七年级数学暑期精品讲义第11讲.角的概念及运算--提高班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第11讲.角的概念及运算--提高班(学生版+解析)，共31页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1角的概念及表示方法
角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
由角的定义可知：
角的组成部分为：两条边和一个顶点；
顶点是这两条边的交点；
角的两条边是射线，是无限延伸的；
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
角的表示方法
利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
用数字来表示角，如图．

用希腊字母来表示角，如图．

【例题精选】
例1 如图，分别用三个大写字母表示∠1，∠2，∠3，∠4，∠5．
【随堂练习】
1．(2023春•淄博期中）在下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023秋•福田区期末）如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．∠ADE就是∠D
B．∠ABC可以用∠B表示
C．∠ABC和∠ACB是同一个角
D．∠BAC和∠DAE不是同一个角
2角的度量与计算
角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．
我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．
【例题精选】
例1 (2023秋•惠城区期末）把16.42°用度分秒表示为_______________．
例2(2023秋•叶县期末）若∠A＝60°18'，∠B＝60°15'30''，∠C＝60.25°，则（ ）
A．∠A＞∠B＞∠CB．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠BD．∠C＞∠A＞∠B
【随堂练习】
1．(2023秋•建平县期末）1.45°＝_______′＝_______″．
2．(2023秋•扬州期末）120°24′﹣60.6°＝_______°．
3．(2023秋•大名县期末）已知∠α＝21′，∠β＝0.35°，则∠α与∠β的大小关系是（ ）
A．∠α＝∠βB．∠α＞∠βC．∠α＜∠βD．无法确定
3角平分线
角平分线
角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
，
角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．
，
角平分线的画法：
测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．
【例题精选】
例1(2023秋•南平期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．
例2(2023秋•蒙城县期末）如图，已知，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∠EOF＝65°，则∠AOC＝________°．
【随堂练习】
1．(2023秋•南京期末）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠AOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOBD．∠BOC＝∠AOB
2．(2023秋•满城区期末）如图，O是直线AB上一点，OC为一条射线，射线OM平分∠AOC，若∠AOC＝76°，则∠BOM等于（ ）
A．38°B．104°C．142°D．144°
4余角与补角
角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。
余角与补角
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

【例题精选】
例1 (2023秋•兰考县期末）∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1＝50°，那么∠3＝______．
例2 (2023秋•惠来县期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOC＝35°，则∠AOD＝________°．
【随堂练习】
1．(2023秋•义乌市期末）下列判断中，正确的是（ ）
①锐角的补角一定是钝角；
②一个角的补角一定大于这个角；
③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；
④锐角和钝角互补．
A．①②B．①③C．①④D．②③
2．(2023秋•阜南县期末）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．40°
3．(2023秋•新宾县期末）若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β相等的是（ ）
A．B．
C．D．
综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（ ）
A．90°﹣α﹣βB．90°﹣α+βC．90°+α﹣βD．α﹣β
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．60°
3．如图，射线OA表示（ ）
A．南偏东70°B．北偏东30°C．南偏东30°D．北偏东70°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（ ）度．
A．90+2αB．180+αC．180﹣αD．180
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝ ．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝ ．
7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝ ．
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？
9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝ ，∠AOM＝ ，∠BON＝ ；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝ （用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．
第11讲 角的概念及运算
1角的概念及表示方法
角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
由角的定义可知：
角的组成部分为：两条边和一个顶点；
顶点是这两条边的交点；
角的两条边是射线，是无限延伸的；
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
角的表示方法
利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
用数字来表示角，如图．

