新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第18讲y=Asin(ωx+φ)练习(学生版+解析)

这是一份新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第18讲y=Asin(ωx+φ)练习(学生版+解析)，共31页。

了解的实际意义，能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
【基础知识】
一、参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2.ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
二、由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径
由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“eq \(□,\s\up4(01))先平移后伸缩”与“eq \(□,\s\up4(02))先伸缩后平移”．
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
三、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
【考点剖析】
考点一：左右平移变换
例1．(2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中)将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则( )
A．B．C．0D．
考点二：沿x轴方向的伸缩变换
例2．(2022学年浙江省温州市高一上学期期期末)已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式是( )
A．B．
C．D．
考点三：沿y轴方向的伸缩变换
例3． (2020-2021学年河北省石家庄市第二中学高一下学期3月教学衔接测量)将函数的图象向左平移个单位长度，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是( )
A．函数的最小正周期为
B．函数的单调递减区间为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数图象的一个对称中心为点
考点四： y=Asin(ωx＋φ)的性质
例4．(2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末)设函数，则下列结论不正确的是( )
A．函数的值域是；
B．点是函数的图像的一个对称中心；
C．直线是函数的图像的一条对称轴；
D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数．
考点五：三角变换与三角函数性质的交汇
例5. (2022学年陕西省西安市长安区高一上学期期末)已知函数，则下列说法正确的有________.
①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
②在上单调递增
③在内有2个零点
④在上的最大值为
考点六：由图象确定函数解析式
例6．(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是( )
A．
B．
C．
D．
【真题演练】
1．(2022学年河南省驻马店市高一下学期期中)要得到函数的图像，只需将的图像( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2. (2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小
正周期为( )
( )
A．B．C．D．
3.(2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)关于函数有如下四个命题：
甲：该函数在上单调递减；
乙：该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为
丁：该函数图象的一个对称中心为．
如果只有一个假命题．则该命题是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
4.(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
5.(多选)(2022学年山东省临沂第一中学高一下学期6月月考)已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是( )
A．的图象关于直线对称
B．在上单调递减
C．的图象的一个对称中心是
D．将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
6.(多选)(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A．
B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数
C．函数的图像关于直线对称
D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
7. (2022学年吉林省长春市长春吉大附中实验学校高一下学期期中)已知函数的部分图象如图所示，则的值为______．
8. (2022学年山东省淄博市高一下学期期中)已知的最小正周期为，图像关于直线对称.
(1)求函数的解析式；
(2)将的图像上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求的单调递增区间．
【过关检测】
1. (2022学年青海省海南藏族自治州高级中学高一上学期期末)简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为( )
A．B．C．D．
2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
3.(2022学年北京市第三十五中学高一下学期期中)已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为( )
A．B．
C．D．
4.(2022学年重庆市西南大学附属中学校高一下学期期中)已知函数，下列结论错误的是( )
A．的值域为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．的图象可由函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到
5.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高台县第一中学高一下学期4月月考)要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标( )
A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
6. (多选)(2022学年贵州省六枝特区高一下学期期中)函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是( )
A．
B．函数的单调递减区间为，
C．函数在区间上单调递增
D．直线是函数的一条对称轴
7.(2022学年山东省济宁市泗水县高一下学期期中)关于函数，下列命题中是真命题的为( )
A．为偶函数
B．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度
C．的图象关于直线对称
D．在内的增区间为和
8.(2022学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期中)将函数()图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是 的图象的一条对称轴，则_________.
9．(2022学年浙江省衢州市高一下学期6月教学质量检测)已知函数
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于x的方程在上有两个不同的解.
①求实数m的取值范围；
②证明：.
