七年级数学暑期精品讲义第11讲.角的概念及运算--满分班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第11讲.角的概念及运算--满分班(学生版+解析)，共28页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1角的概念及表示方法
角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
由角的定义可知：
角的组成部分为：两条边和一个顶点；
顶点是这两条边的交点；
角的两条边是射线，是无限延伸的；
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
角的表示方法
利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
用数字来表示角，如图．

用希腊字母来表示角，如图．

【例题精选】
例1 如图，分别指出以射线OA，OB，OC为一边的角，并把它们表示出来．
【随堂练习】
1．(2023秋•正定县期末）如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
A．∠AB．∠EC．∠αD．∠1
2．(2023秋•南海区月考）下列四个语句中，正确的是（ ）
①如果线段AB＝BC，则B是线段AC的中点；
②两点之间，直线最短；
③射线AB与射线BA表示同一条射线；
④如图，∠ABD也可用∠B表示．
A．0个B．1个C．2个D．3个
2角的度量与计算
角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．
我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．
【例题精选】
例1(2023秋•江汉区期末）关于比较38°15′和38.15°，下列说法正确的是（ ）
A．38°15′＞38.15°B．38°15′＜38.15°
C．38°15′＝38.15°D．无法比较
例2(2023秋•蚌埠期末）下列换算中，错误的是（ ）
A．47.28°＝47°16'48''B．83.5°＝83°50'
C．16°5'24''＝16.09°D．0.25°＝900''
【随堂练习】
1．(2023春•岱岳区期中）下列换算中，错误的是（ ）
A．0.25°＝900″B．16°5′24″＝16.09°
C．47.28°＝47°16′48″D．80.5°＝80°50′
3角平分线
角平分线
角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
，
角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．
，
角平分线的画法：
测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．
【例题精选】
例1 (2023秋•潜江期末）如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．
例2(2023秋•满城区期末）如图，点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，OD是∠BOC的平分线，则∠COD＝_______度．
【随堂练习】
1．(2023秋•盐田区期末）如图，∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，OD是∠AOC的角平分线，则∠BOD＝（ ）
A．45°B．75°C．85°D．90°
2．(2023秋•顺德区期末）如图，OC是∠AOB的平分线，若∠BOC＝36°，则∠AOB的度数为（ ）
A．72°B．60°C．54°D．36°
4余角与补角
角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。
余角与补角
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

【例题精选】
例1如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝∠DOE＝90°，指出图中与∠BOE相等的角，互余的角和互补的角．
【随堂练习】
1．(2023秋•庐江县期末）∠α的余角与∠α的补角之和为120°，∠α的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
2．(2023秋•玉田县期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（ ）
A．90°﹣α﹣βB．90°﹣α+βC．90°+α﹣βD．α﹣β
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．60°
3．如图，射线OA表示（ ）
A．南偏东70°B．北偏东30°C．南偏东30°D．北偏东70°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（ ）度．
A．90+2αB．180+αC．180﹣αD．180
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝ ．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝ ．
7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝ ．
三．解答题
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？
9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝ ，∠AOM＝ ，∠BON＝ ；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝ （用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．
第11讲 角的概念及运算
1角的概念及表示方法
角的定义
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义2：角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．
如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角．
如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角．
由角的定义可知：
角的组成部分为：两条边和一个顶点；
顶点是这两条边的交点；
角的两条边是射线，是无限延伸的；
角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关；
射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部．
角的表示方法
利用三个大写字母来表示，如图

