新九年级数学时期讲义第2讲一元二次方程的实际问题-基础班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第2讲一元二次方程的实际问题-基础班(学生版+解析)，共23页。
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
【例题精选】
例1 (2023•鼓楼区一模）已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝________，x1x2＝__________．
例2(2023•泰兴市一模）一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个正根
C．有一个正根，一个负根D．有两个负根
【随堂练习】
1. (2023秋•牡丹江期中）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m+n+mn的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
2．(2023秋•揭阳期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根之和为（ ）
A．B．2C．﹣3D．3
3．(2023秋•襄阳期末）设一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x1x2+x2等于（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
4．(2023秋•东丽区期末）已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A．2B．4C．﹣6D．﹣4
2增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
【例题精选】
例1 (2023•铁西区二模）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2018年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率．
例2(2023秋•薛城区期末）某药品原价为100元，连续两次降价a%后，售价为64元，则a的值为（ ）
A．10B．20C．23D．36
【随堂练习】
1. (2023•番禺区一模）某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．225（1﹣x）2＝196B．196（1﹣x）2＝225
C．225（1﹣x2）＝196D．196（1﹣x2）＝225
2．(2023秋•琼中县期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（ ）
A．112（1﹣x）2＝63B．112（1+x）2＝63
C．112（1﹣x）＝63D．112（1+x）＝63
3．(2023•龙泉驿区模拟）我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
3利润问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数

【例题精选】
例1 (2023•谷城县校级模拟）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
例2 (2023秋•平江县期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．
（1）若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？
【随堂练习】
1．(2023•望花区二模）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每干克x元，月销售利润可以表示为（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元B．（x﹣40）（10x﹣500）元
C．（x﹣40）（500﹣10x）元D．（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元
2．(2023•南岸区校级模拟）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱的降价x元，则x满足的关系式为（ ）
A．（x﹣2500）（8+4×）＝5000
B．（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000
C．（x﹣2500）（8+4×）＝5000
D．（2900﹣x）（8+4×）＝5000
4 其他问题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
【例题精选】
例1 (2023秋•斗门区期末）学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．
（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．
（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．
例2 (2023•德阳模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035
C．x（x+1）＝1035D．x（x﹣1）＝1035
【随堂练习】
1．(2023秋•正定县期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
2．(2023秋•惠城区期末）有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．n（n﹣1）＝15B．n（n+1）＝15C．n（n﹣1）＝30D．n（n+1）＝30
综合练习
一．解答题（共7小题）
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？
3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生产成本下降的百分率；
（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．
6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？
7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF＝ cm，GH＝ cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
第2讲 一元二次方程的实际问题
1 根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
【例题精选】
例1 (2023•鼓楼区一模）已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝________，x1x2＝__________．
分析：根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．
故答案为：﹣2；﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
例2(2023•泰兴市一模）一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个正根
C．有一个正根，一个负根D．有两个负根
分析：先求出“△”的值，再根据根的判别式的内容得出即可．
【解答】解：x2﹣4x+2＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，且x1+x2＝4＞0，x1•x2＝2＞0，
∴有两个正根，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
【随堂练习】
1. (2023秋•牡丹江期中）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m+n+mn的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
则m+n+mn＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
2．(2023秋•揭阳期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根之和为（ ）
A．B．2C．﹣3D．3
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝3，
故选：D．
3．(2023秋•襄阳期末）设一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x1x2+x2等于（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，
x1•x2＝﹣3，
则x1+x1x2+x2
＝2﹣3
＝﹣1．
故选：B．
4．(2023秋•东丽区期末）已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A．2B．4C．﹣6D．﹣4
【解答】解：设方程的另一根为a，
∵﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴﹣2+a＝，解得a＝4．
故选：B．
2增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
【例题精选】
例1 (2023•铁西区二模）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2018年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率．
分析：等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
（1﹣x）2＝0.25，
解得：x＝0.5＝50%或x＝1.5（舍去）
答：该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率为50%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
例2(2023秋•薛城区期末）某药品原价为100元，连续两次降价a%后，售价为64元，则a的值为（ ）
A．10B．20C．23D．36
分析：可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于x的方程．
【解答】解：当药品第一次降价%时，其售价为100﹣100a%＝100（1﹣a%）；
当药品第二次降价x后，其售价为100（1﹣a%）2．
∴100（1﹣a%）2＝64．
解得：a＝20或a＝﹣180（舍去），
