七年级数学暑期精品讲义第11讲.角的概念及运算--基础班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第11讲.角的概念及运算--基础班(学生版+解析)，共31页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1角的概念及表示方法
角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
由角的定义可知：
角的组成部分为：两条边和一个顶点；
顶点是这两条边的交点；
角的两条边是射线，是无限延伸的；
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
角的表示方法
利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
用数字来表示角，如图．

用希腊字母来表示角，如图．

【例题精选】
例1(2023秋•辛集市期末）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
例2(2023秋•长葛市期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023春•潍坊期中）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO可用∠DAC表示B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示D．∠CDB也可用∠1表示
2．(2023秋•洛宁县期末）如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2角的度量与计算
角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．
我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．
【例题精选】
例1(2023秋•台州期末）把53°24′用度表示为_________．
例2(2023秋•大通区期末）计算：48°37'+53°35'＝_________．
【随堂练习】
1．(2023秋•淅川县期末）计算：15°37′+42°51′＝_________．
2．(2023秋•薛城区期末）下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′D．54°16′12″＝54.27°
3．(2023秋•焦作期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（ ）
A．27°40′B．57°40′C．58°20′D．62°20′
3角平分线
角平分线
角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
，
角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．
，
角平分线的画法：
测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．
【例题精选】
例1(2023秋•兰州期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数．
例2(2023秋•广安期末）如图，点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，∠COE＝90°，且OD平分∠AOC，求∠AOE和∠DOE的度数．
【随堂练习】
1．(2023秋•连山区期末）如图，OC为∠AOB内一条直线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠AOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOBD．
2．(2023秋•福田区校级期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°
4余角与补角
角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。
余角与补角
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

【例题精选】
例1(2023春•福田区校级期中）如果一个角是120°，那么这个角的补角是______.
例2(2023秋•武汉期末）一个角的补角是这个角余角的3倍，则这个角是_______度．
【随堂练习】
1．(2023•宿迁一模）一个角的度数是30°，则它的补角的度数为________．
2．(2023秋•新宾县期末）如果∠α＝46°，那么∠α的余角的度数为（ ）
A．56°B．54°C．46°D．44°
3．(2023秋•奉化区期末）已知∠α＝75°，则∠α的余角等于（ ）
A．15°B．25°C．75°D．105°
4．(2023秋•肥西县期末）已知∠A＝55°34′，则∠A的余角等于（ ）
A．44°26′B．44°56′C．34°56′D．34°26′
综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（ ）
A．90°﹣α﹣βB．90°﹣α+βC．90°+α﹣βD．α﹣β
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．60°
3．如图，射线OA表示（ ）
A．南偏东70°B．北偏东30°C．南偏东30°D．北偏东70°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（ ）度．
A．90+2αB．180+αC．180﹣αD．180
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝ ．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝ ．
7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝ °．
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？
9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝ ，∠AOM＝ ，∠BON＝ ；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝ （用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．
第11讲 角的概念及运算
1角的概念及表示方法
角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
由角的定义可知：
角的组成部分为：两条边和一个顶点；
顶点是这两条边的交点；
角的两条边是射线，是无限延伸的；
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
角的表示方法
利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
用数字来表示角，如图．

用希腊字母来表示角，如图．

【例题精选】
例1(2023秋•辛集市期末）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据角的三种表示方法，可得正确答案．
【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是C选项中的图，
A，B，D选项中的图都不能同时用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，
故选：C．
【点评】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题关键．在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个大写字母来记这个角．
例2(2023秋•长葛市期末）下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据角的表示方法和图形逐个判断即可．
【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误；
B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项正确；
C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误；
D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
【随堂练习】
1．(2023春•潍坊期中）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO可用∠DAC表示B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示D．∠CDB也可用∠1表示
【解答】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本选项说法正确；
B、∠COB不能用∠O表示，本选项说法错误；
C、∠2也可用∠OBC表示，本选项说法正确；
D、∠CDB也可用∠1表示，本选项说法正确；
故选：B．
2．(2023秋•洛宁县期末）如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；
B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；
C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；
D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确．
故选：D．
2角的度量与计算
角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．
我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．
【例题精选】
例1(2023秋•台州期末）把53°24′用度表示为_________．
分析：根据度分秒之间60进制的关系计算．
【解答】解：53°24′用度表示为53.4°，
故答案为：53.4°．
【点评】此题考查度分秒的换算，由度化分应乘以60，由分化度应除以60，注意度、分、秒都是60进制的，由大单位化小单位要乘以60才行．
例2(2023秋•大通区期末）计算：48°37'+53°35'＝_________．
分析：1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依据度分秒的换算即可得到结果．
【解答】解：48°37'+53°35'＝101°72'＝102°12'，
故答案为：102°12'．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
【随堂练习】
1．(2023秋•淅川县期末）计算：15°37′+42°51′＝_________．
【解答】解：∵37+51＝88，
∴15°37′+42°51′＝58°28′．
故答案为：58°28′．
2．(2023秋•薛城区期末）下列角度换算错误的是（ ）
A．10.6°＝10°36″B．900″＝0.25°
C．1.5°＝90′D．54°16′12″＝54.27°
【解答】解：A、10.6°＝10°36'，错误；
B、900″＝0.25°，正确；
C、1.5°＝90′，正确；
D、54°16′12″＝54.27°，正确；
故选：A．
3．(2023秋•焦作期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（ ）
A．27°40′B．57°40′C．58°20′D．62°20′
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；
故选：B．
3角平分线
角平分线
角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
，
角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．
，
角平分线的画法：
测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．
【例题精选】
例1(2023秋•兰州期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝18°，求∠AOC的度数．
分析：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2∠AOC＝2x，∠AOB＝3x．由OD平分∠AOB，根据角平分线定义得出∠AOD＝1.5x，于是由∠COD＝∠AOD﹣∠AOC列出方程1.5x﹣x＝18°，解方程求出x的值即可．
【解答】解：设∠AOC＝x，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，
∴1.5x﹣x＝18°，
解得x＝36°，
∴∠AOC＝36°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，要设恰当的未知数，用同一个未知数表示相关的角，根据已知的角列方程进行计算是解此题的关键．
例2(2023秋•广安期末）如图，点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，∠COE＝90°，且OD平分∠AOC，求∠AOE和∠DOE的度数．
分析：根据邻补角的定义和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，
∴∠AOC＝180°﹣42°＝138°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC＝69°，
∵∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣69°＝21°，
∴∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE＝48°．
【点评】题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•连山区期末）如图，OC为∠AOB内一条直线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠AOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOBD．
【解答】解：A、∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；
B、∠AOB＝2∠AOC能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；
C、∠AOC+∠COB＝∠AOB不能确定OC平分∠AOB，故此选项符合题意；
D、∠BOC＝∠AOB，能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意．
故选：C．
2．(2023秋•福田区校级期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°
【解答】
解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝40°，
∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；
故选：C．
4余角与补角
角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。
余角与补角
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