注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．
利用一个大写字母来表示，如图．

注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．
用数字来表示角，如图．

用希腊字母来表示角，如图．

【例题精选】
例1 如图，分别指出以射线OA，OB，OC为一边的角，并把它们表示出来．
分析：根据角的概念（有公共端点的两条射线组成的图形叫角）写出即可，注意不要漏角啊．
【解答】解：以射线OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；
以射线OB为一边的角有∠BOA，∠BOC，∠BOD；
以射线OC为一边的角有∠COD，∠COB，∠COA．
【点评】本题考查了有关角的概念问题，注意：数角的方法（从一边数，再按一个方向数），这样才能做到不重不漏．
【随堂练习】
1．(2023秋•正定县期末）如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
A．∠AB．∠EC．∠αD．∠1
【解答】解：图中的角有∠A、∠1、∠α、∠AEC，
即表示方法不正确的有∠E，
故选：B．
2．(2023秋•南海区月考）下列四个语句中，正确的是（ ）
①如果线段AB＝BC，则B是线段AC的中点；
②两点之间，直线最短；
③射线AB与射线BA表示同一条射线；
④如图，∠ABD也可用∠B表示．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：①说法错误，必须说明A、B、C三点共线时；
②说法错误，应该是两点之间，线段最短；
③说法错误，射线AB与射线BA不表示同一条射线，因为射线端点不同；
④说法错误，以点B为顶点的角不止一个，故不能用∠B表示．
故选：A．
2角的度量与计算
角的度量
把一个周角等分，每一份就是度的角，记作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，记作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，记作．
角度的换算
角的度、分、秒是进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．
度＝分() 分=秒()
角度之间的关系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
度量工具：我们常用的度量角的工具为量角器（也叫半圆仪）．
我们常用的一副三角板，其中一个三角分别为、、，另一个三个角分别为、、．
【例题精选】
例1(2023秋•江汉区期末）关于比较38°15′和38.15°，下列说法正确的是（ ）
A．38°15′＞38.15°B．38°15′＜38.15°
C．38°15′＝38.15°D．无法比较
分析：先把38.15°转化成度、分的形式，再进行比较．
【解答】解：∵1°＝60′，
∴38.15°＝38°+（0.15×60）′＝38°9′，
∴38°15′＞38.15度．
故选：A．
【点评】考查度、分、秒的换算，此类题实际上是进行度、分、秒的转化运算，然后再进行比较，相对比较简单，注意以60为进制即可．
例2(2023秋•蚌埠期末）下列换算中，错误的是（ ）
A．47.28°＝47°16'48''B．83.5°＝83°50'
C．16°5'24''＝16.09°D．0.25°＝900''
分析：利用1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″对各选项进行判断．
【解答】解：A、47.28°＝47°16'48''，所以A选项的换算正确；
B、83.5°＝83°30'，所以B选项的换算错误；
C、16°5'24''＝16.09°，所以C选项的换算正确；
D、0.25°＝900″，所以D选项的换算正确．
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
【随堂练习】
1．(2023春•岱岳区期中）下列换算中，错误的是（ ）
A．0.25°＝900″B．16°5′24″＝16.09°
C．47.28°＝47°16′48″D．80.5°＝80°50′
【解答】解：A、0.25°＝15′＝900″，正确，不合题意；
B、16°5′24″＝16°5.4′＝16.09°，正确，不合题意；
C、47.28°＝47°16′48″，正确，不合题意；
D、80.5°＝80°30′，错误，符合题意．
故选：D．
3角平分线
角平分线
角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
，
角的三等分线：从一个角顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角的射线，叫做这个角的三等分线．
，
角平分线的画法：
测量法：用量角器测量角的度数，根据角的度数平分角．
用折叠法：
在一张透明纸上画一个角，记为，折线使射线与射线重合，把纸展开，以为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是的平分线．
【例题精选】
例1 (2023秋•潜江期末）如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．
分析：设∠AOC＝x，则∠BOC＝4x，可得∠AOB，∠AOD，由∠COD＝36°求得x，得到结果．
【解答】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝4x，
∴∠AOB＝5x，
∵OD平分∠AOB，
∴，
∴＝，
∴x＝24°，
∴∠AOB＝5x＝5×24°＝120°．
【点评】本题考查了角的计算，利用方程思想是解答本题的关键．
例2(2023秋•满城区期末）如图，点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，OD是∠BOC的平分线，则∠COD＝_______度．
分析：直接利用平角的定义得出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案．
【解答】解：∵点A、O、B在一条直线上，∠AOC＝130°，
∴∠COB＝180°﹣130°＝50°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠BOC＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•盐田区期末）如图，∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，OD是∠AOC的角平分线，则∠BOD＝（ ）
A．45°B．75°C．85°D．90°
【解答】解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
又∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠COD＝45°，
∴∠BOD＝45°+30°＝75°，
故选：B．
2．(2023秋•顺德区期末）如图，OC是∠AOB的平分线，若∠BOC＝36°，则∠AOB的度数为（ ）
A．72°B．60°C．54°D．36°
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，∠BOC＝36°，
∴∠AOB＝2∠BOC＝72°，
故选：A．
4余角与补角
角的分类：
锐角：度数大于，小于的角称为锐角；
直角：度数为的角称为直角；
钝角：大于，小于的角称为钝角。
余角与补角
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为余角，简称“互余”．
如果两个角的和等于，就说这两个角叫做互为补角，简称“互补”．
余角、补角的性质：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的补角相等．
方位角
方位角：表示方向的角，一般以观测者的位置为中心，正北、正南方向为基准，描述物体的方位或运动的方向，通常表达为北（南）偏东（西）××度．
如图，点在点的北偏东的位置，点在点的南偏西的位置．

