新九年级数学时期讲义第1讲一元二次方程-提高班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第1讲一元二次方程-提高班(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【例题精选】
例1 (2023秋•邗江区校级期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ ）
A．2011B．2015C．2019D．2020
例2 (2023秋•常德期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（ ）
A．5B．﹣4C．4D．﹣1
【随堂练习】
1．(2023秋•长春期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
2．(2023秋•五华县期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（ ）
A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3
3．(2023秋•开远市期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．5、﹣1、4B．5、4、﹣1C．5、﹣4、﹣1D．5、﹣1、﹣4

2 直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
【例题精选】
例1(2023秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12
例2(2023秋•雁塔区校级月考）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）x2﹣1＝215．
【随堂练习】
1．(2023秋•龙岗区期中）解下列方程：
（1）x2﹣121＝0
（2）2（x﹣1）2＝338
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【例题精选】
例1 (2023秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0
例2(2023秋•徐汇区校级月考）用配方法解方程：20x2+12x＝．
【随堂练习】
1.(2023春•沂源县期中）配方法解一元二次方程：﹣2x2+2x+1＝0．
2．(2023秋•黄浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣8x﹣1＝0
4 公式法
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
【例题精选】
例1(2023秋•竞秀区期末）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是
_______________________________．
（2）写出此题正确的解答过程．
例2(2023秋•达川区期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．
【随堂练习】
1．(2023春•龙口市期末）以x＝为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝0
2．(2023春•包河区期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023秋•辽源期末）用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【例题精选】
例1(2023秋•铜陵期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2
例2(2023•洛宁县三模）解方程
（1）（x﹣1）2＝2
（2）x2﹣7x+6＝0
【随堂练习】
1．(2023•秦皇岛一模）方程x2+x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
2．(2023秋•金坛区期中）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
3．(2023秋•宝鸡期末）一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两根分别为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（ ）
A．﹣2B．0，2C．0，﹣2D．2
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0D．x2﹣2＝0
3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（ ）
A．a≠5B．a≥1C．a＞1且a≠5D．a≥1且a≠5
二．解答题（共4小题）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．
7．用适当的方法解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
第1讲一元二次方程
1 一元二次方程的定义
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【例题精选】
例1 (2023秋•邗江区校级期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ ）
A．2011B．2015C．2019D．2020
分析：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，然后利用整体代入的方法计算2015﹣a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，
所以a﹣b＝﹣4，
所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
例2 (2023秋•常德期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（ ）
A．5B．﹣4C．4D．﹣1
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．
【随堂练习】
1．(2023秋•长春期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，
∴a＝±1．
故选：C．
2．(2023秋•五华县期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（ ）
A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，
故选：C．
3．(2023秋•开远市期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．5、﹣1、4B．5、4、﹣1C．5、﹣4、﹣1D．5、﹣1、﹣4
【解答】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．
故选：C．

2 直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
【例题精选】
例1(2023秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12
分析：移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案．
【解答】解：移项得：4x2＝13+12，
4x2＝25，
，
，
．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
例2(2023秋•雁塔区校级月考）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）x2﹣1＝215．
分析：（1）根据直接开方法即可求出答案．
（2）根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣25＝0，
∴x﹣2＝±5，
∴x＝7或x＝﹣3；
（2）∵x2﹣1＝215，
∴x2＝216，
∴x＝±6
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1．(2023秋•龙岗区期中）解下列方程：
（1）x2﹣121＝0
（2）2（x﹣1）2＝338
【解答】解：（1）∵x2﹣121＝0，
∴x2＝121，
∴x＝11或x＝﹣11
（2）∵2（x﹣1）2＝338，
∴（x﹣1）2＝169，
∴x﹣1＝±13，
∴x＝14或﹣12；
3 配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【例题精选】
例1 (2023秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0
分析：根据配方法解方程的步骤依次计算可得．
【解答】解：∵2x2﹣6x＝1，
∴x2﹣3x＝，
∴x2﹣3x+＝+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
则x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
例2(2023秋•徐汇区校级月考）用配方法解方程：20x2+12x＝．
分析：根据配方法即可求出答案．
【解答】解：原方程化为：x2+x＝，
∴x2+x+＝，
∴（x+）2＝，
∴x＝
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1.(2023春•沂源县期中）配方法解一元二次方程：﹣2x2+2x+1＝0．
【解答】解：∵﹣2x2+2x＝﹣1，
∴x2﹣x＝，
则x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x＝．
2．(2023秋•黄浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣8x﹣1＝0
【解答】解：∵2x2﹣8x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝
∴（x﹣2）2＝，
∴x﹣2＝±，
∴x＝2±

