内蒙古呼和浩特市英华学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题

这是一份内蒙古呼和浩特市英华学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题，共13页。

A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（0，1）D．（0，2）
2．（5分）下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x0∈R，lgx0＝1B．∃x0∈R，tanx0＝0
C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0
3．（5分）已知复数z＝为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+csx）′＝6x﹣sinx
B．（lnx﹣2x）′＝﹣2xln2
C．（2sin2x）′＝2cs2x
D．（）′＝
5．（5分）随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，4，5，且P（ξ＝k）＝ak，（k＝1，2，3，4，5），则a的值为（ ）
A．B．C．30D．15
6．（5分）已知的展开式中的常数项是672，则a＝（ ）
A．39B．29C．2D．1
7．（5分）某地市在2023年全市一模测试中，全市高三学生数学成绩X服从正态分布N（90，σ2），已知P（88＜X＜92）＝0.32，P（X＜85）＝m，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜m＜0.34B．m＝0.34
C．0.34＜m＜0.68D．m＝0.68
8．（5分）极坐标方程4ρ•cs2＝5表示的曲线是（ ）
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一支D．抛物线
9．（5分）5个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为（ ）
A．14B．35C．70D．100
10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则f（﹣3）的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
11．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示，则函数y＝f（x）的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为f（x）的导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则不等式（x+2）f（x+2）＞x2f（x2）的解集是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）
三、填空题，本题共4小题，每题5分，总计20分，请将正确答案写在答题纸上，按要求作答。
13．（5分）命题“∀x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定为 ．
14．（5分）若函数没有极值，则实数a的取值范围是 ．
15．（5分）在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是 ．
16．（5分）已知多项式，则a2+a4＝ ．
三、解答题，本题共6小题，第17小题10分，18-22小题每题12分，请在答题纸相应位置作答。
17．（10分）同济大学的入学面试中有4道难度相当的题目，王宁答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么
（1）求王宁第3次答题通过面试的概率；
（2）求王宁最终通过面试的概率．
18．（12分）李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：
（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05
19．（12分）已知函数f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1在x＝﹣1时取得极值．
（1）求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值与最小值．
21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和曲线C1的极坐标方程；
（2）曲线分别交直线l和曲线C1于点A，B，求的最大值及相应α的值．
22．（12分）函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+2ax，a∈R．
（1）当a＝0时，证明：f（x）+e≥0；
（2）若x＝1是f（x）的一个极大值点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题，本题共12小题，每题5分，总计60分，每题有且只有一个最符合题意的选项，请在答题纸上，按要求作答。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（0，1）D．（0，2）
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{y|y＞0}；
∴A∩B＝（0，2）．
故选：D．
2．（5分）下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x0∈R，lgx0＝1B．∃x0∈R，tanx0＝0
C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0
【解答】解：对于A，当x0＝10时，lg1＝1，故为真命题；
对于B，当x0＝0时，tan0＝0，故为真命题；
对于C，当x＝0时，03＝0，故为假命题；
对于D根据指数函数的性质可得，∀x∈R，2x＞0恒成立，故为真命题．
故选：C．
3．（5分）已知复数z＝为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：复数z＝﹣2i＝﹣2i＝﹣2i＝﹣i，
所以＝+i，
所以的虚部为．
故选：B．
4．（5分）下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+csx）′＝6x﹣sinx