【例题精选】
例1如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝∠DOE＝90°，指出图中与∠BOE相等的角，互余的角和互补的角．
分析：根据余角的性质可以找到与∠BOE相等的角；根据余角的定义找到互余的角；根据补角的定义找到互补的角．
【解答】解：图中与∠BOE相等的角是∠COD，理由是：
∵∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣90°＝90°，即∠EOC+∠BOE＝90°，
∵∠DOE＝90°，即∠EOC+∠COD＝90°，
∴∠BOE＝∠COD；
图中与∠BOE互余的角有：∠COE，∠AOD；
图中与∠BOE互补的角有：∠AOE．
【点评】本题考查了余角和补角的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•庐江县期末）∠α的余角与∠α的补角之和为120°，∠α的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【解答】解：由题意得：（90°﹣∠α）+（180°﹣∠α）＝120°，
解得：∠α＝75°，
故选：D．
2．(2023秋•玉田县期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：设这个角为∠α，依题意，
得180°﹣∠α+10°＝3（90°﹣∠α）
解得∠α＝40°．
故选：C．
综合应用
一．选择题（共4小题）
1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是（ ）
A．90°﹣α﹣βB．90°﹣α+βC．90°+α﹣βD．α﹣β
【解答】解：如图：
解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α，
∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β，
又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β．
故选：A．
2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
A．55°B．50°C．45°D．60°
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故选：A．
3．如图，射线OA表示（ ）
A．南偏东70°B．北偏东30°C．南偏东30°D．北偏东70°
【解答】解：如图：OA北偏东30°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，则∠BAE+∠DAC＝（ ）度．
A．90+2αB．180+αC．180﹣αD．180
【解答】解：由旋转的性质知：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠CAE+∠DAC＝90°+90°＝180°，
故选：D．
二．填空题（共3小题）
5．如图，∠AOB＝72°32′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°40′，则∠AOC＝ 41°52′ ．
【解答】解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案为：41°52′．
6．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，则∠AOC＝ 15°或135° ．
【解答】解：分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝27°，
∴5x+4x＝27，
解得：x＝3，
∴∠AOC＝15°；
②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∠AOB＝27°，
∴5x＝27+4x，
解得：x＝27
∴∠AOC＝135°，
故答案为：15°或135°．
7．如图，将三个相同正方形的一个顶点重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，则∠AOD＝ 20 °．
【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠AOD＝∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠AOD＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案为：20
三．解答题（共2小题）
8．如图，射线OC端点O在直线AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）当∠AOC＝110°时，求∠BOE的度数；
（2）OC与OE有怎样的位置关系？为什么？
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠COD＝∠AOC＝110°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣70°＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°；
（2）OC与OE的位置关系是垂直．
理由：∵∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝（360°﹣∠AOD），
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE
＝（360°﹣∠AOD）﹣∠BOD
＝（360°﹣∠AOD﹣∠BOD）
＝[360°﹣（∠AOD+∠BOD）]
＝×180°＝90°，
∴OC⊥OE．
9．如图1，点O在直线NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，则∠BOC＝ 59°40′ ，∠AOM＝ 29°20′ ，∠BON＝ 60°40′ ；
（2）若∠AOC＝α，则∠BON＝ 2α （用含有α的式子表示）；
（3）将∠AOB绕着点O顺时针转到图2的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α（α为钝角），求∠BON的度数（用含α的式子表示）．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°20′，
∴∠BOC＝59°40′，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝119°20′，
∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝119°20′﹣90°＝29°20′，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°40′，
故答案为：59°40′，29°20′，60°40′；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝180°﹣2α，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝2α；
故答案为：2α；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝α﹣90°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
故∠BON的度数为360°﹣2α．