七年级数学暑期精品讲义第4讲.有理数的乘方-提高班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第4讲.有理数的乘方-提高班(学生版+解析)，共19页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1.有理数的乘方
有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；
当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
幂的正负规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
正数的任何次幂都是正数；
0的任何正整数次幂都是0．
【例题精选】
例1(2023秋•九龙坡区校级期末）下列各数（﹣2）2、﹣24、0、﹣|﹣2|、﹣（﹣2）、
（﹣2）3中，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2(2023秋•宜宾期末）计算（﹣2）2020÷（﹣2）2019所得的结果是（ ）
A．22019B．﹣22019C．﹣2D．1
【随堂练习】
1．(2023秋•丰城市期末）化简（﹣1）2020的值是（ ）
A．2020B．﹣2020C．1D．﹣1
2．(2023秋•海口期末）312是96的（ ）
A．1倍B．C．D．36倍
3．(2023秋•台州期末）下列数或式：（﹣2）3，（﹣）6，﹣52，0，m2+1，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2.有理数的加减乘除乘方混合运算
【例题精选】
例1(2023春•伊州区月考）计算：﹣8×（﹣2）4﹣（﹣）2×（﹣2）4+×（﹣3）2
例2(2023秋•双台子区期末）用“※”定义新的运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝b2﹣ab，如1※3＝32﹣1×3＝6，则（﹣2）※（﹣3）的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【随堂练习】
1．(2023秋•九龙坡区校级期末）计算：
（1）6.14+（﹣2）﹣（﹣5.86）﹣（+）
（2）24÷（﹣）﹣6×22
（3）（﹣1）2020+[18×（﹣）+24×（﹣）]﹣36×（﹣+1）﹣02019
（4）（﹣）2018×32021+（﹣2）3÷2.5×|﹣3﹣|
2．(2023秋•罗湖区校级期末）计算
3.科学记数法
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿
【例题精选】
例1(2023秋•太仓市期末）地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为_______________．
例2 (2023•沙坪坝区校级一模）由落户重庆两江新区数字经济产业园的跨境电商服务平台签订的对日本的订单中，首批1200000只“重庆造”一次性防护口罩于5月15日运抵日本，数据1200000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×105B．1.2×106C．0.12×107D．12×105
【随堂练习】
1．(2023•鹿城区校级二模）近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全世界蔓延．我国人民团结一致，全力抗击疫情，社会各界人士积极捐款．截止4月28日中午12时，温州市慈善总会接受捐赠款约55000000元．其中数据55000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108B．5.5×107C．55×106D．5.5×106
2．(2023春•罗湖区校级月考）目前，我国已经逐渐控制了新冠肺炎的传播，治愈人数越来越多．截止北京时间2020年4月25日中午12时，全国现存确诊病例不到1400名，已累计治愈了78374名病例．将数78374用科学记数法可表示为（ ）
A．78.374×103B．7.8374×103
C．7.8374×104D．0.78374×105
3．(2023•西城区二模）中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×104B．5.5×103C．5.5×102D．55×102
4．(2023•滨海新区一模）据国家卫健委通报，截至到3月9日，全国支援武汉和湖北抗击疫情的医护人员已达到4.26万人．将42600用科学记数法表示为（ ）
A．4.26×103 B．42.6×103
C．4.26×104 D．0.426×105
4.近似数和有效数字
准确数：表示实际数量的数．
近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近．
精确度：表示近似数与准确数的接近程度．
精确度的类型：
纯数字类
按四舍五入法对圆周率取近似数时
（精确到个位）
（精确到十分位，或叫精确到）
（精确到百分位，或叫精确到）
（精确到千分位，或叫精确到）
带单位类
近似数万（精确到千位）
