七年级数学暑期精品讲义第4讲.有理数的乘方-满分班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第4讲.有理数的乘方-满分班(学生版+解析)，共16页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1.有理数的乘方
有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；
当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
幂的正负规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
正数的任何次幂都是正数；
0的任何正整数次幂都是0．
【例题精选】
例1(2023秋•桥东区校级月考）有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米？
例2．(2023秋•成华区期末）计算：（﹣1）1+（﹣1）2+（﹣1）3+…+（﹣1）2030＝_______．
【随堂练习】
1．(2023秋•兰州期末）式子﹣22+（﹣2）2﹣（﹣2）3﹣23的值为（ ）
A．﹣2B．6C．﹣18D．0
2．(2023秋•泉州期末）下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与3B．（﹣4）3与﹣43
C．﹣|﹣5|与﹣（﹣5）D．﹣32与（﹣3）2
2.有理数的加减乘除乘方混合运算
【例题精选】
例1(2023秋•温岭市校级期末）计算：
（1）2﹣（﹣4）+6÷（﹣2）+（﹣3）×2
（2）﹣12+（﹣3）2﹣24×（）
例2(2023秋•天心区校级期末）计算：（﹣1）3﹣22﹣|3﹣4|×（﹣）
【随堂练习】
1．(2023•西乡塘区校级一模）计算：5÷[（﹣1）3﹣4]+32×（﹣1）．
2．(2023秋•淮滨县期末）计算：﹣14+（﹣3）2×（）﹣44÷|﹣4|．
3．(2023秋•肇庆期末）计算：（﹣3）2×2+4×（﹣3）﹣28÷．
3.科学记数法
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿
【例题精选】
例1(2023秋•云浮期末）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为118000千米，用科学记数法表示为___________千米．
例2(2023•北京二模）2020年5月5日18时，长征五号B运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进入实质阶段．长征五号B运载火箭运载能力超过22000千克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭．将22000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.2×104B．2.2×105C．22×103D．0.22×105
【随堂练习】
1．(2023•乐东县一模）数据36000用科学记数法表示为3.6×10n，则n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．(2023•黔西南州）某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ）
A．0.36×106B．3.6×105C．3.6×106D．36×105
3．(2023•盐田区二模）盐田区一季度经济逆势飘红，地区生产总值约为15200000000元，同比增长1.1%．数字15200000000用科学记数法表示为（ ）
A．15.2×109B．1.52×1010C．1.52×1011D．0.152×1012
4.近似数和有效数字
准确数：表示实际数量的数．
近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近．
精确度：表示近似数与准确数的接近程度．
精确度的类型：
纯数字类
按四舍五入法对圆周率取近似数时
（精确到个位）
（精确到十分位，或叫精确到）
（精确到百分位，或叫精确到）
（精确到千分位，或叫精确到）
带单位类
近似数万（精确到千位）
科学记数法类
近似数（精确到百位）
【例题精选】
例1(2023秋•镇江期末）小亮用天平称得一个罐头的质量为2.026kg，近似数2.026精确到0.1是_______．
例2(2023秋•射阳县期末）圆周率π＝3.1415926…精确到千分位的近似数是_______．
【随堂练习】
1．(2023秋•武邑县校级月考）用四舍五入法对0.03967（保留到0.001）取近似值为（ ）
A．0.040B．0.039C．0.041D．0.0397
2．(2023秋•惠城区校级期中）台风“杜鹃”给某省造成的经济损失达16.9亿元，近似数16.9亿精确到（ ）
A．十分位B．千万位C．亿位D．十亿位
3．(2023秋•恩阳区 期中）北京大兴国际机场被誉为“世界第七大奇迹”．其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树．其中2.2万精确到是（ ）位．
A．万位B．千位C．十分位D．百分位
综合练习
一．选择题
1．若a＝﹣0.1，则a，从小到大的顺序是（ ）
A．B．C．D．
2．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900000吨，数657900000用科学记数法表示为（ ）
A．6.579×107B．6.579×108C．6.579×109D．6.579×1010
