且E、F两点互为“等差点”．请求出点F的坐标（用含k的代数式表示）；
（3）已知抛物线（a，b为常数且a≠0、b≠0）的顶点为G点，与x轴交于M、N两点，GM⊥GN，P、Q两点分别在抛物线和直线上，如果P、Q两点互为“等差点”，且P、Q两点的横坐标是一元二次方程的两根，求3a﹣b的值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一个选项最符合题意要求，请将最符合题意要求的选项涂在答题卡指定位置上。本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为（ ）
A．6.4×10﹣5B．6.4×106C．6.4×10﹣6D．6.4×105
【解答】解：0.0000064＝6.4×10﹣6．
故选：C．
3．（3分）质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵|﹣3|＞|2|＞|0.75|＞|﹣0.6|，
∴﹣0.6的足球最接近标准质量，
故选：B．
4．（3分）下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、影子的方向不相同，错误；
B、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；
C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误；
D、影子的方向不相同，错误；
故选：B．
5．（3分）下列各式运算正确的是（ ）
A．a5•a2＝a15B．（a5）5＝a10
C．（ab2）3＝ab6D．a8÷a7＝a
【解答】解：A．a5•a2＝a7，故此选项不合题意；
B．（a5）5＝a25，故此选项不合题意；
C．（ab2）3＝a3b6，故此选项不合题意；
D．a8÷a7＝a，故此选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B的对应点D的坐标为（ ）
A．（2，4）B．（3，4）C．（3，5）D．（4，3）
【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心，在y轴右侧作△ABO放大2倍后的位似图形△CDO，点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴点B的对应点D的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），
故选：A．
7．（3分）将分别标有“大”、“美”、“织”、“金”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的有2种结果，所以两次摸出的球上的汉字能组成“织金”的概率为．
故选：B．
8．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若ab＞0，则a＞0，b＞0
B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A、若ab＞0，则a、b同号，错误，是假命题；
B、两个锐角分别相等的两个直角三角形相似但不一定全等，错误，是假命题；
C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，错误，是假命题；
故选：C．
9．（3分）如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：拿走图中的“乙”一个积木后，此图形主视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来的两个变成一个．
故选：B．
10．（3分）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg），已知U0随着R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，U0越大，R1越小
B．当U0＝3V时，R1的阻值为50Ω
C．当踏板上人的质量为90kg时，U0＝2V
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg
【解答】解：∵图2中U0随R1的增大而减小，
∴在一定范围内，U0越大，R1越小．
A正确，不符合题意；
∵图2中的图象经过点（50，3），
∴当U0＝3V时，R1的阻值为50Ω．
B正确，不符合题意；
∵当m＝90时，R1＝﹣2m+240＝60Ω，U0＝2V时，对应的是90Ω，
∴踏板上人的质量为90kg时，U0＝2V，错误．
C符合题意．
∵R1＝﹣2m+240，
∴R1随m的增大而减小．
∵R1的最小值为10，
∴m的最大值为115．
∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg．
D正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）
11．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥5 ．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
故实数x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．
12．（3分）分解因式x2y﹣16y的结果为 y（x+4）（x﹣4） ．
【解答】解：x2y﹣16y＝y（x2﹣16）
＝y（x+4）（x﹣4）．
故答案为：y（x+4）（x﹣4）．
13．（3分）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是 40° ．
【解答】解：过B作BK∥m，
∵m∥n，
∴BK∥n，
∴∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，
∵∠ABC＝90°，
