新九年级数学时期讲义第5讲二次函数(三)-满分班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第5讲二次函数(三)-满分班(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
1.列二次函数关系
【例题精选】
例1(2023•开远市一模）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设利润为W元，写出W与x的函数关系式．
【随堂练习】
1.(2023秋•岑溪市期中）小李家用40m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，如图．
（1）写出这块菜园的面积y（m2）与垂直于墙的边长x（m）之间的函数解析式；
（2）直接写出x的取值范围．

2．实际问题
【例题精选】
例1 (2023•南关区校级一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想帮助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝m，若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为 180 ．
例2 (2023秋•洛宁县期末）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【随堂练习】
1．(2023•杭州模拟）某旅行社有100张床位，每床每晚收费100元时，可全部租出，每床每晚收费提高20元，则有10张床位未租出；若每床每晚收费再提高20元，则再减少10张床位未租出；以每次提高20元的这种方法变化下去，为了获利最大，每床每晚收费应提高（ ）
A．40元或60元B．40元C．60元D．80元
2．(2023•沈河区一模）某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件，当销售单价为_________元时，每天获取的利润最大．
3．(2023•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为_______s．
4．(2023秋•长兴县期中）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？
（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？
3．二次函数与几何综合
【例题精选】
例1(2023秋•澧县期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），C为顶点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
例2 (2023春•沙坪坝区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点N，使S△ABN＝S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．
【随堂练习】
1．(2023•碑林区校级模拟）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．若抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称．
（1）求抛物线L1与抛物线L2的解析式：
（2）在抛物线L1上是否存在一点P，在抛物线L2上是否存在一点Q，使得以BC为边，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标：若不存在，请说明理由．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元B．625元C．650元D．675元
2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）
A．米B．8米C．米D．10米
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）
A．（6+3）cmB．（6+2）cmC．（6+2）cmD．（6+3）cm
二．解答题（共5小题）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
（1）求y与x之间的解析式；
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
8．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
销售价格x（元/个）
销售量y（万元）
30≤x≤60
﹣x+8
60≤x≤80
第5讲 二次函数（三）

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
1.列二次函数关系
【例题精选】
例1(2023•开远市一模）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设利润为W元，写出W与x的函数关系式．
分析：（1）涨价为x元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围；
（2）根据总利润＝销量×每件利润可得出利润的表达式．
【解答】解：（1）设每件涨价x元由题意得，
每星期的销量为y＝150﹣10x＝﹣10x+150，（0≤x≤5且x为整数）；
（2）设每星期的利润为W元，
W＝（x+40﹣30）×（150﹣10x）＝﹣10x2+50x+1500．
【点评】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式．
【随堂练习】
1.(2023秋•岑溪市期中）小李家用40m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，如图．
（1）写出这块菜园的面积y（m2）与垂直于墙的边长x（m）之间的函数解析式；
（2）直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为x，
∴平行于墙的边长为40﹣2x，
∴y＝x（40﹣2x），
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x；
（2）由题意，得，
解得0＜x＜20．