科学记数法类
近似数（精确到百位）
【例题精选】
例1(2023秋•东台市期末）全球七大洲的总面积约为149 480 000km2，对这个数据精确到百万位可表示为_______________km2．
例2(2023秋•卢龙县期末）近似数0.13是精确到（ ）
A．十分位B．百分位C．千分位D．百位
【随堂练习】
1．(2023秋•宿豫区期末）某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．它精确到百位B．它精确到0.01
C．它精确到千分位D．它精确到千位
2．(2023秋•梁平区期末）下列说法正确的是（ ）
A．近似数3.6与3.60精确度相同
B．数2.9954精确到百分位为3.00
C．近似数1.3×104精确到十分位
D．近似数3.61万精确到百分位
3．(2023•宁波模拟）宁波市政府新闻办召开新闻发布会，上半年全市实现地区生产总值5037.3亿元，其中5037.3亿精确到（ ）
A．亿位B．千万位C．百万位D．十分位
4．(2023春•南岗区校级期中）用四舍五入法按要求对0.06045分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到十分位）B．0.06（精确到百分位）
C．0.060（精确到0.001）D．0.0604（精确到0.0001）
综合练习
一．选择题
1．若a＝﹣0.1，则a，从小到大的顺序是（ ）
A．B．C．D．
2．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900000吨，数657900000用科学记数法表示为（ ）
A．6.579×107B．6.579×108C．6.579×109D．6.579×1010
3．近似数5.10精确到（ ）
A．个位B．十分位C．百分位D．十位
三．解答题
1．计算：
（1）1÷（﹣）2﹣|﹣|×（﹣2）3×（﹣1）
（2）﹣12016+[×（﹣+）×（﹣12）+16]
2．计算：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
3．计算：
﹣24﹣（﹣2）3÷
4．计算：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
第4讲 有理数的乘方
1.有理数的乘方
有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；
当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
幂的正负规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
正数的任何次幂都是正数；
0的任何正整数次幂都是0．
【例题精选】
例1(2023秋•九龙坡区校级期末）下列各数（﹣2）2、﹣24、0、﹣|﹣2|、﹣（﹣2）、
（﹣2）3中，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：分别计算后，再找出负数的个数．
【解答】解：∵（﹣2）2＝4；﹣24＝﹣16；﹣|﹣2|＝﹣2；﹣（﹣2）＝2；（﹣2）3＝﹣8，
∴负数的个数有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的运算，涉及到0指数幂，有理数的乘方等知识点．
例2(2023秋•宜宾期末）计算（﹣2）2020÷（﹣2）2019所得的结果是（ ）
A．22019B．﹣22019C．﹣2D．1
分析：按照有理数乘方的运算法则，先化简符号，再进行计算即可．
【解答】解：（﹣2）2020÷（﹣2）2019
＝﹣22020÷22019
＝﹣2×22019÷22019
＝﹣2×（2÷2）2019
＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数乘方的运算法则，是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•丰城市期末）化简（﹣1）2020的值是（ ）
A．2020B．﹣2020C．1D．﹣1
【解答】解：（﹣1）2020＝1，
故选：C．
2．(2023秋•海口期末）312是96的（ ）
A．1倍B．C．D．36倍
【解答】解：∵312＝（32）6＝96，
∴312是96的1倍．
故选：A．
3．(2023秋•台州期末）下列数或式：（﹣2）3，（﹣）6，﹣52，0，m2+1，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：（﹣2）3＝﹣8＜0，（﹣）6＝＞0，﹣52＝﹣25＜0，0，m2+1≥1＞0，
∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，
故选：B．
2.有理数的加减乘除乘方混合运算
【例题精选】
例1(2023春•伊州区月考）计算：﹣8×（﹣2）4﹣（﹣）2×（﹣2）4+×（﹣3）2
分析：根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：﹣8×（﹣2）4﹣（﹣）2×（﹣2）4+×（﹣3）2
＝﹣8×16﹣×16+×9
＝﹣128﹣4+4