3．近似数5.10精确到（ ）
A．个位B．十分位C．百分位D．十位
三．解答题
1．计算：
（1）1÷（﹣）2﹣|﹣|×（﹣2）3×（﹣1）
（2）﹣12016+[×（﹣+）×（﹣12）+16]
2．计算：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
3．计算：
﹣24﹣（﹣2）3÷
4．计算：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
第4讲 有理数的乘方
1.有理数的乘方
有理数的乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；
当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写．
幂的正负规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
正数的任何次幂都是正数；
0的任何正整数次幂都是0．
【例题精选】
例1(2023秋•桥东区校级月考）有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米？
分析：根据有理数的乘方的意义，列式计算即可．
【解答】解：由题意得，64×（）6＝64×＝1平方米，
答：第六次后，还剩1平方米．
【点评】考查有理数的乘方的意义和计算方法，正确的列出算式是前提．
例2．(2023秋•成华区期末）计算：（﹣1）1+（﹣1）2+（﹣1）3+…+（﹣1）2030＝_______．
分析：根据乘方的定义计算可得．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣1+1﹣……﹣1+1
＝0×1015
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
【随堂练习】
1．(2023秋•兰州期末）式子﹣22+（﹣2）2﹣（﹣2）3﹣23的值为（ ）
A．﹣2B．6C．﹣18D．0
【解答】解：﹣22+（﹣2）2﹣（﹣2）3﹣23
＝﹣4+4﹣（﹣8）﹣8
＝0
故选：D．
2．(2023秋•泉州期末）下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与3B．（﹣4）3与﹣43
C．﹣|﹣5|与﹣（﹣5）D．﹣32与（﹣3）2
【解答】解：A.＝，（）3＝，不符合题意；
B．（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，符合题意；
C．﹣|﹣5|＝﹣5，﹣（﹣5）＝5，不符合题意；
D﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不符合题意．
故选：B．
2.有理数的加减乘除乘方混合运算
【例题精选】
例1(2023秋•温岭市校级期末）计算：
（1）2﹣（﹣4）+6÷（﹣2）+（﹣3）×2
（2）﹣12+（﹣3）2﹣24×（）
分析：（1）根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）2﹣（﹣4）+6÷（﹣2）+（﹣3）×2
＝2+4+（﹣3）+（﹣6）
＝﹣3；
（2）﹣12+（﹣3）2﹣24×（）
＝﹣1+9﹣6+9+2
＝13．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
例2(2023秋•天心区校级期末）计算：（﹣1）3﹣22﹣|3﹣4|×（﹣）
分析：根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题．
【解答】解：（﹣1）3﹣22﹣|3﹣4|×（﹣）
＝（﹣1）﹣4﹣×（﹣）
＝（﹣1）﹣4+5
＝0．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【随堂练习】
1．(2023•西乡塘区校级一模）计算：5÷[（﹣1）3﹣4]+32×（﹣1）．
【解答】解：原式＝5÷（﹣1﹣4）+9×（﹣1）
＝5÷（﹣5）+（﹣9）
＝﹣1+（﹣9）
＝﹣10．
2．(2023秋•淮滨县期末）计算：﹣14+（﹣3）2×（）﹣44÷|﹣4|．
【解答】解：原式＝﹣1+9×（﹣）﹣256÷4，
＝﹣1﹣6﹣64，
＝﹣71．
3．(2023秋•肇庆期末）计算：（﹣3）2×2+4×（﹣3）﹣28÷．
【解答】解：（﹣3）2×2+4×（﹣3）﹣28÷
＝9×2+（﹣12）﹣28×
＝18+（﹣12）﹣16
＝﹣10．
3.科学记数法
科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
万，亿
【例题精选】
例1(2023秋•云浮期末）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为118000千米，用科学记数法表示为___________千米．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将118000用科学记数法表示为：1.18×105．
故答案为：1.18×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
例2(2023•北京二模）2020年5月5日18时，长征五号B运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进入实质阶段．长征五号B运载火箭运载能力超过22000千克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭．将22000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.2×104B．2.2×105C．22×103D．0.22×105
