七年级数学暑期精品讲义第3讲.有理数的乘除运算-提高班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第3讲.有理数的乘除运算-提高班(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1有理数的乘法
有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：
几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
【例题精选】
例1 (2023秋•九江期末）计算：（﹣+﹣）×|﹣24|
例2(2023秋•阳新县期末）我们学习过有理数乘法法则，照样子在横线上填空，例如：
（﹣5）×（﹣3），…同号两数相乘
（﹣5）×（﹣3）＝+（ 5×3 ）…得正
5×3＝15，…把绝对值相乘
所以（﹣5）×（﹣3）＝15．
（﹣7）×4，…… 异号两数相乘
（﹣7）×4＝﹣（ 7×4 ）… 得负
7×4＝28，… 把绝对值相乘
所以（﹣7）×4＝﹣28．
【随堂练习】
1．(2023秋•海港区期末）计算：＝________．
2．(2023春•碑林区校级月考）计算：（﹣3）×（﹣）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣9D．9
2.倒数
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．
互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
没有倒数．
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
非零整数可以看作分母为的分数；
带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
【例题精选】
例1(2023•平邑县一模）﹣|﹣3|的倒数是（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
例2(2023•常州一模）下列各数中，互为倒数的是（ ）
A．﹣3与3B．﹣3与C．﹣3与D．﹣3与|﹣3|
【随堂练习】
1．(2023秋•沧州期末）是﹣2的（ ）
A．相反数B．绝对值C．倒数D．以上都不对
2．(2023•三台县一模）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．2和B．3和C．|﹣3|和﹣D．﹣4和4
3．(2023春•黄岛区期中）的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2B．C．2D．
4．(2023秋•呼兰区期中）下面各组数中互为倒数的是（ ）
A．0.5和2B．和C．和D．1和
3有理数的除法
有理数的除法
有理数除法法则：
除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．
，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
分数：分数可以理解为分子除以分母．
有理数的乘除混合运算
先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．
【例题精选】
例1(2023秋•南岗区期中）若甲数与乙数的比是2：3．丙数与甲数的比是15：8，则乙数与丙数的比是（ ）
A．4：5B．5：4C．8：5D．5：8
【随堂练习】
1．(2023秋•呼兰区期中）一个数的是12，这个数是（ ）
A．B．C．44D．
2．(2023秋•香坊区校级月考）一个数的是12，这个数的是（ ）
A．B．4C．5D．
3．(2023秋•呼兰区期中）某班级女生人数是男生人数的，该班级女生人数与全班人数的比是（ ）
A．4：5B．5：4C．5：9D．4：9
4.加减乘除混合运算
【例题精选】
例1(2023秋•惠东县校级月考）
例2(2023春•杨浦区期中）计算：﹣45×2÷（﹣4）×
【随堂练习】
1．(2023秋•南昌期中）|﹣5|÷（﹣1）×0.8×（2）
2．(2023秋•嘉定区期中）
综合练习
一．选择题
1．3x﹣12的值与互为倒数，则x的值为（ ）
A．3B．﹣3C．5D．﹣5
2．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（ ）
A．B．49！C．2450D．2！
3．对于有理数a、b，如果ab＜0，a+b＜0．则下列各式成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0且|b|＜a
C．a＜0，b＞0且|a|＜bD．a＞0，b＜0且|b|＞a
二．填空题
1．计算﹣4÷×（﹣2）＝ ．
2．已知|x|＝3，|y|＝．且xy＜0，则的值等于 ．
三．解答题
1．计算：
2．计算：（）×24．
3．计算：
4．计算：
（+﹣）×（﹣48）
第3讲 有理数的乘除
1有理数的乘法
有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：
