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    新九年级数学时期讲义第6讲旋转-基础班(学生版+解析)

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    新九年级数学时期讲义第6讲旋转-基础班(学生版+解析)

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    这是一份新九年级数学时期讲义第6讲旋转-基础班(学生版+解析),共24页。学案主要包含了例题精选,随堂练习等内容,欢迎下载使用。

    1 旋转
    旋转的概念
    把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′,那么,这两个点叫做这个旋转的对应点.

    要点诠释:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度.
    旋转的性质
    (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′);
    (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
    (3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
    要点诠释:图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
    【例题精选】
    例1(2023秋•无为县期末)下列图形中,绕某个点旋转72度后能与自身重合的是( )
    A.B.
    C.D.
    例2 (2023秋•滦南县期末)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长为1,将△ABC绕旋转中心旋转90°后得到△A′B′C′,其中点A,B,C的对应点分别是点A′,B′、C′,那么旋转中心是( )
    A.点QB.点PC.点ND.点M
    【随堂练习】
    1.(2023•桥西区模拟)如图△ABC绕点A旋转至△ADE,则旋转角是( )
    A.∠BADB.∠BACC.∠BAED.∠CAD
    2.(2023秋•玉田县期末)如图,用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形,每次旋转( )度.
    A.60B.90C.120D.150
    3.(2023•新宾县二模)把图形绕O点顺时针旋转90°度后,得到的图形是( )
    A.B.C.D.
    4.(2023秋•潮州期末)如图,将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C,若∠ACB=25°,则∠BCA′的度数为( )
    A.50°B.40°C.25°D.60°
    2中心对称图形
    1.中心对称: 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.
    这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
    要点诠释:(1)有两个图形,能够完全重合,即形状大小都相同;
    (2)位置必须满足一个条件:将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的,而中心对称的两个图形一定是全等的) .
    2.中心对称图形: 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
    要点诠释:(1)中心对称图形指的是一个图形;
    (2)线段,平行四边形,圆等等都是中心对称图形.
    【例题精选】
    例1(2023•沙坪坝区校级一模)下列四个标志图中,是中心对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    例2(2023秋•揭阳期末)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    【随堂练习】
    1.(2023•市南区一模)下列图案中是中心对称图形的有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    3图案设计
    在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形.
    要点诠释:
    作图的步骤:
    (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;
    (2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角);
    (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;
    (4)连接所得到的各对应点.
    【例题精选】
    例1(2023秋•洛南县期末)(1)请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
    (2)请画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2BC2.
    【随堂练习】
    1.(2023•金牛区校级模拟)如图,若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标都乘以﹣1,得到一组新的点,再依次连接这些点,所得图案与原图案的关系为( )
    A.重合
    B.关于x轴对称
    C.关于y轴对称
    D.宽度不变,高度变为原来的一半
    2.(2023春•锦江区校级期中)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).
    (1)画出△ABC关于原点对称的三角形△A'B'C';
    (2)将三角形A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出图形,直接写出B的对应点的坐标.
    综合练习
    一.选择题
    1.如图,△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置,使得C′C∥AB,则∠CAB'等于( )
    A.30°B.25°C.15°D.10°
    2.在平面直角坐标系中,将点P(0,1)绕坐标原点O顺时针旋转90°,所得到的对应点P′的坐标为( )
    A.(1,0)B.(﹣1,0)C.(0,﹣1)D.(1,1)
    3.如图,在面积为12的▱ABCD中,对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后,其所在直线分别交AB、CD于点E、F,若AE=2EB,则图中阴影部分的面积等于( )
    A.2B.3C.D.
    4.如图,点A(2,0)为x轴正半轴上一点,点B(0,2)为y轴正半轴上一点,点P为AB中点,将△OAB绕原点O顺时针旋转120°后,点P的对应点坐标为( )
    A.(2,﹣2)B.(2,﹣2)C.(1,﹣)D.(,﹣1)
    5.已知,将点A1(4,2)向左平移3个单位到达点A2的位置,再向上平移4个单位到达点A3的位置,△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°,则旋转后A3的坐标为( )
    A.(﹣2,2)B.(﹣3,2)C.(﹣2,1)D.(﹣3,1)
    二.解答题
    6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(﹣2,3)、B(﹣3,﹣1)、C(0,1).
    (1)以(0,1)为中心,将△ABC放大为原来的2倍,在网格中画出经过上述变换后所得的△A1B1C1;
    (2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2,画出△A2B2C2并写出A2的坐标.
    7.如图所示,∠DBC=90°,∠C=45°,AC=2,△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE,连接AE.
    (1)求证:△ABC≌△ABE;
    (2)连接AD,求AD的长.
    8.如图,长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG,点B、A、G在同一直线上,试回答下列问题:
    (1)旋转角度是多少?
    (2)△ACF是什么形状的三角形,说明理由?
    9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别是A(3,4)、B(1,2)、C(5,3)
    (1)将△ABC平移,使得点A的对应点A1的坐标为(﹣2,4),在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1;
    (2)将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标;
    (3)求△A2B2C1的面积.
    第6讲 旋转
    1 旋转
    旋转的概念
    把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′,那么,这两个点叫做这个旋转的对应点.