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：22000用科学记数法表示为：2.2×104．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【随堂练习】
1．(2023•乐东县一模）数据36000用科学记数法表示为3.6×10n，则n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：36000＝3.6×104，
∴n＝4．
故选：C．
2．(2023•黔西南州）某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ）
A．0.36×106B．3.6×105C．3.6×106D．36×105
【解答】解：360000＝3.6×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．(2023•盐田区二模）盐田区一季度经济逆势飘红，地区生产总值约为15200000000元，同比增长1.1%．数字15200000000用科学记数法表示为（ ）
A．15.2×109B．1.52×1010C．1.52×1011D．0.152×1012
【解答】解：15200000000＝1.52×1010，
故选：B．
4.近似数和有效数字
准确数：表示实际数量的数．
近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近．
精确度：表示近似数与准确数的接近程度．
精确度的类型：
纯数字类
按四舍五入法对圆周率取近似数时
（精确到个位）
（精确到十分位，或叫精确到）
（精确到百分位，或叫精确到）
（精确到千分位，或叫精确到）
带单位类
近似数万（精确到千位）
科学记数法类
近似数（精确到百位）
【例题精选】
例1(2023秋•镇江期末）小亮用天平称得一个罐头的质量为2.026kg，近似数2.026精确到0.1是_______．
分析：把百分位上的数字2进行四舍五入即可．
【解答】解：2.026≈2.0（精确到0.1）．
故答案为2.0．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
例2(2023秋•射阳县期末）圆周率π＝3.1415926…精确到千分位的近似数是_______．
分析：近似数π＝3.1415926…精确到千分位，即是保留到千分位，由于千分位1后面的5大于4，故进1，得3.142．
【解答】解：圆周率π＝3.1415926…精确到千分位的近似数是3.142．
故答案为3.142．
【点评】本题考查了近似数和精确度，精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．
【随堂练习】
1．(2023秋•武邑县校级月考）用四舍五入法对0.03967（保留到0.001）取近似值为（ ）
A．0.040B．0.039C．0.041D．0.0397
【解答】解：0.03967（保留到0.001）取近似值为0.040．
故选：A．
2．(2023秋•惠城区校级期中）台风“杜鹃”给某省造成的经济损失达16.9亿元，近似数16.9亿精确到（ ）
A．十分位B．千万位C．亿位D．十亿位
【解答】解：近似数16.9亿精确到千万位．
故选：B．
3．(2023秋•恩阳区 期中）北京大兴国际机场被誉为“世界第七大奇迹”．其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树．其中2.2万精确到是（ ）位．
A．万位B．千位C．十分位D．百分位
【解答】解：2.2万的最后一位2在千位上，因而精确到千位．
故选：B．
综合练习
一．选择题
1．若a＝﹣0.1，则a，从小到大的顺序是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵a＝﹣0.1，
∴，
∴，
故选：C．
2．据统计，2018年中国粮食总产量达到657900000吨，数657900000用科学记数法表示为（ ）
A．6.579×107B．6.579×108C．6.579×109D．6.579×1010
【解答】解：将657 900 000用科学记数法表示为：6.579×108．
故选：B．
3．近似数5.10精确到（ ）
A．个位B．十分位C．百分位D．十位
【解答】解：近似数5.10精确到百分位．
故选：C．
三．解答题
1．计算：
（1）1÷（﹣）2﹣|﹣|×（﹣2）3×（﹣1）
（2）﹣12016+[×（﹣+）×（﹣12）+16]
【解答】解：（1）原式＝1×9﹣×（﹣8）×（﹣1）
＝9﹣4
＝5；
（2）原式＝﹣1+（﹣+）×（﹣12）+16×
＝﹣1﹣4+3﹣2+14
＝﹣7+17
＝10．
2．计算：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
【解答】解：﹣22﹣[﹣5+15×÷（﹣3）2]
＝﹣4﹣（﹣5+15×÷9）
＝﹣4﹣（﹣5+9÷9）
＝﹣4﹣（﹣5+1）
＝﹣4+4
＝0．
3．计算：
﹣24﹣（﹣2）3÷
【解答】解：原式＝﹣16﹣（﹣8）××9＝﹣16﹣（﹣27）＝﹣16+27＝11．
4．计算：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
【解答】解：
（﹣5）3×（﹣）+32÷（﹣2）2×
＝（﹣125）×（﹣）+32÷4×
＝75+8×
＝75﹣10
＝65．