几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
有理数乘法运算律：
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
【例题精选】
例1 (2023秋•九江期末）计算：（﹣+﹣）×|﹣24|
分析：先计算绝对值，再根据乘法算式的特点，可以用括号内的每一项与24相乘，计算出结果．
【解答】解：原式＝（﹣+﹣）×24
＝﹣12+16﹣6
＝﹣2．
【点评】本题考查了绝对值和有理数的乘法．在进行有理数的乘法运算时，要灵活运用运算律．
例2(2023秋•阳新县期末）我们学习过有理数乘法法则，照样子在横线上填空，例如：
（﹣5）×（﹣3），…同号两数相乘
（﹣5）×（﹣3）＝+（ 5×3 ）…得正
5×3＝15，…把绝对值相乘
所以（﹣5）×（﹣3）＝15．
（﹣7）×4，…… 异号两数相乘
（﹣7）×4＝﹣（ 7×4 ）… 得负
7×4＝28，… 把绝对值相乘
所以（﹣7）×4＝﹣28．
分析：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
【解答】解：（﹣5）×（﹣3），…同号两数相乘
（﹣5）×（﹣3）＝+（5×3）…得正
5×3＝15，…把绝对值相乘
所以（﹣5）×（﹣3）＝15．
（﹣7）×4，……异号两数相乘
（﹣7）×4＝﹣（7×4）…得负
7×4＝28，…把绝对值相乘
所以（﹣7）×4＝﹣28．
故答案为：5×3；异号两数相乘；7×4；得负；把绝对值相乘．
【点评】此题主要考查了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握运算法则．
【随堂练习】
1．(2023秋•海港区期末）计算：＝________．
【解答】解：
＝（100﹣）×2020
＝100×2020﹣×2020
＝202000﹣1
＝201999．
故答案为：201999．
2．(2023春•碑林区校级月考）计算：（﹣3）×（﹣）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣9D．9
【解答】解：（﹣3）×（﹣）＝1；
故选：B．
2.倒数
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．
互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
没有倒数．
求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
非零整数可以看作分母为的分数；
带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
【例题精选】
例1(2023•平邑县一模）﹣|﹣3|的倒数是（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
分析：根据负数的绝对值是它的相反数，可得绝对值表示的数，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，
﹣|﹣3|的倒数是﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，先求出绝对值，再求出倒数．
例2(2023•常州一模）下列各数中，互为倒数的是（ ）
A．﹣3与3B．﹣3与C．﹣3与D．﹣3与|﹣3|
分析：根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：A、﹣3与3互为相反数，不是互为倒数关系，故本选项错误；
B、﹣3与﹣互为相反数，故本选项错误；
C、﹣3与﹣互为相反数，故本选项正确；
D、|﹣3|＝3，﹣3与3互为相反数，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了倒数，掌握倒数的定义是本题的关键，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【随堂练习】
1．(2023秋•沧州期末）是﹣2的（ ）
A．相反数B．绝对值C．倒数D．以上都不对
【解答】解：是﹣2的倒数的相反数，
故选：D．
2．(2023•三台县一模）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．2和B．3和C．|﹣3|和﹣D．﹣4和4
【解答】解：A、2和不是倒数关系，故此选项错误；
B、3和是倒数关系，故此选项正确；
C、|﹣3|＝3，3和﹣不是倒数关系，故此选项错误；
D、﹣4和4不是倒数关系，故此选项错误；
故选：B．
3．(2023春•黄岛区期中）的倒数的绝对值是（ ）
A．﹣2B．C．2D．
【解答】解：﹣的倒数是﹣2，﹣2的绝对值是2，
所以﹣的倒数的绝对值是2，
故选：C．
4．(2023秋•呼兰区期中）下面各组数中互为倒数的是（ ）
A．0.5和2B．和C．和D．1和
【解答】解：A、∵0.5×2＝1，
∴0.5和2互为倒数，符合题意；
B、∵×≠1，
∴和不是倒数，不合题意；
C、∵×≠1，
∴和不是倒数，不合题意；
D、∵1×≠1，