10．(2022学年江苏省镇江第一中学高一下学期6月月考)已知函数．
(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；
(2)写出函数在上的单调递减区间；
(3)将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．
第18讲 y=Asin(ωx+φ)三角恒等变换
【学习目标】
了解的实际意义，能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
【基础知识】
一、参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2.ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
二、由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径
由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“eq \(□,\s\up4(01))先平移后伸缩”与“eq \(□,\s\up4(02))先伸缩后平移”．
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
三、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
【考点剖析】
考点一：左右平移变换
例1．(2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中)将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则( )
A．B．C．0D．
答案:B
解析：由题得，所以．
故选B
考点二：沿x轴方向的伸缩变换
例2．(2022学年浙江省温州市高一上学期期期末)已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式是( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：由题意知，将函数图象向左平移个单位，得，
再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得，故选A
考点三：沿y轴方向的伸缩变换
例3． (2020-2021学年河北省石家庄市第二中学高一下学期3月教学衔接测量)将函数的图象向左平移个单位长度，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是( )
A．函数的最小正周期为
B．函数的单调递减区间为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数图象的一个对称中心为点
答案:D
解析：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得，
再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，
则的最小正周期，故A正确，
由，得，，
即函数的单调递减区间为，故B正确，
是最大值，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确，D错误.故选D．
考点四： y=Asin(ωx＋φ)的性质
例4．(2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末)设函数，则下列结论不正确的是( )
A．函数的值域是；
B．点是函数的图像的一个对称中心；
C．直线是函数的图像的一条对称轴；
D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数．
答案:B
解析：因为，，
所以，即函数的值域是，故A正确；
因为，所以函数关于对称，故B错误；
因为，所以函数关于直线对称，故C正确；
将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；
故选B
考点五：三角变换与三角函数性质的交汇
例5. (2022学年陕西省西安市长安区高一上学期期末)已知函数，则下列说法正确的有________.
①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
②在上单调递增
③在内有2个零点
④在上的最大值为
答案:②③
解析：由函数，
对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，所以①不正确；
对于②中，令，解得，
当时，可得，即函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以②正确；
对于③中，令，可得，解得，
当时，可得；当时，可得，
所以在内有2个零点，所以③正确；
对于④中，由，可得，
当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.
故答案为②③.
考点六：由图象确定函数解析式
例6．(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是( )
A．
B．
C．
D．
答案:C
解析：由图可知；设周期为，则，所以；
又，所以.
由，，令，得.
所以；
因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，
所以.故选C.
【真题演练】
1．(2022学年河南省驻马店市高一下学期期中)要得到函数的图像，只需将的图像( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
答案:B
解析：将的图像向右平移个单位长度可得.
故选B.
2. (2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小
正周期为( )
( )
A．B．C．D．
答案:C
解析：由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：
所以函数的最小正周期为，故选C
3.(2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)关于函数有如下四个命题：
甲：该函数在上单调递减；
乙：该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为
丁：该函数图象的一个对称中心为．
如果只有一个假命题．则该命题是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
答案:C
解析：设，若丙丁都正确，则且，
但，故矛盾，所以丙丁中有一个是错误的，故甲乙都正确，
函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为：
，因为平移后的图象对应的函数为偶函数，故，
故，若为偶数，则，
当，，因为在为减函数，故在为减函数，符合，若为奇数，则，
当，，
因为在为减函数，故在为增函数，舍，
故.
而，故该函数图象的对称中心为，丙错误，
，故该函数图象的对称中心为，丁正确.
故选C
4.(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
答案:2
解析：由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以．因为，；
所以由可得或；因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2．
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．
5.(多选)(2022学年山东省临沂第一中学高一下学期6月月考)已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是( )
A．的图象关于直线对称
B．在上单调递减
C．的图象的一个对称中心是
D．将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
答案:AC
解析：由题意可得，所以，所以.
对于A，由于，可知A正确；
对于B，当，，，函数先增后减，故B错误；
对于C，令，求得，故函数的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，把的图象向右平移个单位可得的图象，故D不正确.
故选AC.
6.(多选)(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A．
B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数
C．函数的图像关于直线对称
D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
答案:AC
解析：对A，由图，，则，故，
所以，又，即，
所以，即，
因为，故，所以，故A正确；
对B，把函数的图像向左平移个单位可得为奇函数，
故B错误；
对C，当时，为的对称轴，故C正确；
对D，把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，
得到，
当时，不为的增区间，故D错误；
故选AC
7. (2022学年吉林省长春市长春吉大附中实验学校高一下学期期中)已知函数的部分图象如图所示，则的值为______．
答案:
解析：由图象可知：，最小正周期，因为，所以，解得：，
将，即代入解析式得：，解得：，
因为，所以
8. (2022学年山东省淄博市高一下学期期中)已知的最小正周期为，图像关于直线对称.