    要点诠释:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度.
    旋转的性质
    (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′);
    (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
    (3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
    要点诠释:图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
    【例题精选】
    例1(2023秋•无为县期末)下列图形中,绕某个点旋转72度后能与自身重合的是( )
    A.B.
    C.D.
    分析:如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合,那么这个图形就叫做旋转对称图形.
    【解答】解:A.旋转90°后能与自身重合,不合题意;
    B.旋转72°后能与自身重合,符合题意;
    C.旋转60°后能与自身重合,不合题意;
    D.旋转45°后能与自身重合,不合题意;
    故选:B.
    【点评】本题主要考查了旋转对称图形,如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合,那么这个图形就叫做旋转对称图形.
    例2 (2023秋•滦南县期末)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长为1,将△ABC绕旋转中心旋转90°后得到△A′B′C′,其中点A,B,C的对应点分别是点A′,B′、C′,那么旋转中心是( )
    A.点QB.点PC.点ND.点M
    分析:作AA′、CC′的垂直平分线,它们的交点为N点,从而得到正确选项.
    【解答】解:如图,N点为旋转中心.
    故选:C.
    【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
    【随堂练习】
    1.(2023•桥西区模拟)如图△ABC绕点A旋转至△ADE,则旋转角是( )
    A.∠BADB.∠BACC.∠BAED.∠CAD
    【解答】解:∵△ABC绕点A旋转至△ADE,
    ∴旋转角为∠BAD或∠CAE,
    故选:A.
    2.(2023秋•玉田县期末)如图,用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形,每次旋转( )度.
    A.60B.90C.120D.150
    【解答】解:根据图形可得出:这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次,每次旋转120度角形成的图案.
    故选:C.
    3.(2023•新宾县二模)把图形绕O点顺时针旋转90°度后,得到的图形是( )
    A.B.C.D.
    【解答】解:原图顺时针旋转90度后,竖直的线段成水平,排除B和C,三角形应该在水平线的下方,所以D答案正确.
    故选:D.
    4.(2023秋•潮州期末)如图,将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C,若∠ACB=25°,则∠BCA′的度数为( )
    A.50°B.40°C.25°D.60°
    【解答】解:根据旋转的定义可知旋转角∠ACA′=75°,
    ∴∠BCA′=∠ACA′﹣∠ACB=75°﹣25°=50°.
    故选:A.
    2中心对称图形
    1.中心对称: 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.
    这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
    要点诠释:(1)有两个图形,能够完全重合,即形状大小都相同;
    (2)位置必须满足一个条件:将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的,而中心对称的两个图形一定是全等的) .
    2.中心对称图形: 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
    要点诠释:(1)中心对称图形指的是一个图形;
    (2)线段,平行四边形,圆等等都是中心对称图形.
    【例题精选】
    例1(2023•沙坪坝区校级一模)下列四个标志图中,是中心对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    分析:根据中心对称图形的概念求解.
    【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
    B、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
    C、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
    D、是中心对称图形,故此选项符合题意.
    故选:D.
    【点评】此题主要考查了中心对称图形,中心对称图形要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
    例2(2023秋•揭阳期末)下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
    【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
    B、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;
    C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
    D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
    故选:B.
    【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
    【随堂练习】
    1.(2023•市南区一模)下列图案中是中心对称图形的有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【解答】解:第一个图形不是中心对称图形;
    第二个图形是中心对称图形;
    第三个图形不是中心对称图形;
    第四个图形是中心对称图形;
    中心对称图形共2个,
    故选:B.
    3图案设计
    在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形.
    要点诠释:
    作图的步骤:
    (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;
    (2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角);
    (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;
    (4)连接所得到的各对应点.
    【例题精选】
    例1(2023秋•洛南县期末)(1)请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
    (2)请画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2BC2.
    分析:(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可;
    (2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点A2、C2即可.
    【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作,点A1的坐标为(2,﹣4);
    (2)如图,△A2BC2为所作.
    【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.也考查了轴对称变换.
    【随堂练习】