2．实际问题
【例题精选】
例1 (2023•南关区校级一模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想帮助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝m，若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为 180 ．
分析：本题是通过构建函数模型解答面积的问题．只要根据题意，列出矩形面积的函数关系式即可
【解答】解：
∵P在矩形ABCD内，P的坐标为（18，6）
∴AB＝m≥6，BC＝28﹣m≥18，得6≤m≤10
矩形的面积为S＝m•（28﹣m）＝﹣m2+28m
整理得S＝﹣（m﹣14）2+196
∵6≤m≤10，在x＝14的左侧，a＜0
∴S随m的增大而增大
∴m＝10时，取得最大值，代入解得S＝﹣（10﹣14）2+196＝180
故答案为：180
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．
例2 (2023秋•洛宁县期末）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
分析：（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W＝（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+170；
（2）W＝（x﹣90）（﹣x+170）
＝﹣x2+260x﹣15300，
∵W＝﹣x2+260x﹣15300＝﹣（x﹣130）2+1600，
而a＝﹣1＜0，
∴当x＝130时，W有最大值1600．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润＝没件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．
【随堂练习】
1．(2023•杭州模拟）某旅行社有100张床位，每床每晚收费100元时，可全部租出，每床每晚收费提高20元，则有10张床位未租出；若每床每晚收费再提高20元，则再减少10张床位未租出；以每次提高20元的这种方法变化下去，为了获利最大，每床每晚收费应提高（ ）
A．40元或60元B．40元C．60元D．80元
【解答】解：设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y＝（100+20x）（100﹣10x）
＝﹣200x2+1000x+10000．
当x＝﹣＝＝2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x＝2或3时，y＝11200；
∴每张床位提高40元或60元．
故选：A．
2．(2023•沈河区一模）某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件，当销售单价为_________元时，每天获取的利润最大．
【解答】解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元，
则y＝（x﹣30）[100+10（60﹣x）]
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∴当x＝50时，y有最大值，且为4000，
故答案为：50．
3．(2023•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为_______s．
【解答】解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
4．(2023秋•长兴县期中）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？
（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？
【解答】解：（1）∵y＝﹣0.1（x2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9
∴对称轴是：直线x＝13
即当（0≤x≤13）提出概念至（13分）之间，学生的接受能力逐步增强；
（2）当x＝10时，y＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．
3．二次函数与几何综合
【例题精选】
例1(2023秋•澧县期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），C为顶点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝mx2﹣2x+n解方程组即可得到结论；
（2）过C作CE⊥y轴于E，根据函数的解析式求得C（﹣1，4），得到CE＝1，OE＝4，设D（0，a），得到OD＝a，DE＝4﹣a，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝mx2﹣2x+n得，，
解得：；
故m的值为﹣1，n的值为3；
（2）存在，
理由：过C作CE⊥y轴于E，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣（x+1）2+4，
∴C（﹣1，4），
∴CE＝1，OE＝4，
设D（0，a），
则OD＝a，DE＝4﹣a，
∵△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠DAO，
∴△CDE∽△DAO，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝1，a2＝3，
∴点D的坐标为（0，1）或（0，3）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
例2 (2023春•沙坪坝区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点N，使S△ABN＝S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．
分析：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，即可求解．
（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数的对称轴于点M，则点M为所求，即可求解．
（3）S△ABN＝S△ABC，则|yN|＝|yC|＝±4，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接BC交函数的对称轴于点M，则点M为所求，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣3，故点M（1，﹣2）．
（3）S△ABN＝S△ABC，则|yN|＝|yC|＝±4，
则x2﹣2x﹣3＝±4，
解得：x＝1或1±2，
故点N的坐标为：（1，﹣4）或（1+2，4）或（1﹣2，4）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【随堂练习】
1．(2023•碑林区校级模拟）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．若抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称．
（1）求抛物线L1与抛物线L2的解析式：
（2）在抛物线L1上是否存在一点P，在抛物线L2上是否存在一点Q，使得以BC为边，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标：若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）
∴OB＝OC＝3OA＝3
∴B（3，0），C（0，3）
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过点A、B、C
∴ 解得：
∴抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线L1的顶点D（1，4）
∵抛物线L2与抛物线L1关于直线x＝2对称
∴两抛物线开口方向、大小相同，抛物线L2的顶点D'与点D关于直线x＝2对称
∴D'（3，4）
∴抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4
（2）存在满足条件的P、Q，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
设抛物线L1上的P（t，﹣t2+2t+3）
①若四边形BCPQ为平行四边形，如图1，
∴BQ∥PC，BQ＝PC
∴BQ可看作是CP向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的
∴Q（t+3，﹣t2+2t）
∵点Q在抛物线L2上
∴﹣t2+2t＝﹣（t+3﹣3）2+4
解得：t＝2
∴P（2，3），Q（5，0）
②若四边形BCQP为平行四边形，如图2，
∴BP∥CQ，BP＝CQ
∴CQ可看作是BP向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到的
∴Q（t﹣3，﹣t2+2t+6）
∴﹣t2+2t+6＝﹣（t﹣3﹣3）2+4
解得：t＝
∴P（，﹣），Q（，﹣）
综上所述，存在P（2，3），Q（5，0）或P（，﹣），Q（，﹣），使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元B．625元C．650元D．675元
【解答】解：设降价x元，所获得的利润为W元，
则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．
∴获得的最大利润为625元．
故选：B．
2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）
A．米B．8米C．米D．10米
【解答】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，
6＝﹣6×+b×，
解得，b＝15
∴函数解析式为s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，s取得最大值，此时s＝，
故选：C．
3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）
A．（6+3）cmB．（6+2）cmC．（6+2）cmD．（6+3）cm
【解答】解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，
点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2，
由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，
将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），
则AD＝2AH+2x＝6+3，
故选：A．
二．解答题（共5小题）
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解板式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C（﹣3，0），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴，解得：，，
∴点B（﹣4，﹣5），
如图，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，
则点M（m，m﹣1），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBM+S△PBA
＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）
＝，
∴当m＝时，P最大，
∴点P（，）；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E（﹣1，﹣2），
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，
联立得D1（0，3），
同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1（0，3），D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）．
5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）写出销售单价x的取值范围；
（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；
（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得，
60≤x≤60×（1+40%），
即60≤x≤84；
（2）由题意得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+120；
（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
（1）求y与x之间的解析式；
（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；
（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）∵当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．
∴，
解得：，
∴y＝﹣x+120（60≤x≤87）．
（2）w＝（﹣x+120）（x﹣60），
w＝﹣x2+180x﹣7200，
w＝﹣（x﹣90）2+900，
当w＝500时，有500＝﹣（x﹣90）2+900，
解得，x＝110（舍去）或x＝70，
故利润是500元时的销售单价70元/件．
（3）又∵60＜x≤60×（1+45%），
即60≤x≤87，
则x＝87时获利最多，
将x＝87代入，得w＝﹣（87﹣90）2+900＝891元．
答：售价定为87元有最大利润为891元．
7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意得，﹣x+8＝2.5，
解得，x＝55，
答：当销售量等于2.5万个时，销售价格等于55元/个；
（2）当30≤x≤60时，w＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；
当60＜x≤80时，w＝（x﹣20）•﹣40＝﹣+89；
（3）当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1（x﹣50）2+50，
∴当x＝50时，w取得最大值50（万元）；
当60＜x≤80时，w＝﹣+89，
∵﹣2580＜0，
∴w随x的增大而增大，当x＝80时，w最大＝121.25（万元）＞50万元，
∴销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是121.25万元．
答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是121.25万元．
8．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
则y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过．
销售价格x（元/个）
销售量y（万元）
30≤x≤60
﹣x+8
60≤x≤80