七年级数学暑期精品讲义第4讲.有理数的乘方-基础班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第4讲.有理数的乘方-基础班(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1.有理数的乘方
有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；
当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
幂的正负规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
正数的任何次幂都是正数；
0的任何正整数次幂都是0．
【例题精选】
例1(2023秋•昌图县期末）（﹣2）3表示（ ）
A．2乘以﹣3B．2个﹣3相加C．3个﹣2相加D．3个﹣2相乘
例2(2023秋•兴安盟期末）把（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）写成幂的形式（不用计算）为_______________.
【随堂练习】
1．(2023秋•南海区期末）在（）4中，底数是_______．
2．(2023•金华模拟）﹣32的结果等于（ ）
A．9B．﹣9C．﹣1D．﹣6
3．(2023•龙岗区二模）（﹣1）2020等于（ ）
A．1B．﹣2020C．2020D．﹣1
4．(2023秋•封开县期末）计算（﹣4）2等于（ ）
A．﹣4B．8C．﹣16D．16
2.有理数的加减乘除乘方混合运算
【例题精选】
例1(2023秋•东莞市期末）计算：（﹣1）2018÷2（﹣）3×16﹣|﹣2|
例2(2023春•南岗区校级期中）计算：
（1）；
（2）﹣22﹣（﹣8）÷（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣4）．
【随堂练习】
1．(2023秋•成华区期末）计算：
（1）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）+（﹣1）2020；
（2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．
2．(2023秋•金凤区校级期末）计算：
（1）﹣14+16÷（﹣2）3×（﹣3﹣1）
（2）（﹣+）×（﹣36）
（3）
3.科学记数法
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿
【例题精选】
例1(2023•揭西县模拟）截至2020年4月23日，全球新型冠状病毒肺炎累计确诊人数超过2550000人，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．2.55×106B．25.5×105C．2.55×107D．0.255×107
例2(2023•徐州二模）国家统计局数据：截至2019年底，中国大陆总人口为1400 000 000．将1400 000 000用科学记数法表示是（ ）
A．14×108B．14×109C．1.4×108D．1.4×109
【随堂练习】
1．(2023•定海区模拟）2020年新冠病毒我国感染人数约84300人，将数据84300用科学记数法表示正确的是（ ）
A．843×102B．8.43×104C．84.3×103D．8.43×105
2．(2023•潮南区模拟）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，该工程总投资额为1269亿元，将1269亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.269×1011B．12.69×1010
C．1.269×1012D．0.1269×1013
3．(2023春•香坊区校级期中）去年我国邮票发行量为12500000枚，用科学记数法表示12500000是___________．
4.近似数和有效数字
准确数：表示实际数量的数．
近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近．
精确度：表示近似数与准确数的接近程度．
精确度的类型：
纯数字类
按四舍五入法对圆周率取近似数时
（精确到个位）
（精确到十分位，或叫精确到）
（精确到百分位，或叫精确到）
（精确到千分位，或叫精确到）
带单位类
近似数万（精确到千位）
科学记数法类
近似数（精确到百位）
【例题精选】
例1．(2023秋•张店区期末）按括号内的要求用四舍五入法取近似数，其中正确的是（ ）
A．103.57≈103.6 （精确到个位）
B．2.708≈2.71 （精确到十分位）
C．0.054≈0.1 （精确到0.1）
D．0.0136≈0.014 （精确到0.0001 ）
例2(2023秋•沙河市期末）用四舍五入法按要求对0.64247分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．精确到千分位得到0.643
B．精确到百分位得到0.64
C．精确到0.1得到0.6
D．精确到0.0001得到0.6425
【随堂练习】
1．(2023秋•邢台期末）将34.945取近似数精确到十分位，正确的是（ ）
A．34.9B．35.0C．35D．35.05
2．(2023秋•庐阳区期末）由四舍五入得到的近似数3.50万，精确到（ ）
A．十分位B．百位C．十位D．百分位
3．(2023秋•呼伦贝尔期末）3.14159精确到千分位为（ ）
A．3.1B．3.14C．3.142D．3.141
4．(2023秋•宿豫区期末）用四舍五入法，对3.5952取近似值，精确到0.01，结果为_______．
综合练习
一．选择题
1．若a＝﹣0.1，则a，从小到大的顺序是（ ）
A．B．C．D．
2．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900000吨，数657900000用科学记数法表示为（ ）
A．6.579×107B．6.579×108C．6.579×109D．6.579×1010
3．近似数5.10精确到（ ）
A．个位B．十分位C．百分位D．十位
三．解答题
1．计算：
（1）1÷（﹣）2﹣|﹣|×（﹣2）3×（﹣1）
（2）﹣12016+[×（﹣+）×（﹣12）+16]
2．计算：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
3．计算：
﹣24﹣（﹣2）3÷
4．计算：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
第4讲 有理数的乘方
1.有理数的乘方
有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；
当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
幂的正负规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
正数的任何次幂都是正数；
0的任何正整数次幂都是0．
【例题精选】
例1(2023秋•昌图县期末）（﹣2）3表示（ ）
A．2乘以﹣3B．2个﹣3相加C．3个﹣2相加D．3个﹣2相乘
分析：根据乘方的定义求解可得．
【解答】解：（﹣2）3表示3个﹣2相乘，
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
例2(2023秋•兴安盟期末）把（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）写成幂的形式（不用计算）为_______________.