∴∠4＝∠ABC﹣∠3＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故答案为：40°．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝ 2：3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故答案为：2：3．
15．（3分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+（a≠0）经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，过D作DF∥BC交x轴于F点，则DF的最小值为 ．
【解答】解：设点B的坐标为（m，a（m﹣1）2+），点C坐标为（n，0）．
∵点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，
∴OD＝BD，
又∵DF∥BC，
∴DF是△OBC的中位线，
∴DF＝BC．
根据两点间的距离公式可知：
BC2＝（m﹣n）2+＝（m﹣n）2+a2（m﹣1）4+2a（m﹣1）2+2，
结合抛物线开口向上可知a＞0，
∴（m﹣n）2≥0，a2（m﹣1）4≥0，2a（m﹣1）2≥0，
∴BC2≥2，
∴BC＝．
∵DF＝BC，
∴DF≥．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
17．（9分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
小宇的作业：
解：，
．
（1）a＝ 4 ，x乙＝ 6 ，甲成绩的众数是 4 ，乙成绩的中位数是 7 ．
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．
（3）①请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【解答】解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6＝30，
则a＝30﹣7﹣7﹣5﹣7＝4，＝30÷5＝6，
甲成绩的众数是4，
乙成绩的中位数是 ＝7，
故答案为：4；6；4；7；
（2）如图所示：
（3）①S2乙＝×[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝1.6．
由于，所以乙成绩比较稳定；
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
18．（8分）为加强学生安全教育，某学校组织了“安全教育”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；购买2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且总费用不超过1100元，求至少购买多少副乒乓球拍．
【解答】解：（1）设购买1副乒乓球拍需要x元，购买1副羽毛球拍需要y元，
由题意得：，
解之得：，
答：购买1副乒乓球拍需要30元，购买1副羽毛球拍需要50元；
（2）设购买a副乒乓球拍，则购买（30﹣a）副羽毛球拍，
由题意得：30a+50（30﹣a）≤1100，
∴30a+15﹣50a≤1100，
∴a≥20，
∵a取最小整数，
∴a＝20．
答：至少要购买20副乒乓球拍．
19．（8分）某单位准备购买一种水果，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该水果在两家超市的标价均为13元/千克．甲超市购买该水果的费用y（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；乙超市该水果在标价的基础上每千克直降3元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）现计划用290元购买该水果，选甲、乙哪家超市能购买该水果更多一些？
【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0），
把（5，65）代入解析式得：5k＝65，
解得k＝13，
∴y1＝13x；
当x＞5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠0），
把（5，65）和（10，110）代入解析式得，
解得，
∴y1＝9x+20，
综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1＝；
（2）在甲商店购买：9x+20＝290，
解得x＝30，
∴在甲商店290元可以购买30千克水果；
在乙商店购买：10x＝290，
解得x＝29，
∴在乙商店290元可以购买29千克，
∵30＞29，
∴在甲商店购买更多一些．
20．（8分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）连接OP，
∵D为AO的中点，PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分线，
∴PA＝PO＝45cm，
∵PC⊥BC，
∴∠PCO＝90°，
∵BC＝12cm，OB＝24cm，
∴OC＝OB+BC＝36（cm），
∴PC＝＝＝27（cm），
∴PC的长为27cm；
（2）过点D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，过点D作DF⊥PC，垂足为F，
由题意得：
DE＝CF，DF＝EC，DF∥EC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC＝60°，
∵D为AO的中点，
∴OD＝OA＝12（cm），
在Rt△DOE中，DE＝DO•sin60°＝12×＝6（cm），
OE＝DO•cs60°＝12×＝6（cm），
∴DE＝CF＝6cm，DF＝EC＝OE+OB+OC＝42（cm），
∵DF∥EC，
∴∠FDO＝∠DOE＝60°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠PDF＝∠PDO﹣∠FDO＝30°，
∴在Rt△PDF中，PF＝DF•tan30°＝42×＝14（cm），
