新九年级数学时期讲义第6讲旋转-提高班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第6讲旋转-提高班(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1 旋转
旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
【例题精选】
例1(2023秋•遵化市期末）如图，点A、B、C、D、O都在方格子的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转得到的，则旋转的角度为（ ）
A．60°B．135°C．45°D．90°
例2(2023•香坊区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50°B．60°C．40°D．30°
【随堂练习】
1．(2023•天河区模拟）下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023•武汉模拟）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．(2023•道里区校级三模）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
2中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
【例题精选】
例1(2023•临潭县校级模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023•甘肃模拟）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3图案设计
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【例题精选】
例1(2023秋•天津期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
【随堂练习】
1.(2023秋•中山市校级期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，
综合练习
一．选择题
1．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（ ）
A．30°B．25°C．15°D．10°
2．在平面直角坐标系中，将点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（1，1）
3．如图，在面积为12的▱ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2B．3C．D．
4．如图，点A（2，0）为x轴正半轴上一点，点B（0，2）为y轴正半轴上一点，点P为AB中点，将△OAB绕原点O顺时针旋转120°后，点P的对应点坐标为（ ）
A．（2，﹣2）B．（2，﹣2）C．（1，﹣）D．（，﹣1）
5．已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，1）D．（﹣3，1）
二．解答题
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣2，3）、B（﹣3，﹣1）、C（0，1）．
（1）以（0，1）为中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格中画出经过上述变换后所得的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出A2的坐标．
7．如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接AD，求AD的长．
8．如图，长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，点B、A、G在同一直线上，试回答下列问题：
（1）旋转角度是多少？
（2）△ACF是什么形状的三角形，说明理由？
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）
（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；
（3）求△A2B2C1的面积．
第6讲 旋转
1 旋转
旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
【例题精选】
例1(2023秋•遵化市期末）如图，点A、B、C、D、O都在方格子的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转得到的，则旋转的角度为（ ）
A．60°B．135°C．45°D．90°
分析：由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案．
【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB＝OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD＝90°，
∴旋转的角度为90°．
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
例2(2023•香坊区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50°B．60°C．40°D．30°
分析：根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•天河区模拟）下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；
B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；
C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；
D、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项符合题意．
故选：D．
2．(2023•武汉模拟）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′＝55°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝55°﹣15°＝40°．
故选：D．
3．(2023•道里区校级三模）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【解答】解：依题意，得∠DCA′＝35°，
在△DCA′中，∠A′DC＝90°，
则∠A′＝90°﹣∠DCA′＝90°﹣35°＝55°，
由旋转的性质，得∠A＝∠A′＝55°，
故选：B．
2中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
【例题精选】
例1(2023•临潭县校级模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【随堂练习】
1．(2023•甘肃模拟）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3图案设计
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【例题精选】
例1(2023秋•天津期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
分析：（1）利用点A和A1坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【随堂练习】
1.(2023秋•中山市校级期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，
【解答】解：如图，△B1OC1为所作，点B1，C1的坐标分别为（1，3），（﹣1，2）．
综合练习
一．选择题
1．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（ ）
A．30°B．25°C．15°D．10°
【解答】解：∵C′C∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BAB′＝40°，
∴∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，将点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（1，1）
【解答】解：∵点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°所得到的对应点为P′，
∴P′（1，0），
故选：A．
3．如图，在面积为12的▱ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2B．3C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠ODF＝∠OBE，
而∠DOF＝∠BOE，
∴△ODF≌△OBE（ASA），
∴S△ODF＝S△OBE，
∴S阴影部分＝S△ODC＝S平行四边形ABCD＝×12＝3．
故选：B．
4．如图，点A（2，0）为x轴正半轴上一点，点B（0，2）为y轴正半轴上一点，点P为AB中点，将△OAB绕原点O顺时针旋转120°后，点P的对应点坐标为（ ）
A．（2，﹣2）B．（2，﹣2）C．（1，﹣）D．（，﹣1）
【解答】解：∵点A（2，0），点B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∵PA＝PB，
∴OP＝PA＝PB，P（1，），
∴△AOP是等边三角形，
∴∠POA＝60°，
∵旋转后∠P′OP＝120°，
∴∠AOP′＝∠AOP，
∴P，P′关于x轴对称，
∴P′（1，﹣），
故选：C．
5．已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，1）D．（﹣3，1）
【解答】解：点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，则点A2的坐标为（1，2），
再向上平移4个单位到达点A3的位置，点A3的坐标为（1，5），
△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，
则旋转后A3的坐标为（﹣3，2），
故选：B．
二．解答题
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣2，3）、B（﹣3，﹣1）、C（0，1）．
（1）以（0，1）为中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格中画出经过上述变换后所得的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出A2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，A2的坐标为（4，2）．
7．如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接AD，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，
∵∠DBC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
在△ABC与△ABE中，，
∴△ABC≌△ABE（SAS）；
（2）解：连接AD，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，
∵△ABC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，
∵∠C＝45°，
∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°，
∴∠AED＝90°，DE＝AE，
∴AD＝AE＝2．
8．如图，长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，点B、A、G在同一直线上，试回答下列问题：
（1）旋转角度是多少？
（2）△ACF是什么形状的三角形，说明理由？
【解答】解：（1）∵长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，
∴∠BAD是旋转角
∴旋转角为90°
（2）△ACF是等腰直角三角形
理由如下：∵点C绕点A旋转90°到点F，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°
∴△ACF是等腰直角三角形
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）
（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；
（3）求△A2B2C1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，其中A2的坐标为（﹣1，1）、B2的坐标为（1，﹣1）；
（3）△A2B2C1的面积为2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3．