∴1和，不是倒数，不合题意；
故选：A．
3有理数的除法
有理数的除法
有理数除法法则：
除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．
，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
分数：分数可以理解为分子除以分母．
有理数的乘除混合运算
先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．
【例题精选】
例1(2023秋•南岗区期中）若甲数与乙数的比是2：3．丙数与甲数的比是15：8，则乙数与丙数的比是（ ）
A．4：5B．5：4C．8：5D．5：8
分析：根据甲数与乙数的比是2：3．丙数与甲数的比是15：8，先得到2和8的最小公倍数，根据比的基本性质变形有甲数与乙数的比2：3＝8：12，依此可得乙数与丙数的比．
【解答】解：∵甲数与乙数的比是2：3，丙数与甲数的比是15：8，
∴甲数与乙数的比是8：12，
∴乙数与丙数的比是12：15＝4：5．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的除法，关键是熟悉比的基本性质．
【随堂练习】
1．(2023秋•呼兰区期中）一个数的是12，这个数是（ ）
A．B．C．44D．
【解答】解：∵一个数的是12，
∴这个数是：12×＝44．
故选：C．
2．(2023秋•香坊区校级月考）一个数的是12，这个数的是（ ）
A．B．4C．5D．
【解答】解：一个数的是12，这个数的＝，
故选：B．
3．(2023秋•呼兰区期中）某班级女生人数是男生人数的，该班级女生人数与全班人数的比是（ ）
A．4：5B．5：4C．5：9D．4：9
【解答】解：：（1+）＝：＝4：9．
即该班级女生人数与全班人数的比是4：9．
故选：D．
4.加减乘除混合运算
【例题精选】
例1(2023秋•惠东县校级月考）
分析：根据有理数的乘除运算解答即可．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】此题考查有理数的乘除，关键是根据有理数的乘除运算解答．
例2(2023春•杨浦区期中）计算：﹣45×2÷（﹣4）×
分析：根据有理数的除法法则，除以一个数，等于乘这个数的倒数，再把分子、分母分别约分即可．
【解答】解：原式＝．
【点评】本题主要考查了有理数的乘除法，熟练掌握法则是解答本题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•南昌期中）|﹣5|÷（﹣1）×0.8×（2）
分析：根据有理数的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：|﹣5|÷（﹣1）×0.8×（2）
＝
＝﹣7．
【点评】本题主要考查了有理数的乘除法，熟记有理数的乘除法法则是解答本题的关键．
2．(2023秋•嘉定区期中）
分析：根据有理数的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝．
【点评】本题主要考查了有理数的乘除法，熟记法则是解答本题的关键．注意：除以一个数，等于乘以这个数的倒数．
综合练习
一．选择题
1．3x﹣12的值与互为倒数，则x的值为（ ）
A．3B．﹣3C．5D．﹣5
【解答】解：∵代数式3x﹣12的值与﹣互为倒数，
∴（3x﹣12）×（﹣）＝1，即﹣x+4＝1，
解得，x＝3．
故选：A．
2．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（ ）
A．B．49！C．2450D．2！
【解答】解：＝＝50×49＝2450
故选：C．
3．对于有理数a、b，如果ab＜0，a+b＜0．则下列各式成立的是（ ）
A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0且|b|＜a
C．a＜0，b＞0且|a|＜bD．a＞0，b＜0且|b|＞a
【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b异号．
∵a+b＜0，
∴a、b同负或异号，且负数的绝对值较大．
综上所述，知a、b异号，且负数的绝对值较大．
故选：D．
二．填空题
1．计算﹣4÷×（﹣2）＝ 32 ．
【解答】解：原式＝﹣16×（﹣2）＝32，
故答案为：32．
2．已知|x|＝3，|y|＝．且xy＜0，则的值等于 ﹣15 ．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝．且xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣或x＝﹣3，y＝，
所以，
故答案为：﹣15
三．解答题
1．计算：
【解答】解：原式＝××＝．
2．计算：（）×24．
【解答】解：原式＝×24+×24﹣×24
＝3+16﹣18
＝19﹣18
＝1．
3．计算：
【解答】解：（1）原式＝8﹣6+20＝22；
4．计算：
（+﹣）×（﹣48）
【解答】解：（1）（+﹣）×（﹣48）
＝×（﹣48）+×（﹣48）﹣×（﹣48）
＝﹣40﹣42+46
＝﹣36；