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    新八年级数学讲义第5讲等腰三角形-提高班(学生版+解析)

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    新八年级数学讲义第5讲等腰三角形-提高班(学生版+解析)

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    这是一份新八年级数学讲义第5讲等腰三角形-提高班(学生版+解析),共25页。学案主要包含了等腰三角形的定义,等腰三角形的性质,等边三角形的判定等内容,欢迎下载使用。

    1 等腰三角形
    一、等腰三角形的定义
    有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
    如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.

    要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).
    ∠A=180°-2∠B,∠B=∠C= .
    二、等腰三角形的性质
    1.等腰三角形的性质
    性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
    性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).
    2.等腰三角形的性质的作用
    性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.
    性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.
    3.等腰三角形是轴对称图形
    等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.
    【例题精选】
    例1 (2023秋•卢龙县期末)已知等腰三角形的一边长为2,周长为8,那么它的腰长为( )
    A.2B.3C.2或3D.不能确定
    例2(2023秋•崇川区期末)若等腰三角形的两边长分别为5和11,则这个等腰三角形的周长为( )
    A.21B.22或27C.27D.21或27
    【随堂练习】
    1.(2023秋•青龙县期末)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,∠A=45°,则∠DBC的度数为( )
    A.22.5°B.25°C.27.5°D.30°
    2.(2023秋•富阳区期末)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,DE是AC边的垂直平分线,则∠BAE的度数为( )
    A.60°B.50°C.45°D.40°
    3.(2023•和平区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,若AB=13.AD=12.则BC的长为_______.
    2等腰三角形的判定
    如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
    【例题精选】
    例1(2023秋•渝北区期末)若C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有( )个.
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    例2(2023秋•泉州期末)已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.在射线BC上取一点D,使得△ABD为等腰三角形,这样的等腰三角形有几个?( )
    A.2个B.3个C.4 个D.5个
    【随堂练习】
    1.(2023秋•睢宁县期中)如图,在3×3的正方形网格中,点A、B在格点上,要找一个格点C,使△ABC是等腰三角形(AB是其中一腰),则图中符合条件的格点有( )
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    2.(2023秋•河西区期中)在△ABC中,∠A=45°,∠B=45°,则下列判断错误的是( )
    A.△ABC是直角三角形B.△ABC是锐角三角形
    C.△ABC是等腰三角形D.∠A和∠B互余
    3.等边三角形
    一、等边三角形
    等边三角形定义:
    三边都相等的三角形叫等边三角形.
    要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包
    括等边三角形.
    二、等边三角形的性质
    等边三角形的性质:
    等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.
    三、等边三角形的判定
    等边三角形的判定:
    (1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
    (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
    (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
    【例题精选】
    例1(2023秋•绵阳期末)如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E使CE=CD,则图中等腰三角形的个数是( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【随堂练习】
    1.(2023秋•思明区校级期中)三个等边三角形的摆放位置如图,若∠3=60°,则∠1+∠2的度数为( )°
    A.150B.120C.90D.80
    4.含30°的直角三角形
    含30°的直角三角形的性质定理:
    在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
    要点诠释:这个定理的前提条件是“在直角三角形中”,是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一,通常用于证明边的倍数关系.
    【例题精选】
    例1 (2023秋•扎鲁特旗期末)如图,∠AOB=30°,P是角平分线上的点,PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点N,若PM=1,则PN=_______.
    例2(2023春•渭南期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,∠BCD=∠A=30°,BC=4cm,求AD的长.
    【随堂练习】
    1.(2023•英德市一模)如图,Rt△ABC中,∠C=30°,AB=18,则AC=_________.
    2.(2023秋•潮州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3,则线段BD的长为________.

    综合练习
    一.选择题(共3小题)
    1.如图,已知点A(﹣2,0)和点B(1,1),在坐标轴上确定点C,使得△ABC是等腰三角形,则满足条件的点C共有( )
    A.6个B.7个C.8个D.10个
    2.如图所示,在△PMN中,∠P=36°,PM=PN=12,MQ平分∠PMN交PN于点Q,延长MN至点G,取NG=NQ,若MQ=a,则NG的长是( )
    A.aB.12﹣aC.12+aD.12+2a
    3.在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=4,则BC等于( )
    A.2B.C.D.8
    二.解答题(共3小题)
    4.在△ABC中,AB=AC,M是边BC的中点,BD平分∠ABC,交AM于E,交AC于D,若∠AED=64°,求∠BAC的度数的大小
    5.如图,在△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠B=35°,求∠CAE度数.
    6.如图,已知D是△ABC的边BC上的一点,CD=AB,
    (1)若∠BDA=∠BAD,∠B=60°,求∠C的大小;
    (2)若AE既是△ABD的高又是角平分线,∠B=54°,求∠C的大小.
    第5讲 等腰三角形
    1 等腰三角形
    一、等腰三角形的定义
    有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
    如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.