    1.(2023•金牛区校级模拟)如图,若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标都乘以﹣1,得到一组新的点,再依次连接这些点,所得图案与原图案的关系为( )
    A.重合
    B.关于x轴对称
    C.关于y轴对称
    D.宽度不变,高度变为原来的一半
    【解答】解:图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别乘﹣1,
    则对应点的横坐标互为相反数,纵坐标相同,
    所以,所得图案与原图案关于y轴对称.
    故选:C.
    2.(2023春•锦江区校级期中)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).
    (1)画出△ABC关于原点对称的三角形△A'B'C';
    (2)将三角形A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出图形,直接写出B的对应点的坐标.
    【解答】解:(1)如图,△A'B'C'为所作;
    (2)如图,△A″B″C″为所作;B的对应点B″的坐标为(0,﹣6).
    综合练习
    一.选择题
    1.如图,△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置,使得C′C∥AB,则∠CAB'等于( )
    A.30°B.25°C.15°D.10°
    【解答】解:∵C′C∥AB,
    ∴∠ACC′=∠CAB=70°,
    ∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置,
    ∴AC=AC′,∠CAC′=∠BAB′,
    ∴∠ACC′=∠AC′C=70°,
    ∴∠CAC′=180°﹣70°﹣70°=40°,
    ∴∠BAB′=40°,
    ∴∠CAB′=∠CAB﹣∠BAB′=70°﹣40°=30°.
    故选:A.
    2.在平面直角坐标系中,将点P(0,1)绕坐标原点O顺时针旋转90°,所得到的对应点P′的坐标为( )
    A.(1,0)B.(﹣1,0)C.(0,﹣1)D.(1,1)
    【解答】解:∵点P(0,1)绕坐标原点O顺时针旋转90°所得到的对应点为P′,
    ∴P′(1,0),
    故选:A.
    3.如图,在面积为12的▱ABCD中,对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后,其所在直线分别交AB、CD于点E、F,若AE=2EB,则图中阴影部分的面积等于( )
    A.2B.3C.D.
    【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
    ∴OD=OB,DC∥AB,
    ∴∠ODF=∠OBE,
    而∠DOF=∠BOE,
    ∴△ODF≌△OBE(ASA),
    ∴S△ODF=S△OBE,
    ∴S阴影部分=S△ODC=S平行四边形ABCD=×12=3.
    故选:B.
    4.如图,点A(2,0)为x轴正半轴上一点,点B(0,2)为y轴正半轴上一点,点P为AB中点,将△OAB绕原点O顺时针旋转120°后,点P的对应点坐标为( )
    A.(2,﹣2)B.(2,﹣2)C.(1,﹣)D.(,﹣1)
    【解答】解:∵点A(2,0),点B(0,2),
    ∴OA=2,OB=2,
    ∴tan∠OAB==,
    ∴∠OAB=60°,
    ∵PA=PB,
    ∴OP=PA=PB,P(1,),
    ∴△AOP是等边三角形,
    ∴∠POA=60°,
    ∵旋转后∠P′OP=120°,
    ∴∠AOP′=∠AOP,
    ∴P,P′关于x轴对称,
    ∴P′(1,﹣),
    故选:C.
    5.已知,将点A1(4,2)向左平移3个单位到达点A2的位置,再向上平移4个单位到达点A3的位置,△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°,则旋转后A3的坐标为( )
    A.(﹣2,2)B.(﹣3,2)C.(﹣2,1)D.(﹣3,1)
    【解答】解:点A1(4,2)向左平移3个单位到达点A2的位置,则点A2的坐标为(1,2),
    再向上平移4个单位到达点A3的位置,点A3的坐标为(1,5),
    △A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°,
    则旋转后A3的坐标为(﹣3,2),
    故选:B.
    二.解答题
    6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(﹣2,3)、B(﹣3,﹣1)、C(0,1).
    (1)以(0,1)为中心,将△ABC放大为原来的2倍,在网格中画出经过上述变换后所得的△A1B1C1;
    (2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2,画出△A2B2C2并写出A2的坐标.
    【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作,点A1的坐标为(﹣2,﹣2);
    (2)如图,△A2B2C2为所作,A2的坐标为(4,2).
    7.如图所示,∠DBC=90°,∠C=45°,AC=2,△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE,连接AE.
    (1)求证:△ABC≌△ABE;
    (2)连接AD,求AD的长.
    【解答】(1)证明:∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE,
    ∴∠DBE=∠ABC,∠EBC=60°,BE=BC,
    ∵∠DBC=90°,
    ∴∠DBE=∠ABC=30°,
    ∴∠ABE=30°,
    在△ABC与△ABE中,,
    ∴△ABC≌△ABE(SAS);
    (2)解:连接AD,
    ∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE,
    ∴DE=AC,∠BED=∠C,DE=AC=2,
    ∵△ABC≌△ABE,
    ∴∠BEA=∠C,AE=AC=2,
    ∵∠C=45°,
    ∴∠BED=∠BEA=∠C=45°,
    ∴∠AED=90°,DE=AE,
    ∴AD=AE=2.
    8.如图,长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG,点B、A、G在同一直线上,试回答下列问题:
    (1)旋转角度是多少?
    (2)△ACF是什么形状的三角形,说明理由?
    【解答】解:(1)∵长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG,
    ∴∠BAD是旋转角
    ∴旋转角为90°
    (2)△ACF是等腰直角三角形
    理由如下:∵点C绕点A旋转90°到点F,
    ∴AC=AF,∠CAF=90°
    ∴△ACF是等腰直角三角形
    9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别是A(3,4)、B(1,2)、C(5,3)
    (1)将△ABC平移,使得点A的对应点A1的坐标为(﹣2,4),在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1;
    (2)将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标;
    (3)求△A2B2C1的面积.
    【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
    (2)如图所示,△A2B2C1即为所求,其中A2的坐标为(﹣1,1)、B2的坐标为(1,﹣1);
    (3)△A2B2C1的面积为2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4=3.

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    这是一份七年级数学暑期精品讲义第5讲.整式的基本概念-基础班(学生版+解析),共23页。学案主要包含了例题精选,随堂练习等内容,欢迎下载使用。

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