用希腊字母来表示角，如图．

【例题精选】
例1 如图，分别用三个大写字母表示∠1，∠2，∠3，∠4，∠5．
分析：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间．
【解答】解：由题可得，∠BAO为∠1，∠DAO为∠2，∠ABO为∠3，∠DOC为∠4，∠OCB为∠5．
【点评】本题主要考查了角的概念．本题主要考查了角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
【随堂练习】
1．(2023春•淄博期中）在下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项不合题意；
B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项符合题意；
C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项不合题意；
D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项不合题意；
故选：B．
2．(2023秋•福田区期末）如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．∠ADE就是∠D
B．∠ABC可以用∠B表示
C．∠ABC和∠ACB是同一个角
D．∠BAC和∠DAE不是同一个角
【解答】解：A、错误．理由∠D在图中，不能明确表示哪一个角，必须由三个字母表示，本选项不符合题意．
B、∠ABC可以用∠B表示，正确，本选项符合题意．
C、∠ABC和∠ACB不是同一个角，本选项不符合题意．
D、∠BAC和∠DAE是同一个角，本选项不符合题意，
故选：B．
2角的度量与计算
角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．
我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．
【例题精选】
例1 (2023秋•惠城区期末）把16.42°用度分秒表示为_______________．
分析：根据不到1度的转化成分，根据不到1分的转化成秒，可得答案．
【解答】解：把16.42°用度分秒表示为16°25′12″．
故答案为：16°25′12″．
【点评】本题考查了度分秒的转化，度转化成分乘60，分转化成秒乘60．
例2(2023秋•叶县期末）若∠A＝60°18'，∠B＝60°15'30''，∠C＝60.25°，则（ ）
A．∠A＞∠B＞∠CB．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠BD．∠C＞∠A＞∠B
分析：∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．
【解答】解：∵∠A＝60°18′，∠B＝60°15′30″，∠C＝60.25°＝60°15′，
∴∠A＞∠B＞∠C．
故选：A．
【点评】主要考查了度分秒的换算．在比较时要注意统一单位后再比较．
【随堂练习】
1．(2023秋•建平县期末）1.45°＝_______′＝_______″．
【解答】解：1.45°×60＝87′．
87′×60＝5220″．
故答案是：87；5220．
2．(2023秋•扬州期末）120°24′﹣60.6°＝_______°．
分析：根据1°＝60′先变形，再分别相减即可．
【解答】解：原式＝120.4°﹣60.6°＝59.8°．
故答案是：59.8．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，能熟记1°＝60′和1′＝60″是解此题的关键．
3．(2023秋•大名县期末）已知∠α＝21′，∠β＝0.35°，则∠α与∠β的大小关系是（ ）
A．∠α＝∠βB．∠α＞∠βC．∠α＜∠βD．无法确定
【解答】解：∵∠α＝21′，∠β＝0.35°＝21′，
∴∠α＝∠β．
故选：A．
3角平分线
角平分线
角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
，
角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．
，
角平分线的画法：
测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．
【例题精选】
例1(2023秋•南平期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．
分析：先根据角平分线，求得∠BOE的度数，再根据角的和差关系，求得∠BOF的度数，最后根据角平分线，求得∠BOC、∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB
∴∠BOE＝45°
又∵∠EOF＝60°
∴∠FOB＝60°﹣45°＝15°
∵OF平分∠BOC
∴∠COB＝2×15°＝30°
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键．注意：也可以根据∠AOC的度数是∠EOF度数的2倍进行求解．
例2(2023秋•蒙城县期末）如图，已知，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∠EOF＝65°，则∠AOC＝________°．
分析：根据角平分线的定义和角的关系解答即可．
【解答】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴∠AOB＝2∠BOE，∠BOC＝2∠BOF，
∵∠EOF＝65°，
∴∠AOC＝130°，
故答案为：130．
【点评】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线得出∠AOB＝2∠BOE，∠BOC＝2∠BOF．
【随堂练习】
1．(2023秋•南京期末）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠AOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOBD．∠BOC＝∠AOB
【解答】解：如图：
A、∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；
B、∠AOB＝2∠AOC能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；
C、∠AOC+∠COB＝∠AOB不能确定OC平分∠AOB，故此选项符合题意；
D、∠BOC＝∠AOB，能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意．
故选：C．
2．(2023秋•满城区期末）如图，O是直线AB上一点，OC为一条射线，射线OM平分∠AOC，若∠AOC＝76°，则∠BOM等于（ ）
A．38°B．104°C．142°D．144°
【解答】解：∵∠AOC＝76°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝104°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝38°，
∴∠BOM＝∠MOC+∠BOC＝142°，
故选：C．
4余角与补角
角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。
余角与补角
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

【例题精选】
例1 (2023秋•兰考县期末）∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1＝50°，那么∠3＝______．
分析：根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°求解．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠1＝50°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了余角和补角，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．
例2 (2023秋•惠来县期末）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOC＝35°，则∠AOD＝________°．
分析：由△AOB与△COD为直角三角形得到∠AOB＝∠COD＝90°，则∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，然后利用角与角之间的和差关系即可得到∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝35°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+55°＝145°．
故答案为：145．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
【随堂练习】
1．(2023秋•义乌市期末）下列判断中，正确的是（ ）
①锐角的补角一定是钝角；
②一个角的补角一定大于这个角；
③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；
④锐角和钝角互补．
A．①②B．①③C．①④D．②③
【解答】解：①锐角的补角一定是钝角，说法正确；
②一个角的补角一定大于这个角，说法错误例如90°角的补角；
③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，说法正确；
④锐角和钝角互补，说法错误，例如60°角和100°角，
正确的说法有2个，是①③，
故选：B．
2．(2023秋•阜南县期末）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝140°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．40°
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝140°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝50°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣50°
＝40°．
故选：D．
3．(2023秋•新宾县期末）若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由图形得：∠α+∠β＝90°，不合题意；
B、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90°﹣45°＝45°，符合题意；
C、由图形得：∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，不合题意；
D、由图形得：90°﹣∠β＝60°﹣∠α，即∠α+30°＝∠β，不合题意．
故选：B．
综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（ ）
A．90°﹣α﹣βB．90°﹣α+βC．90°+α﹣βD．α﹣β
【解答】解：如图：
解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α，
∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β，
又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β．
故选：A．
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．60°
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故选：A．
3．如图，射线OA表示（ ）
A．南偏东70°B．北偏东30°C．南偏东30°D．北偏东70°
【解答】解：如图：OA北偏东30°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（ ）度．
A．90+2αB．180+αC．180﹣αD．180
【解答】解：由旋转的性质知：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠CAE+∠DAC＝90°+90°＝180°，
故选：D．
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝ 41°52′ ．
【解答】解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案为：41°52′．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝ 15°或135° ．
【解答】解：分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝27°，
∴5x+4x＝27，
解得：x＝3，
∴∠AOC＝15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∠AOB＝27°，
∴5x＝27+4x，
解得：x＝27
∴∠AOC＝135°，
故答案为：15°或135°．
7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝ 20 °．
【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠AOD＝∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠AOD＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案为：20
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠COD＝∠AOC＝110°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣70°＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°；
（2）OC与OE的位置关系是垂直．
理由：∵∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝（360°﹣∠AOD），
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE
＝（360°﹣∠AOD）﹣∠BOD
＝（360°﹣∠AOD﹣∠BOD）
＝[360°﹣（∠AOD+∠BOD）]
＝×180°＝90°，
∴OC⊥OE．
9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝ 59°40′ ，∠AOM＝ 29°20′ ，∠BON＝ 60°40′ ；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝ 2α （用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°20′，
∴∠BOC＝59°40′，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝119°20′，
∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝119°20′﹣90°＝29°20′，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°40′，
故答案为：59°40′，29°20′，60°40′；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝180°﹣2α，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝2α；
故答案为：2α；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝α﹣90°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
故∠BON的度数为360°﹣2α．