B．（lnx﹣2x）′＝﹣2xln2
C．（2sin2x）′＝2cs2x
D．（）′＝
【解答】解：（3x2+csx）′＝6x﹣sinx，，（2sin2x）′＝4cs2x，．
故选：C．
5．（5分）随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，4，5，且P（ξ＝k）＝ak，（k＝1，2，3，4，5），则a的值为（ ）
A．B．C．30D．15
【解答】解：∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，4，5，
且P（ξ＝k）＝ak，（k＝1，2，3，4，5），
由离散型随机变量分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a＝1，
解得．
故选：B．
6．（5分）已知的展开式中的常数项是672，则a＝（ ）
A．39B．29C．2D．1
【解答】解：展开式的通项为，
令，得r＝6，
∴常数项是，故a＝2．
故选：C．
7．（5分）某地市在2023年全市一模测试中，全市高三学生数学成绩X服从正态分布N（90，σ2），已知P（88＜X＜92）＝0.32，P（X＜85）＝m，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜m＜0.34B．m＝0.34
C．0.34＜m＜0.68D．m＝0.68
【解答】解：因为X服从正态分布N（90，σ2），所以μ＝90，
已知P（88＜X＜92）＝0.32，且x＝88与x＝92关于x＝90对称，
P（X＜85）＝m＜P（X＜88）＝[1﹣P（88＜X＜92）]＝0.34，
所以0＜m＜0.34．
故选：A．
8．（5分）极坐标方程4ρ•cs2＝5表示的曲线是（ ）
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一支D．抛物线
【解答】解：极坐标方程4ρ•cs2＝5，化为2ρ（csθ+1）＝5，
即，
化为，
两边平方可得：4（x2+y2）＝25﹣20x+4x2，
化为，此方程表示抛物线．
故选：D．
9．（5分）5个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为（ ）
A．14B．35C．70D．100
【解答】解：由题意得，甲村庄恰有一名大学生，有5种分法，另外四名大学生分为两组，共有＝7种，
再分配到两个村庄，有＝14种不同的分法，
所以每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为5×14＝70种．
故选：C．
10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则f（﹣3）的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），
所以f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣f（1+2）＝﹣f（1﹣2）＝f（1），
又因为x∈[0，1]时，f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝f（1）＝1．
故选：C．
11．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示，则函数y＝f（x）的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由导函数图像可知原函数在（﹣∞，a）单调递减，（a，b）单调递增，（b，c）单调递减，（c，+∞）单调递增，
其中a＜0＜b＜c，
由图可知A，C选项f（x）先递增，故不满足题意，
其中B选项，f（x）的增区间为（a，b），（c，+∞），且a＜b＜0＜c，故不满足题意，
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为f（x）的导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则不等式（x+2）f（x+2）＞x2f（x2）的解集是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）
【解答】解：根据题意，构造函数g（x）＝xf（x），
则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，
所以函数g（x）在R上单调递增，
又（x+2）f（x+2）＞x2f（x2），即g（x+2）＞g（x2），
所以x+2＞x2，即x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2．
故选：D．
三、填空题，本题共4小题，每题5分，总计20分，请将正确答案写在答题纸上，按要求作答。
13．（5分）命题“∀x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定为 ∃x＞0，x2+x﹣1≤0 ．
【解答】解：命题“∀x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定为∃x＞0，x2+x﹣1≤0，
故答案为：∃x＞0，x2+x﹣1≤0．
14．（5分）若函数没有极值，则实数a的取值范围是 [0，2] ．
【解答】解：f′（x）＝x2+2（a﹣1）x+1，
因为没有极值，f′（x）≥0，
所以Δ＝4（a﹣1）2﹣4≤0，
解得0≤a≤2．
故答案为：[0，2]．
15．（5分）在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是 ．
【解答】解：设每次射击击中目标的概率为p，
则三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率1﹣（1﹣p）3＝，
解得p＝．
故答案为：．
16．（5分）已知多项式，则a2+a4＝ ﹣6 ．
【解答】解：令x＝1，则﹣（1+1）4＝a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣16，
令x＝﹣1，则0＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，
两式相加，可得，
令x＝0，则a0＝﹣2，所以a2+a4＝﹣6．
故答案为：﹣6．
三、解答题，本题共6小题，第17小题10分，18-22小题每题12分，请在答题纸相应位置作答。
