新九年级数学时期讲义第12讲整体复习测评1(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第12讲整体复习测评1(学生版+解析)，共22页。

1．(2023•思明区校级模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
2．(2023秋•朝阳区期末）把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍
3．(2023秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
4．(2023秋•朝阳区期末）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
5．(2023春•北京期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．(2023春•北京期末）方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．
7．(2023春•北京期末）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝3x2+2B．y＝3x2﹣2C．y＝3（x+2）2D．y＝3（x﹣2）2
8．(2023春•北京期末）小亮租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的邮局办事，在邮局停留了5分钟后仍沿原路匀速骑行返回．小亮离家的距离y（单位：米）与他出发的时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示，下列叙述正确的是（ ）
A．小亮共骑行了30分钟
B．小亮返回途中的骑行速度是80米/分
C．小亮返回时的骑行速度比出发时的骑行速度快
D．出发20分钟时小亮离家1600米
9．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（ ）
A．4.8mB．6.4mC．8mD．10m
二．填空题（共8小题）
10．(2023秋•朝阳区期末）点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为 ．
11．(2023秋•朝阳区期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为 ．
12．(2023•北京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式： ．
13．(2023秋•朝阳区期末）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为 ．
14．(2023秋•朝阳区期末）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为 ．
15．(2023•广陵区校级二模）一元二次方程x（x﹣3）＝0的解是 ．
16．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
17．如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
三．解答题（共7小题）
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝120°，AB＝AD，E是BC的中点，DE＝15，DC＝24，求四边形ABCD的周长．
19．(2023秋•朝阳区期末）如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．
20．(2023秋•朝阳区期末）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：
（1）求y2的表达式；
（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ．
21．(2023秋•朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
22．(2023•朝阳区校级模拟）点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．
（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；
（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．
23．如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．
（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；
（2）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当α＝ 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；
②当α＝ 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；
（2）当α＝90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
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整体复习测评
一．选择题（共9小题）
1．(2023•思明区校级模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
分析：抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，
其顶点坐标为：（2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查的是抛物线的性质，根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标．
2．(2023秋•朝阳区期末）把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍
分析：根据相似三角形的性质解答．
【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
3．(2023秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
分析：由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．(2023秋•朝阳区期末）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
分析：连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．
【解答】解：如图，
∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，
∴连接PP'、NN'、MM'，
作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
【点评】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
5．(2023春•北京期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
分析：根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝6，
∴DE＝BC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
6．(2023春•北京期末）方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．
分析：根据判别式的意义得到△＝k2﹣4＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝k2﹣4＝0，
解得k＝±2．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7．(2023春•北京期末）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝3x2+2B．y＝3x2﹣2C．y＝3（x+2）2D．y＝3（x﹣2）2
分析：先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到顶点平移后对应点的坐标，然后利用顶点式写出平移后抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移2个单位长度得到对应点的坐标为（2，0），所以平移后所得抛物线的表达式是y＝3（x﹣2）2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．(2023春•北京期末）小亮租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的邮局办事，在邮局停留了5分钟后仍沿原路匀速骑行返回．小亮离家的距离y（单位：米）与他出发的时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示，下列叙述正确的是（ ）
A．小亮共骑行了30分钟
B．小亮返回途中的骑行速度是80米/分
C．小亮返回时的骑行速度比出发时的骑行速度快
D．出发20分钟时小亮离家1600米
分析：骑行时间＝总时间﹣办事所用时间，故可对A做出判断；依据速度＝路程÷时间可对B、C做出判断；求得返回所走的路程，然后依据返回总路程为2400米可对D做出判断．
【解答】解：30﹣5＝25分钟，故小亮共骑行了25分钟，故A错误；
2400÷（30﹣15）＝160米/秒，故B错误；
2400÷10＝240米/秒，240＞160，故小亮返回时的骑行速度比出发时的骑行速度慢，故C错误；
2400﹣160×（20﹣15）＝1600，故出发20分钟时小亮离家1600米，故D正确．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数问题，解题的关键是根据速度、时间、路程之间关系分析解答．
9．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（ ）
A．4.8mB．6.4mC．8mD．10m
分析：利用相似三角形对应线段成比例解题．
【解答】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则＝，
即＝
∴x＝8
故选：C．
【点评】此题主要考查相似三角形中的对应线段成比例．
二．填空题（共8小题）
10．(2023秋•朝阳区期末）点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为 （1，3） ．
分析：直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
11．(2023秋•朝阳区期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为 2 ．
分析：判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．
【解答】解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，
∴，
，
∴AB＝2，
故答案为2．
【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．
12．(2023•北京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式： 答案不唯一，如y＝ ．
分析：直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．
【解答】解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，
∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．
故答案为：答案不唯一，如y＝．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确得出反比例函数图象上点的纵坐标为1是解题关键．