【例题精选】
例1(2023春•福田区校级期中）如果一个角是120°，那么这个角的补角是______.
分析：根据互补的两个角的和是180°即可求解．
【解答】解：这个角的补角是180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】考查了补角的定义，根据补角的定义准确的表示出题目中所叙述的关系是解题的关键．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．
例2(2023秋•武汉期末）一个角的补角是这个角余角的3倍，则这个角是_______度．
分析：设这个角为x，根据余角和补角的概念、结合题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个角为x，
由题意得，180°﹣x＝3（90°﹣x），
解得x＝45°，
则这个角是45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
【随堂练习】
1．(2023•宿迁一模）一个角的度数是30°，则它的补角的度数为________．
【解答】解：这个角的补角＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
2．(2023秋•新宾县期末）如果∠α＝46°，那么∠α的余角的度数为（ ）
A．56°B．54°C．46°D．44°
【解答】解：∵∠α＝46°，
∴它的余角为90°﹣∠α
＝90°﹣46°
＝44°．
故选：D．
3．(2023秋•奉化区期末）已知∠α＝75°，则∠α的余角等于（ ）
A．15°B．25°C．75°D．105°
【解答】解：∠α的余角＝90°﹣∠α＝90°﹣75°＝15°．
故选：A．
4．(2023秋•肥西县期末）已知∠A＝55°34′，则∠A的余角等于（ ）
A．44°26′B．44°56′C．34°56′D．34°26′
【解答】解：∵∠A＝55°34′，
∴∠A的余角为：90°﹣55°34′＝34°26′．
故选：D．
综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（ ）
A．90°﹣α﹣βB．90°﹣α+βC．90°+α﹣βD．α﹣β
【解答】解：如图：
解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α，
∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β，
又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β．
故选：A．
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．60°
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故选：A．
3．如图，射线OA表示（ ）
A．南偏东70°B．北偏东30°C．南偏东30°D．北偏东70°
【解答】解：如图：OA北偏东30°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（ ）度．
A．90+2αB．180+αC．180﹣αD．180
【解答】解：由旋转的性质知：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠CAE+∠DAC＝90°+90°＝180°，
故选：D．
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝ 41°52′ ．
【解答】解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案为：41°52′．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝ 15°或135° ．
【解答】解：分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝27°，
∴5x+4x＝27，
解得：x＝3，
∴∠AOC＝15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∠AOB＝27°，
∴5x＝27+4x，
解得：x＝27
∴∠AOC＝135°，
故答案为：15°或135°．
7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝ 20 °．
【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠AOD＝∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠AOD＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案为：20
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠COD＝∠AOC＝110°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣70°＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°；
（2）OC与OE的位置关系是垂直．
理由：∵∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝（360°﹣∠AOD），
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE
＝（360°﹣∠AOD）﹣∠BOD
＝（360°﹣∠AOD﹣∠BOD）
＝[360°﹣（∠AOD+∠BOD）]
＝×180°＝90°，
∴OC⊥OE．
9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝ 59°40′ ，∠AOM＝ 29°20′ ，∠BON＝ 60°40′ ；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝ 2α （用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°20′，
∴∠BOC＝59°40′，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝119°20′，
∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝119°20′﹣90°＝29°20′，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°40′，
故答案为：59°40′，29°20′，60°40′；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝180°﹣2α，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝2α；
故答案为：2α；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝α﹣90°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
故∠BON的度数为360°﹣2α．