    要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).
    ∠A=180°-2∠B,∠B=∠C= .
    二、等腰三角形的性质
    1.等腰三角形的性质
    性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
    性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).
    2.等腰三角形的性质的作用
    性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.
    性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.
    3.等腰三角形是轴对称图形
    等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.
    【例题精选】
    例1 (2023秋•卢龙县期末)已知等腰三角形的一边长为2,周长为8,那么它的腰长为( )
    A.2B.3C.2或3D.不能确定
    分析:已知等腰三角形有一条边长为2,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
    【解答】解:当腰长为2时,底边长为8﹣2×2=4,三角形的三边长为2,2,4,不能构成三角形;
    当底边长为2时,腰长为(8﹣2)÷2=3,三角形的三边长为3,3,2,能构成三角形;
    所以等腰三角形的腰长为3.
    故选:B.
    【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
    例2(2023秋•崇川区期末)若等腰三角形的两边长分别为5和11,则这个等腰三角形的周长为( )
    A.21B.22或27C.27D.21或27
    分析:根据①11是腰长时,三角形的三边分别为11、11、5,②11是底边时,三角形的三边分别为11、5、5,分别计算即可.
    【解答】解:①11是腰长时,
    三角形的三边分别为11、11、5,能组成三角形,
    周长=11+11+5=27;
    ②11是底边时,
    三角形的三边分别为11、5、5,
    ∵5+5=10<11,
    ∴不能组成三角形,
    综上所述,三角形的周长为27.
    故选:C.
    【点评】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质,要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形.
    【随堂练习】
    1.(2023秋•青龙县期末)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,∠A=45°,则∠DBC的度数为( )
    A.22.5°B.25°C.27.5°D.30°
    【解答】解:∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
    ∴DB=DA,
    ∴△ABD是等腰三角形;
    ∵∠A=45°,
    ∴∠ABD=∠A=45°,∠ABC=∠C=(180°﹣45°)÷2=67.5°
    ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=67.5°﹣45°=22.5°;
    故选:A.
    2.(2023秋•富阳区期末)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,DE是AC边的垂直平分线,则∠BAE的度数为( )
    A.60°B.50°C.45°D.40°
    【解答】解:设∠B=x°,
    ∵AB=AC,
    ∴∠B=∠C=x°,
    ,又∵AC边的垂直平分线交BC于点E,
    ∴AE=CE,
    ∴∠CAE=∠C=x°,
    ∴∠AEB=2∠C=2x°,
    ∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠CAE=(180﹣3x)°,
    ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=180﹣3x+x=(180﹣2x)°,
    ∵∠BAC=100°,
    ∴180﹣2x=100,
    解得:x=40,
    ∴∠BAE=∠BAE﹣∠CAE=60°.
    故选:A.
    3.(2023•和平区二模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,若AB=13.AD=12.则BC的长为_______.
    【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC=13,AD是角平分线,AD=12,
    ∴BC=2BD,AD⊥BC.
    在Rt△ABD中,BD2+AD2=AB2,
    即BD2+122=132,
    解得BD=5,
    ∴BC=10.
    故答案为:10.
    2等腰三角形的判定
    如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
    【例题精选】
    例1(2023秋•渝北区期末)若C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有( )个.
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    分析:根据题意,结合图形,分两种情况讨论:①AB为等腰△ABC底边;②AB为等腰△ABC其中的一条腰.
    【解答】解:如图:分情况讨论.
    ①AB为等腰△ABC底边时,符合条件的C点有2个;
    ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有2个.
    故选:C.
    【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定,解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.
    例2(2023秋•泉州期末)已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.在射线BC上取一点D,使得△ABD为等腰三角形,这样的等腰三角形有几个?( )
    A.2个B.3个C.4 个D.5个
    分析:分三种情况讨论:①如图1,当AB=AD时;如图2,当AB=BD时;如图3,当AB为底时,AD=BD.
    【解答】解: ①如图1,
    当AB=AD时, 得△ABD的等腰三角形.
    ②如图2,
    当AB=BD时,
    △ABD是等腰三角形;
    ③如图3,
    当AB为底时,AD=BD时,△ABD是等腰三角形.
    故选:B.
    【点评】本题考查了等腰三角形的判定,解决本题的关键是正确认识到需要讨论,讨论等腰三角形的边应如何分类.
    【随堂练习】
    1.(2023秋•睢宁县期中)如图,在3×3的正方形网格中,点A、B在格点上,要找一个格点C,使△ABC是等腰三角形(AB是其中一腰),则图中符合条件的格点有( )
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    【解答】解:如图所示:
    ①若AB=BC,则符合要求的有:C1,C2,C3共4个点;
    ②若AB=AC,则符合要求的有:C4,C5共2个点;
    若AC=BC,则不存在这样格点.
    ∴这样的C点有5个.
    故选:D.
    2.(2023秋•河西区期中)在△ABC中,∠A=45°,∠B=45°,则下列判断错误的是( )
    A.△ABC是直角三角形B.△ABC是锐角三角形
    C.△ABC是等腰三角形D.∠A和∠B互余
    【解答】解:∵在△ABC中,∠A=45°,∠B=45,
    ∴∠C=90°,
    即△ABC是等腰直角三角形,∠A和∠B互余
    故选:B.
    3.等边三角形
    一、等边三角形
    等边三角形定义:
    三边都相等的三角形叫等边三角形.
    要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包
    括等边三角形.
    二、等边三角形的性质
    等边三角形的性质:
    等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.
    三、等边三角形的判定
    等边三角形的判定:
    (1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
    (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
    (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
    【例题精选】
    例1(2023秋•绵阳期末)如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E使CE=CD,则图中等腰三角形的个数是( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    分析:根据等腰三角形的定义得到△EDC是等腰三角形,然后根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE,即可证得△BDE是等腰三角形.
    【解答】解:∵CD=CE,
    ∴∠E=∠EDC,
    ∴CE=CD,
    ∴△EDC是等腰三角形;
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠ACB=60°,
    ∴∠E=30°,
    ∵△ABC是等边三角形,BD是高,
    ∴∠DBC=30°,
    ∴∠E=∠DBC,
    ∴DB=DE,
    ∴△BDE是等腰三角形,
    故选:C.
    【点评】本题考查了等边三角形性质,等腰三角形性质,三角形的外角性质等知识点的应用,关键是求出DE=BD.
    【随堂练习】
    1.(2023秋•思明区校级期中)三个等边三角形的摆放位置如图,若∠3=60°,则∠1+∠2的度数为( )°
    A.150B.120C.90D.80
    【解答】解:∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,
    ∴∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°,∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2,
    ∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1,
    ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
    ∴60°+(120°﹣∠2)+(120°﹣∠1)=180°,
    ∴∠1+∠2=120°.
    故选:B.
    4.含30°的直角三角形
    含30°的直角三角形的性质定理:
    在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
    要点诠释:这个定理的前提条件是“在直角三角形中”,是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一,通常用于证明边的倍数关系.
    【例题精选】
    例1 (2023秋•扎鲁特旗期末)如图,∠AOB=30°,P是角平分线上的点,PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点N,若PM=1,则PN=_______.
    分析:过点P作PE⊥OA于点E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM,再根据两直线平行,内错角相等可得∠POM=∠OPN,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答.
    【解答】解:如图,过点P作PE⊥OA于点E,
    ∵OP是∠AOB的平分线,
    ∴PE=PM,
    ∵PN∥OB,
    ∴∠POM=∠OPN,
    ∴∠PNE=∠PON+∠OPN=∠PON+∠POM=∠AOB=30°,
    ∴PN=2PE=2PM=2×1=2.
    故答案为:2.
    【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键.
    例2(2023春•渭南期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,∠BCD=∠A=30°,BC=4cm,求AD的长.
    分析:根据含30度角的直角三角形性质求出BC和BD,再相减即可.
    【解答】解:∵△ABC中∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4cm,
    ∴AB=2BC=8cm,∠B=60°,
    ∵∠BCD=∠A=30°,
    ∴∠B+∠BCD=60°+30°=90°,
    ∴∠CDB=90°,
    ∴BD=BC=2cm,
    ∴AD=AB﹣BD=8cm﹣2cm=6cm.
    【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
    【随堂练习】
    1.(2023•英德市一模)如图,Rt△ABC中,∠C=30°,AB=18,则AC=_________.
    分析:根据含30°的直角三角形的三边关系解答即可.
    【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=30°,AB=18,
    ∴AC=2AB=36,
    故答案为:36.
    【点评】此题考查含30度角的直角三角形的性质,关键是根据在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半解答.
    2.(2023秋•潮州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3,则线段BD的长为________.
    【解答】解:∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
    ∴∠ADC=90°=∠ACB,
    ∵∠B=30°,
    ∴∠A=90°﹣∠B=60°,
    ∴∠ACD=90°﹣∠A=30°,
    ∵AD=3,
    ∴AC=2AD=6,
    ∴AB=2AC=12,
    ∴BD=AB﹣AD=12﹣3=9,
    故答案为:9.