分析：求n个相同因数积的运算，叫做乘方，据此把（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）写成幂的形式即可．
【解答】解：把（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）写成幂的形式（不用计算）为（﹣）5．
故答案为：（﹣）5．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，以及有理数的乘法的运算方法，要熟练掌握．
【随堂练习】
1．(2023秋•南海区期末）在（）4中，底数是_______．
【解答】解：在（﹣）4中，底数为﹣．
故答案为：﹣．
2．(2023•金华模拟）﹣32的结果等于（ ）
A．9B．﹣9C．﹣1D．﹣6
【解答】解：原式＝﹣3×3＝﹣9，
故选：B．
3．(2023•龙岗区二模）（﹣1）2020等于（ ）
A．1B．﹣2020C．2020D．﹣1
【解答】解：（﹣1）2020＝1，
故选：A．
4．(2023秋•封开县期末）计算（﹣4）2等于（ ）
A．﹣4B．8C．﹣16D．16
【解答】解：（﹣4）2＝（﹣4）×（﹣4）＝16，
故选：D．
2.有理数的加减乘除乘方混合运算
【例题精选】
例1(2023秋•东莞市期末）计算：（﹣1）2018÷2（﹣）3×16﹣|﹣2|
分析：先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加法运算．
【解答】解：原式＝1÷（﹣）×64﹣2
＝﹣4×64﹣2
＝﹣256﹣2
＝﹣258．
【点评】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
例2(2023春•南岗区校级期中）计算：
（1）；
（2）﹣22﹣（﹣8）÷（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣4）．
分析：（1）根据除法法则计算即可求解；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
【解答】解：（1）＝25；
（2）﹣22﹣（﹣8）÷（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣4）
＝﹣4﹣（﹣8）÷（﹣8）﹣8
＝﹣4+1﹣8
＝﹣11．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【随堂练习】
1．(2023秋•成华区期末）计算：
（1）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）+（﹣1）2020；
（2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．
【解答】解：（1）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）+（﹣1）2020
＝16÷（﹣8）﹣+1
＝﹣2﹣+1
＝﹣；
（2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]
＝﹣1﹣×（2﹣9）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝．
2．(2023秋•金凤区校级期末）计算：
（1）﹣14+16÷（﹣2）3×（﹣3﹣1）
（2）（﹣+）×（﹣36）
（3）
【解答】解：（1）﹣14+16÷（﹣2）3×（﹣3﹣1）
＝﹣1+16÷（﹣8）×（﹣4）
＝﹣1+8
＝7；
（2）（﹣+）×（﹣36）
＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）
＝（﹣8）+9+（﹣2）
＝1+（﹣2）
＝﹣1；
（3）
＝（﹣1）﹣（2﹣9）×（﹣2）
＝（﹣1）﹣（﹣7）×（﹣2）
＝（﹣1）﹣14
＝﹣15．
3.科学记数法
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿
【例题精选】
例1(2023•揭西县模拟）截至2020年4月23日，全球新型冠状病毒肺炎累计确诊人数超过2550000人，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．2.55×106B．25.5×105C．2.55×107D．0.255×107
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2550000用科学记数法表示为2.55×106．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
例2(2023•徐州二模）国家统计局数据：截至2019年底，中国大陆总人口为1400 000 000．将1400 000 000用科学记数法表示是（ ）
A．14×108B．14×109C．1.4×108D．1.4×109
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1400 000 000用科学记数法表示为1.4×109．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．(2023•定海区模拟）2020年新冠病毒我国感染人数约84300人，将数据84300用科学记数法表示正确的是（ ）
A．843×102B．8.43×104C．84.3×103D．8.43×105
【解答】解：84300＝8.43×104，
故选：B．