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于64即可．
【随堂练习】
1. (2023•番禺区一模）某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．225（1﹣x）2＝196B．196（1﹣x）2＝225
C．225（1﹣x2）＝196D．196（1﹣x2）＝225
【解答】解：第一次降价后的价格为225×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为225×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是225（1﹣x）2＝196．
故选：A．
2．(2023秋•琼中县期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（ ）
A．112（1﹣x）2＝63B．112（1+x）2＝63
C．112（1﹣x）＝63D．112（1+x）＝63
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
112（1﹣x）2＝63，
故选：A．
3．(2023•龙泉驿区模拟）我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
【解答】解：四月份共借出图书量为70×（1+x），五月份共借出图书量为70×（1+x）（1+x），那么70（1+x）+70（1+x）2＝220．
故选：B．
3利润问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数

【例题精选】
例1 (2023•谷城县校级模拟）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
分析：关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件服装应降价4元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
例2 (2023秋•平江县期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．
（1）若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？
分析：（1）可直接根据每件的利润×销售量＝总利润，求出结果；
（2）此题首先根据盈利1200元，列出一元二次方程：（20+2×x）×（40﹣x）＝1200，然后解出即可．
【解答】解：（1）（20+2×4）×（40﹣4）＝1008元．
答：商场每天销售这种衬衫可以盈利1008元．
（2）设每件衬衫降价x元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元，
根据题意得：（20+2x）×（40﹣x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
（x﹣10）（x﹣20）＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
答：每件衬衫降价10元或20元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意找出题中的等量关系每件的利润×销售量＝总利润．
【随堂练习】
1．(2023•望花区二模）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每干克x元，月销售利润可以表示为（ ）
A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元B．（x﹣40）（10x﹣500）元
C．（x﹣40）（500﹣10x）元D．（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元
【解答】解：设销售单价为每千克x元，则月销售利润＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]．
故选：A．
2．(2023•南岸区校级模拟）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱的降价x元，则x满足的关系式为（ ）
A．（x﹣2500）（8+4×）＝5000
B．（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000
C．（x﹣2500）（8+4×）＝5000
D．（2900﹣x）（8+4×）＝5000
【解答】解：设每台冰箱的降价x元，依题意得（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000．
故选：B．
4 其他问题
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
【例题精选】
例1 (2023秋•斗门区期末）学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．
（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．
（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．
分析：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为35平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＜0可得出该方程无解，进而可得出不能围成面积为35平方米的生物园．
【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米，
依题意，得：x（16﹣2x）＝30，
整理，得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，16﹣2x＝10＞8，不合题意，舍去；
当x＝5时，16﹣2x＝6．
答：生物园的长为6米，宽为5米．
（2）不能，理由如下：
设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米，
依题意，得：y（16﹣2y）＝35，
整理，得：2y2﹣16y+35＝0．
∵△＝（﹣16）2﹣4×2×35＝﹣24＜0，
∴原方程无解，
∴不能围成面积为35平方米的生物园．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例2 (2023•德阳模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035
C．x（x+1）＝1035D．x（x﹣1）＝1035
分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•正定县期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
【解答】解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：D．
2．(2023秋•惠城区期末）有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．n（n﹣1）＝15B．n（n+1）＝15C．n（n﹣1）＝30D．n（n+1）＝30
【解答】解：设有n支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为n（n﹣1）场，
根据题意列出方程得：n（n﹣1）＝15，
整理，得：即n（n﹣1）＝30，
故选：C．
综合练习
一．解答题（共7小题）
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，
依题意，得：（1+x）2＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑感染11台．
2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？
【解答】解：（1）设甬道的宽为x米，
根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640
解得：x＝34（舍去）或x＝6，
答：甬道的宽为6米；
（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意得：（200+a）（64﹣）＝14400
整理，得a2﹣440a+16000＝0
解得：a1＝400（舍去），a2＝40
答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．
3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．
整理，得3x2﹣85x+350＝0．
解得，x1＝5，x2＝．
∵＞30（不合题意，舍去），
∴x＝5．
答：小道进出口的宽度应为5米．
5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．
（1）求平均每年生产成本下降的百分率；
（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．
【解答】解：（1）设每年生产成本的下降率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．
答：每年生产成本的下降率为10%．
（2）81×（1﹣10%）＝72.9（万元）．
答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．
6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？
【解答】解：（1）y＝x（30﹣3x），
＝﹣3x2+30x；
（2）当y＝63时﹣3x2+30x＝63，
解得x1＝7，x2＝3，
当x＝7时 30﹣3x＝9＜15
当x＝3时 30﹣3x＝21＞15 （不合题意，舍去）
答：AB为7m．
7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）
（1）EF＝ （30﹣2x） cm，GH＝ （20﹣x） cm；（用含x的代数式表示）
（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．
【解答】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．
故答案为：（30﹣2x）；（20﹣x）．
（2）依题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
整理，得：x2﹣35x+150＝0，
解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去）．
答：剪掉的小正方形的边长为5cm．