    综合练习
    一.选择题(共3小题)
    1.如图,已知点A(﹣2,0)和点B(1,1),在坐标轴上确定点C,使得△ABC是等腰三角形,则满足条件的点C共有( )
    A.6个B.7个C.8个D.10个
    【解答】解:如图所示:
    以A为圆心,AB长为半径,C点有4个;
    以B为圆心,AB长为半径,C点有4个;
    以AB线段垂直平分线交坐标轴有2个;
    故C点有10个,
    故选:D.
    2.如图所示,在△PMN中,∠P=36°,PM=PN=12,MQ平分∠PMN交PN于点Q,延长MN至点G,取NG=NQ,若MQ=a,则NG的长是( )
    A.aB.12﹣aC.12+aD.12+2a
    【解答】解:∵在△PMN中,∠P=36°,
    ∴∠PMN=∠PNM=72°,
    ∵MQ平分∠PMN,
    ∴∠PMQ=36°,
    ∴∠P=∠PMQ,
    ∴PQ=QM,
    ∵NG=NQ,
    ∴∠G=∠NQG,
    ∵∠PNM=∠G+∠GQN=72°,
    ∴∠G=∠GQN=36°,
    ∴QN=NG,
    ∵PM=PN=12,MQ=a,
    ∴NG=QN=12﹣a,
    故选:B.
    3.在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=4,则BC等于( )
    A.2B.C.D.8
    【解答】解:根据含30度角的直角三角形的性质可知:BC=2AB=8.
    故选:D.
    二.解答题(共3小题)
    4.在△ABC中,AB=AC,M是边BC的中点,BD平分∠ABC,交AM于E,交AC于D,若∠AED=64°,求∠BAC的度数的大小
    【解答】解:∵AB=AC,M是边BC的中点,
    ∴∠ABM=90°,∠BAM=∠CAM,
    ∵∠BEM=∠AED=64°,
    ∴∠EBM=26°,
    ∵BD平分∠ABC,
    ∴∠ABC=2∠EBM=52°,
    ∴∠BAM=90°﹣∠ABM=38°,
    ∴∠BAC=2∠BAM=76°.
    5.如图,在△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠B=35°,求∠CAE度数.
    【解答】解:∵BD=AD,∠B=35°,
    ∴∠B=∠BAD=35°,
    ∴∠ADC=2∠B=70°,
    ∵AD=AC,点E是CD中点,
    ∴AE⊥CD,∠C=∠ADC=70°,
    ∴∠AEC=90°,
    ∴∠CAE=90°﹣70°=20°.
    6.如图,已知D是△ABC的边BC上的一点,CD=AB,
    (1)若∠BDA=∠BAD,∠B=60°,求∠C的大小;
    (2)若AE既是△ABD的高又是角平分线,∠B=54°,求∠C的大小.
    【解答】解:(1)∵∠B=60°,∠BDA=∠BAD,
    ∴∠BAD=∠BDA=60°,
    ∴AB=AD,
    ∵CD=AB,
    ∴CD=AD,
    ∴∠DAC=∠C,
    ∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C,
    ∵∠BDA=60°,
    ∴∠C=30°;
    (2)∵AE既是△ABD的高又是角平分线,∠B=54°,
    ∴AB=AD,∠ADB=∠B=54,
    ∵CD=AB,
    ∴CD=AD,
    ∴∠DAC=∠C,
    ∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C,
    ∵∠BDA=54°,
    ∴∠C=27°.

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