17．（10分）同济大学的入学面试中有4道难度相当的题目，王宁答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么
（1）求王宁第3次答题通过面试的概率；
（2）求王宁最终通过面试的概率．
【解答】解：（1）因为P（Y）＝0.6，所以P（N）＝1﹣0.6＝0.4，
于是王宁第三次通过面试的概率为P（NNY）＝0.4×0.4×0.6＝0.096；
（2）王宁未通过面试的概率为P（NNNN）＝0.4×0.4×0.4×0.4＝0.0256，
所以王宁最终通过面试的概率为1﹣P（NNNN）＝1﹣0.0256＝0.9744．
18．（12分）李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：
（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：
（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05
【解答】解：（1）根据茎叶图可知，这40个通勤记录的中位数是，故M＝43，
2×2列联表：
（2）根据题意，由，则，
故上下班的通勤时间没有显著差异．
19．（12分）已知函数f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵，
∴﹣1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）；
（2）函数f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
∵f（﹣x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝﹣f（x）．
∴f（x）为奇函数
（3）∵f（x）＞0，
∴，求解得出：0＜x＜1
故x的取值范围：（0，1）．
20．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1在x＝﹣1时取得极值．
（1）求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）已知f（x）＝x3+ax2+x+1，函数定义域为R，
可得f'（x）＝3x2+2ax+1，
因为f（x）在x＝﹣1处取得极值，
所以f'（﹣1）＝3﹣2a+1＝0，
解得a＝2，
当a＝2时，f'（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
此时函数f（x）在x＝﹣1时取得极值，
所以a＝2，
此时f′（0）＝1，
又f（0）＝1，
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝x﹣0，
即x﹣y+1＝0；
（2）由（1）知f（x）＝x3+2x2+x+1，
当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当﹣＜x≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）极大值＝f（﹣1）＝1，f（x）极小值＝f（﹣）＝，
又f（0）＝1，f（﹣2）＝﹣8+8﹣2+1＝﹣1，
所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值为1，最小值为﹣1．
21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和曲线C1的极坐标方程；
（2）曲线分别交直线l和曲线C1于点A，B，求的最大值及相应α的值．
【解答】解：（1）由（t为参数），得y﹣4＝﹣x，∴直线l的普通方程为x+y﹣4＝0，
∴直线l的极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ﹣4＝0，
∵曲线C1的普通方程为x2+y2＝2y，∴由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
得C1的参数方程为ρ＝2sinθ．
（2）直线l的极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ﹣4＝0，
令θ＝a，则|OA|＝，又|OB|＝2sinα，
∴
＝
＝，
∵，∴，
∴当，即时，取得最大值．
22．（12分）函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+2ax，a∈R．
（1）当a＝0时，证明：f（x）+e≥0；
（2）若x＝1是f（x）的一个极大值点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝0时f（x）＝（x﹣2）ex，则f′（x）＝（x﹣1）ex，
所以当x＞1时f′（x）＞0，当x＜1时f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，1），
所以f（x）在x＝1处取得极小值即最小值，即f（x）min＝f（1）＝﹣e，
所以f（x）+e≥0恒成立．
（2）函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+2ax定义域为R，且f′（x）＝（x﹣1）ex﹣2ax+2a＝（x﹣1）（ex﹣2a），
当2a≤0，即a≤0时ex﹣2a＞0恒成立，
当x＞1时f′（x）＞0，当x＜1时f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，1），
所以f（x）在x＝1处取得极小值，即x＝1是f（x）的一个极小值点，不符合题意；
当2a＝e，即时f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当0＜2a＜e，即时，
令f′（x）＞0，解得x＜ln2a或x＞1，令f′（x）＜0，解得ln2a＜x＜1，
所以f（x）在（﹣∞，ln2a），（1，+∞）上单调递增，在（ln2a，1）上单调递减，
所以f（x）在x＝1处取得极小值，即x＝1是f（x）的一个极小值点，不符合题意；
当2a＞e，即时，
令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞ln2a，令f′（x）＜0，解得1＜x＜ln2a，
所以f（x）在（﹣∞，1），（ln2a，+∞）上单调递增，在（1，ln2a）上单调递减，
所以f（x）在x＝1处取得极大值，即x＝1是f（x）的一个极大值点，符合题意；
综上可得实数a的取值范围为．超过M
不超过M
上班时间
下班时间
超过M
不超过M
上班时间
下班时间
超过M
不超过M
上班时间
8
12
下班时间
7
13