∴PC＝PF+CF＝20≈34.6（cm），
∴PC的长约为34.6cm．
21．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
（1）求证：FD∥AB；
（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴AB∥DF；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝，AC＝2，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，
∵DF∥AB，
∴∠COH＝∠F，
∵∠CHO＝∠ODF＝90°，
∴△CHO∽△ODF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝．
22．（12分）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一；如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF＝ 45 °；
②线段EF，BE，DF之间的数量关系为 EF＝BE+DF ．
【深入探究】
操作二：如图2、将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①AP＝BE+DF；②∠BAE＝30°．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE或AF上时，请直接写出线段BE的长．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质可知，∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45．
故答案为：45．
②由折叠的性质可知，BE＝ME，DF＝MF，
∵EF＝ME+MF
∴EF＝BE+DF．
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）选择结论①．
结论①是正确的，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°．
由折叠的性质可知，BE＝ME，DF＝MF，∠AME＝∠B＝∠C＝∠ENF＝90°，
∴∠ANF＝∠AMF＝90°，
又∵∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE．
由（1）得∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形．
∴AN＝FN．
∴△ANP≌△FNE（ASA）．
∴AP＝EF．
∵EF＝EM+FM＝BE+DF，
∴AP＝BE+DF．
或选择结论②．
结论②是正确的，理由如下：
由折叠的性质可知，∠BAE＝∠MAE，∠CFE＝∠NFE，∠AFD＝∠AFM．
易得△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝∠AFN+∠NFE＝45°+∠NFE．
∵∠AFD+∠AFM+∠CFE＝180°，
∴2×（45°+∠NFE）+∠NFE＝180°．
∴∠NFE＝30°．
∵∠APN＝∠FPM，∠ANF＝∠AMF＝90°，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°．
∴∠BAE＝30°．
（3）分两种情况讨论：
①当点N落在折痕AE上时，如图3所示，
易得∠BAE＝30°，
∴．
②当点N落在折痕AF上时，如图4所示，
设BE＝ME＝x，则EN＝EC＝3﹣x．
易得△ANE是等腰直角三角形，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得，
解得或（舍去）．
∴．
综上所述，线段BE的长为或．
答：线段BE的长为或．
23．（12分）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），如果满足y1﹣x1＝y2﹣x2，那么称P、Q两点互为“等差点”．
（1）请判断在点A（2，﹣1）、B（1，4）、C（﹣2，﹣1）中，有哪些点与点D（﹣1，2）互为“等差点”？
（2）已知点E在直线y＝x﹣2上，点F在双曲线（k为常数，且k≠±1）上，且E、F两点互为“等差点”．请求出点F的坐标（用含k的代数式表示）；
（3）已知抛物线（a，b为常数且a≠0、b≠0）的顶点为G点，与x轴交于M、N两点，GM⊥GN，P、Q两点分别在抛物线和直线上，如果P、Q两点互为“等差点”，且P、Q两点的横坐标是一元二次方程的两根，求3a﹣b的值．
【解答】解：（1）A与D：﹣1﹣2≠2﹣（﹣1），
B与D：4﹣1＝2﹣（﹣1），
C与D：﹣1﹣（﹣2）≠2﹣（﹣1），
∴点B与点D互为“等差点”；
（2）∵点E在直线y＝x﹣2上，点F在双曲线，
∴令E（x1，x1﹣2），，
∵E、F两点互为“等差点”，
∴，
整理得：﹣2x2﹣k2+1＝0，
解得：x2＝1+k，x2＝1﹣k，
∴F的坐标为（1+k，k﹣1）或（1﹣k，﹣1﹣k）；
（3）∵抛物线的顶点为G点，与x轴交于M、N两点，
∴，
令y1＝0，则ax2+bx+2＝0，
解得：，，
∴，
由题意知GM＝GN，且GM⊥GN，
∴△GMN为等腰直角三角形，
∴，
∴，
化简得：b2＝8a+4①，
∵P、Q两点分别在抛物线和直线上，
∴令P（x1，+bx1+2），，
∵P，Q互为“等差点”，
∴，
即②，
又∵P，Q两点的横坐标是的两根，
∴，且，
代入②得：，
整理得：，
∴，
整理得：3b2﹣10b+6a+8＝0，
把①代入，得3（8a+4）﹣10b+6a+8＝0，
即30a﹣10b＝﹣20，
∴3a﹣b＝﹣2．第1次
第2次
第3次
第4次
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甲
9
4
7
4
6
乙
7
5
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a
7
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