4 公式法
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
【例题精选】
例1(2023秋•竞秀区期末）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是
_______________________________．
（2）写出此题正确的解答过程．
分析：（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）故答案为：一，原方程没有化成一般形式；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴x＝
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
例2(2023秋•达川区期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．
分析：先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：3x2﹣4x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，
∴x＝＝，
则x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x＝是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023春•龙口市期末）以x＝为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝0
【解答】解：A．x2﹣3x﹣c＝0的根为x＝，符合题意；
B．x2+3x﹣c＝0的根为x＝，不符合题意；
C．x2﹣3x+c＝0的根为x＝，不符合题意；
D．x2+3x+c＝0的根为x＝，不符合题意；
故选：A．
2．(2023春•包河区期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：这里a＝3，b＝5，c＝1，
∵△＝25﹣12＝13，
∴x＝，
故选：A．
3．(2023秋•辽源期末）用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．
【解答】解：3x2﹣6x﹣1＝0，
△＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
5 因式分解法
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【例题精选】
例1(2023秋•铜陵期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2
分析：（1）利用配方法将原方程变形，进而得出方程的解；
（2）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣4x+4＝5
（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2．
2（x﹣3）2﹣（3﹣x）（3+x）＝0，
（3﹣x）[2（3﹣x）﹣（3+x）]＝0，
（3﹣x）（3﹣3x）＝0，
故3﹣x＝0或3﹣3x＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及配方法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．
例2(2023•洛宁县三模）解方程
（1）（x﹣1）2＝2
（2）x2﹣7x+6＝0
分析：（1）根据直接开平方法解方程即可；
（2）根据因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）x﹣1＝
∴x1＝1+
x2＝1﹣
（2）（x﹣6）（x﹣1）＝0，
x﹣6＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝6，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法和直接开平方法．
【随堂练习】
1．(2023•秦皇岛一模）方程x2+x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
【解答】解：x2+x＝0
x（x+1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故选：D．
2．(2023秋•金坛区期中）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【解答】解：根据题意知x2+px﹣6＝（x+3）（x﹣2），
则x2+px﹣6＝x2+x﹣6，
∴p＝1，
故选：B．
3．(2023秋•宝鸡期末）一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两根分别为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
故选：B．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（ ）
A．﹣2B．0，2C．0，﹣2D．2
【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，
﹣x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：B．
2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0D．x2﹣2＝0
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；
C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；
故选：B．
3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（ ）
A．a≠5B．a≥1C．a＞1且a≠5D．a≥1且a≠5
【解答】解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，
解得：a≥1且a≠5，
故选：D．
二．解答题（共4小题）
4．解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，
（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，
∴3x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝，x2＝﹣2．
5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．
【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2
＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2
∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，
∴a2﹣2a﹣4＝0，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝4﹣2＝2．
6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）
＝（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵m是方程的一个实数根，
∴m2+（m+3）m+m+1＝0．
整理得：2m2+4m+1＝0
解得：m＝．
7．用适当的方法解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）（x﹣1）2＝4；
（3）x2+2x﹣5＝0；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；
分解因式得：x（3x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
（2）（x﹣1）2＝4；
开方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（3）x2+2x﹣5＝0，
配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝2.5；
（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15
方程整理得：x2+x﹣3＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣3
∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝；
解得：x1＝，x2＝．