(1)求函数的解析式；
(2)将的图像上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求的单调递增区间．
解析： (1)因为的最小正周期为，
所以；
因为图像关于直线对称，所以，
即，
因为，所以；
所以.
(2)由题意得；
，，即，；
所以的单调递增区间为.
【过关检测】
1. (2022学年青海省海南藏族自治州高级中学高一上学期期末)简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为( )
A．B．C．D．
答案:B
解析：由初相定义可知，当时的相位称为初相，所以，函数的初相为.故选B
2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
答案:D
解析：函数；
将函数的图象向左平移个单位长度得到
，故选D．
3.(2022学年北京市第三十五中学高一下学期期中)已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为( )
A．B．
C．D．
答案:A
解析：由图象可知：，所以，解得：，将点代入解析式得：，
所以，因为，所以，此时，故选A
4.(2022学年重庆市西南大学附属中学校高一下学期期中)已知函数，下列结论错误的是( )
A．的值域为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．的图象可由函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到
答案:C
解析：A：因为，所以，
即的值域为，故A正确；
B：当时，为最小值，
故函数的图象关于对称，故B正确；
C：若函数的图象关于对称，由，
得其一条对称轴为，当时，，不是最值，
所以不是函数的对称轴，即函数不关于对称，故C错误；
D：将函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到
，故D正确.故选C
5.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高台县第一中学高一下学期4月月考)要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标( )
A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
答案:BC
解析：函数的图象向左平移个长度单位，得，
再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得；
函数图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得，
再向左平移个长度单位，得，即.故选BC
6. (多选)(2022学年贵州省六枝特区高一下学期期中)函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是( )
A．
B．函数的单调递减区间为，
C．函数在区间上单调递增
D．直线是函数的一条对称轴
答案:BC
解析：根据图形可得：，则，∴
图像过点，即
∵，则或
当时，不是最大值，不合题意
当时，，符合题意，则，A错误；
，
，则
∴函数的单调递减区间为，，B正确；
∵，则
∴函数在区间上单调递增，C正确；
不是最值，D错误；故选BC．
7.(2022学年山东省济宁市泗水县高一下学期期中)关于函数，下列命题中是真命题的为( )
A．为偶函数
B．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度
C．的图象关于直线对称
D．在内的增区间为和
答案:BC
解析：对于A选项，，
所以，函数为非奇非偶函数，A错；
对于B选项，因为，
所以，要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度，B对；
对于C选项，因为，
所以，的图象关于直线对称，C对；
对于D选项，由，解得，
记，，
所以，函数在内的增区间为、和，D错.故选BC.
8.(2022学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期中)将函数()图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是 的图象的一条对称轴，则_________.
答案:
解析：，因为是 的图象的一条对称轴，
所以，，
解得：，
因为，所以时，符合要求，
所以.
9．(2022学年浙江省衢州市高一下学期6月教学质量检测)已知函数
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于x的方程在上有两个不同的解.
①求实数m的取值范围；
②证明：.
解析：(1)
∴函数的最小正周期
又∵，即
函数的单调递增区间
(2)①由题意可得且方程在上有两个不同的解
∵，则
∴
结合正弦函数可得
②结合正弦函数对称性可得且
即，
∴
10．(2022学年江苏省镇江第一中学高一下学期6月月考)已知函数．
(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；
(2)写出函数在上的单调递减区间；
(3)将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．
解析： (1)解：因为，
列表如下：
函数图象如下：
函数的最小正周期．
(2)解：令，
解得，
所以函数的单调递减区间为
(3)解：将图像上所有的点向右平移个单位长度得到，
再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，
因为，所以，所以，所以，
当，即时，当，即时
0
0
2
0
0