13．(2023秋•朝阳区期末）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为 ．
分析：连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝1，
∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：＝π，
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD＝90°是解题的关键．
14．(2023秋•朝阳区期末）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为 2 ．
分析：根据根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），
∴m+n＝﹣＝2．
故答案是：2．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，解题时，利用了抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系以及根与系数的关系求得答案．
15．(2023•广陵区校级二模）一元二次方程x（x﹣3）＝0的解是 x1＝0，x2＝3 ．
分析：利用因式分解法求解．
【解答】解：x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故答案为x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
16．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换： 相似变换 （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
分析：本题考查轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，得出正确结果．
【解答】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
【点评】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．比较容易选错的答案是位似变换．
17．如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件： ∠D＝∠B（答案不唯一） ，使△ABC∽△ADE．
分析：根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE
∴∠DAE＝∠BAC
∴当∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE时两三角形相似．
故答案为：∠D＝∠B（答案不唯一）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
三．解答题（共7小题）
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝120°，AB＝AD，E是BC的中点，DE＝15，DC＝24，求四边形ABCD的周长．
分析：过A作AF⊥BD与F，根据已知∠A＝∠ADC＝120°，AB＝AD，可知∠ADC＝30°，即可证明∠BDC＝90°，然后根据直角三角形斜边中线是斜边的一般可求BC的长，继而求出BD的长，在Rt△AED中，根据特殊角的三角函数值可求得AD的长，即可求得ABCD的周长．
【解答】解：如图，过A作AF⊥BD与F，
∵∠BAD＝120°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，E是BC的中点，DE＝15，
∴BC＝2DE＝30，
则BD＝＝＝18，
∵AD＝AB，AF⊥BD，
∴DF＝BD＝×18＝9，
在Rt△AFD中，
∵∠AFD＝90°，∠ADB＝30°，
∴AD＝AB＝＝＝6，
则四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝6+30+24+6＝54+12．．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识以及勾股定理的应用，难度一般，解答本题的关键是在各直角三角形中利用解直角三角形的知识求出四边形的边长．
19．(2023秋•朝阳区期末）如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．
分析：首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°．
根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．
∴AB＝BD．
∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．
∴∠BDA＝45°．
∴∠ADC＝30°．
【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．(2023秋•朝阳区期末）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：
（1）求y2的表达式；
（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 x＜﹣2或x＞1 ．
分析：（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；
（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．
【解答】解：（1）根据题意设y2的表达式为：
y2＝a（x+1）2﹣1，
把（0，0）代入得a＝1，
∴y2＝x2+2x；
（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；
∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），
而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．
故答案为：x＜﹣2或x＞1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
21．(2023秋•朝阳区期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
分析：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
22．(2023•朝阳区校级模拟）点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．
（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；
（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．
分析：（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD的长度；
（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．
【解答】解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，
∴B（3，1）．
同理可求：C（1，3），D（，3）．
∴AB＝2，CD＝．
（2）AB＞CD．
证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，
∴A（a，）．
∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，
∴B（3a，）．
同理可求：C（a，），D（，）．
∴AB＝2a，CD＝．
∵a＞0，
∴2a＞．
∴AB＞CD．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的坐标是解题的关键．
23．如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．
（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；
（2）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案．
分析：（1）直接根据旋转作图的方法作图即可；
（2）根据位似作图的方法作图，如位似中心在中间的图形作法为①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比1：2，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大的图形．
【解答】解：（1）如图所示．（3分）
（2）如图所示．（3分）
【点评】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当α＝ 30 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 1 ；
②当α＝ 60 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 1.5 ；
（2）当α＝90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
分析：（1）根据旋转的性质和等腰梯形的性质，①假设四边形EDBC是等腰梯形，根据题目已知条件及外角和定理可求α，AD；②假设四边形EDBC是直角梯形，根据题目已知条件及内角和定理可求α，AD．
（2）根据∠α＝∠ACB＝90°先证明四边形EDBC是平行四边形．再利用Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2求得AB，AC，AO的长度；在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝2，可求BD，比较得BD＝BC，可证明四边形EDBC是菱形．
【解答】解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，
∵∠EDB＝∠B＝60°，而∠A＝30°，
∴α＝∠EDB﹣∠A＝30°，
∴△ADO是等腰三角形，
∴AD＝OD，
过点O作OF∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OF⊥AC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF＝BC＝1，
∵α＝∠EDB﹣∠A＝30°，
∴∠ODF＝60°＝∠DOF＝60°，
∴△ODF是等边三角形，
∴OD＝OF＝DF＝1，
∵∠A＝∠α＝30°，
∴AD＝OD＝1；
②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA＝90°，而∠A＝30°，
根据三角形的内角和定理，得α＝90°﹣∠A＝60°，此时，AD＝AC×＝1.5．
（2）当∠α＝90°时，四边形EDBC是菱形．
∵∠α＝∠ACB＝90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四边形EDBC是平行四边形．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠A＝30°，
∴AB＝4，AC＝2，
∴AO＝＝．
在Rt△AOD中，∠A＝30°，OD＝AD，
AD＝＝，
∴AD＝2，
∴BD＝2，
∴BD＝BC．
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形．
【点评】解决此问题，既要弄清等腰梯形、直角梯形及菱形的判定，又要掌握有关旋转的知识，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．
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日期：2020/6/26 11:52:15；用户：杨晓红；邮箱：13811956842；学号：37113097x
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