＝﹣128．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
例2(2023秋•双台子区期末）用“※”定义新的运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝b2﹣ab，如1※3＝32﹣1×3＝6，则（﹣2）※（﹣3）的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
分析：利用新定义的规定a※b＝b2﹣ab列出算式（﹣3）2﹣（﹣2）×（﹣3），再进一步利用有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（﹣2）※（﹣3）
＝（﹣3）2﹣（﹣2）×（﹣3）
＝9﹣6
＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
【随堂练习】
1．(2023秋•九龙坡区校级期末）计算：
（1）6.14+（﹣2）﹣（﹣5.86）﹣（+）
（2）24÷（﹣）﹣6×22
（3）（﹣1）2020+[18×（﹣）+24×（﹣）]﹣36×（﹣+1）﹣02019
（4）（﹣）2018×32021+（﹣2）3÷2.5×|﹣3﹣|
【解答】解：（1）6.14+（﹣2）﹣（﹣5.86）﹣（+）
＝6.14+（﹣2）+5.86+（﹣）
＝9；
（2）24÷（﹣）﹣6×22
＝24÷（）﹣（6+）×22
＝24÷﹣132﹣21
＝24×6﹣132﹣21
＝144﹣132﹣21
＝﹣9；
（3）（﹣1）2020+[18×（﹣）+24×（﹣）]﹣36×（﹣+1）﹣02019
＝1+[（18+24）×（﹣）]﹣（8﹣27+39）﹣0
＝1+42×（﹣）﹣20
＝1+（﹣24）﹣20
＝﹣43；
（4）（﹣）2018×32021+（﹣2）3÷2.5×|﹣3﹣|
＝（）2018×32021+（﹣8）÷×3
＝（×3）2018×33+（﹣8）××
＝1×27+（﹣12）
＝27+（﹣12）
＝15．
2．(2023秋•罗湖区校级期末）计算
【解答】解：原式＝﹣1+16×﹣0.28+0.01
＝﹣1+2﹣0.28+0.01
＝﹣1﹣0.28+2+0.01
＝﹣1.28+2.01
＝0.73
3.科学记数法
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿
【例题精选】
例1(2023秋•太仓市期末）地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为_______________．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将384 000这个数用科学记数法表示为3.84×105，
故答案为：3.84×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
例2 (2023•沙坪坝区校级一模）由落户重庆两江新区数字经济产业园的跨境电商服务平台签订的对日本的订单中，首批1200000只“重庆造”一次性防护口罩于5月15日运抵日本，数据1200000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×105B．1.2×106C．0.12×107D．12×105
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1200000用科学记数法表示为1.2×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．(2023•鹿城区校级二模）近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全世界蔓延．我国人民团结一致，全力抗击疫情，社会各界人士积极捐款．截止4月28日中午12时，温州市慈善总会接受捐赠款约55000000元．其中数据55000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108B．5.5×107C．55×106D．5.5×106
【解答】解：数据55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：B．
2．(2023春•罗湖区校级月考）目前，我国已经逐渐控制了新冠肺炎的传播，治愈人数越来越多．截止北京时间2020年4月25日中午12时，全国现存确诊病例不到1400名，已累计治愈了78374名病例．将数78374用科学记数法可表示为（ ）
A．78.374×103B．7.8374×103
C．7.8374×104D．0.78374×105
【解答】解：78374用科学记数法表示7.8374×104，
故选：C．
3．(2023•西城区二模）中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×104B．5.5×103C．5.5×102D．55×102
【解答】解：5500＝5.5×103，
故选：B．
4．(2023•滨海新区一模）据国家卫健委通报，截至到3月9日，全国支援武汉和湖北抗击疫情的医护人员已达到4.26万人．将42600用科学记数法表示为（ ）
A．4.26×103 B．42.6×103