2．(2023•潮南区模拟）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，该工程总投资额为1269亿元，将1269亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.269×1011B．12.69×1010
C．1.269×1012D．0.1269×1013
【解答】解：1269亿＝1269×108＝1.269×1011，
故选：A．
3．(2023春•香坊区校级期中）去年我国邮票发行量为12500000枚，用科学记数法表示12500000是___________．
【解答】解：将12 500 000用科学记数法表示为：1.25×107．
故答案是：1.25×107．
4.近似数和有效数字
准确数：表示实际数量的数．
近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近．
精确度：表示近似数与准确数的接近程度．
精确度的类型：
纯数字类
按四舍五入法对圆周率取近似数时
（精确到个位）
（精确到十分位，或叫精确到）
（精确到百分位，或叫精确到）
（精确到千分位，或叫精确到）
带单位类
近似数万（精确到千位）
科学记数法类
近似数（精确到百位）
【例题精选】
例1．(2023秋•张店区期末）按括号内的要求用四舍五入法取近似数，其中正确的是（ ）
A．103.57≈103.6 （精确到个位）
B．2.708≈2.71 （精确到十分位）
C．0.054≈0.1 （精确到0.1）
D．0.0136≈0.014 （精确到0.0001 ）
分析：根据近似数的定义可以得到各个选项的正确结果，从而可以解答本题．
【解答】解：A、103.57≈104 （精确到个位），故本选项错误；
B、2.708≈2.71（精确到十分位），故本选项错误；
C、0.054≈0.1 （精确到0.1），故本选项正确；
D、0.0136≈0.014 （精确到0.001 ），故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的定义．
例2(2023秋•沙河市期末）用四舍五入法按要求对0.64247分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．精确到千分位得到0.643
B．精确到百分位得到0.64
C．精确到0.1得到0.6
D．精确到0.0001得到0.6425
分析：利用近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：0.64247，精确到千分位得到0.642，精确到百分位得到0.64，精确到0.1得到0.6，精确到0.0001得到0.6425．
故选：A．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【随堂练习】
1．(2023秋•邢台期末）将34.945取近似数精确到十分位，正确的是（ ）
A．34.9B．35.0C．35D．35.05
【解答】解：34.945取近似数精确到十分位是34.9；
故选：A．
2．(2023秋•庐阳区期末）由四舍五入得到的近似数3.50万，精确到（ ）
A．十分位B．百位C．十位D．百分位
【解答】解：3.50万＝35000，近似数3.50万精确到百位，
故选：B．
3．(2023秋•呼伦贝尔期末）3.14159精确到千分位为（ ）
A．3.1B．3.14C．3.142D．3.141
【解答】解：3.14159精确到千分位为3.142．
故选：C．
4．(2023秋•宿豫区期末）用四舍五入法，对3.5952取近似值，精确到0.01，结果为_______．
【解答】解：3.5952取近似值，精确到0.01，结果为3.60．
故答案为3.60．
综合练习
一．选择题
1．若a＝﹣0.1，则a，从小到大的顺序是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵a＝﹣0.1，
∴，
∴，
故选：C．
2．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900000吨，数657900000用科学记数法表示为（ ）
A．6.579×107B．6.579×108C．6.579×109D．6.579×1010
【解答】解：将657 900 000用科学记数法表示为：6.579×108．
故选：B．
3．近似数5.10精确到（ ）
A．个位B．十分位C．百分位D．十位
【解答】解：近似数5.10精确到百分位．
故选：C．
三．解答题
1．计算：
（1）1÷（﹣）2﹣|﹣|×（﹣2）3×（﹣1）
（2）﹣12016+[×（﹣+）×（﹣12）+16]
【解答】解：（1）原式＝1×9﹣×（﹣8）×（﹣1）
＝9﹣4
＝5；
（2）原式＝﹣1+（﹣+）×（﹣12）+16×
＝﹣1﹣4+3﹣2+14
＝﹣7+17
＝10．
2．计算：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
【解答】解：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
＝﹣4﹣（﹣5+15×÷9）
＝﹣4﹣（﹣5+9÷9）
＝﹣4﹣（﹣5+1）
＝﹣4+4
＝0．
3．计算：
﹣24﹣（﹣2）3÷
【解答】解：原式＝﹣16﹣（﹣8）××9＝﹣16﹣（﹣27）＝﹣16+27＝11．
4．计算：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
【解答】解：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
＝（﹣125）×（﹣）+32÷4×
＝75+8×
＝75﹣10
＝65．