C．4.26×104 D．0.426×105
【解答】解：将数据42600用科学记数法可表示为：4.26×104．
故选：C．
4.近似数和有效数字
准确数：表示实际数量的数．
近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近．
精确度：表示近似数与准确数的接近程度．
精确度的类型：
纯数字类
按四舍五入法对圆周率取近似数时
（精确到个位）
（精确到十分位，或叫精确到）
（精确到百分位，或叫精确到）
（精确到千分位，或叫精确到）
带单位类
近似数万（精确到千位）
科学记数法类
近似数（精确到百位）
【例题精选】
例1(2023秋•东台市期末）全球七大洲的总面积约为149 480 000km2，对这个数据精确到百万位可表示为_______________km2．
分析：先用科学记数法表示，然后根据近似数的精确度四舍五入即可．
【解答】解：149 480 000km2≈1.49×108km2（精确到百万位）．
故答案为1.49×108．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
例2(2023秋•卢龙县期末）近似数0.13是精确到（ ）
A．十分位B．百分位C．千分位D．百位
分析：确定近似数精确到哪一位，就是看这个数的最后一位是什么位即可．
【解答】解：近似数0.13是精确到百分位，
故选：B．
【点评】此题考查了近似数，用到的知识点是精确度，一个数最后一位所在的位置就是这个数的精确度．
【随堂练习】
1．(2023秋•宿豫区期末）某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．它精确到百位B．它精确到0.01
C．它精确到千分位D．它精确到千位
【解答】解：1.36×105精确到千位．
故选：D．
2．(2023秋•梁平区期末）下列说法正确的是（ ）
A．近似数3.6与3.60精确度相同
B．数2.9954精确到百分位为3.00
C．近似数1.3×104精确到十分位
D．近似数3.61万精确到百分位
【解答】解：A、近似数3.6精确到十分位，近似数3.60精确到百分位，所以A选项错误；
B、数2.9954精确到百分位为3.00，所以B选项正确；
C、近似数1.3×104精确到千位，所以C选项错误；
D、近似数3.61万精确到百位．
故选：B．
3．(2023•宁波模拟）宁波市政府新闻办召开新闻发布会，上半年全市实现地区生产总值5037.3亿元，其中5037.3亿精确到（ ）
A．亿位B．千万位C．百万位D．十分位
【解答】解：5037.3亿精确到千万位，
故选：B．
4．(2023春•南岗区校级期中）用四舍五入法按要求对0.06045分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到十分位）B．0.06（精确到百分位）
C．0.060（精确到0.001）D．0.0604（精确到0.0001）
【解答】解：A．0.06045精确到十分位为0.1，此选项正确；
B．0.06045精确到百分位为0.06，此选项正确；
C．0.06045精确到0.001为0.060，此选项正确；
D．0.06045精确到0.0001为0.0605，此选项错误；
故选：D．
综合练习
一．选择题
1．若a＝﹣0.1，则a，从小到大的顺序是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵a＝﹣0.1，
∴，
∴，
故选：C．
2．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900000吨，数657900000用科学记数法表示为（ ）
A．6.579×107B．6.579×108C．6.579×109D．6.579×1010
【解答】解：将657 900 000用科学记数法表示为：6.579×108．
故选：B．
3．近似数5.10精确到（ ）
A．个位B．十分位C．百分位D．十位
【解答】解：近似数5.10精确到百分位．
故选：C．
三．解答题
1．计算：
（1）1÷（﹣）2﹣|﹣|×（﹣2）3×（﹣1）
（2）﹣12016+[×（﹣+）×（﹣12）+16]
【解答】解：（1）原式＝1×9﹣×（﹣8）×（﹣1）
＝9﹣4
＝5；
（2）原式＝﹣1+（﹣+）×（﹣12）+16×
＝﹣1﹣4+3﹣2+14
＝﹣7+17
＝10．
2．计算：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
【解答】解：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
＝﹣4﹣（﹣5+15×÷9）
＝﹣4﹣（﹣5+9÷9）
＝﹣4﹣（﹣5+1）
＝﹣4+4
＝0．
3．计算：
﹣24﹣（﹣2）3÷
【解答】解：原式＝﹣16﹣（﹣8）××9＝﹣16﹣（﹣27）＝﹣16+27＝11．
4．计算：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
【解答】解：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
＝（﹣125）×（﹣）+32÷4×
＝75+8×
＝75﹣10
＝65．