新八年级数学讲义第7讲乘法公式-提高班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第7讲乘法公式-提高班(学生版+解析)，共13页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 平方差公式
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
【例题精选】
例1(2023秋•孟津县期末）为了运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（2y+1）]2B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]
C．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]D．[x+（2y﹣1）]2
例2 (2023秋•兰考县期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
【随堂练习】
1．(2023•青山区模拟）计算（x﹣3）（3+x）的结果为（ ）
A．3﹣x2B．9+x2C．x2﹣9D．3+x2
2．(2023春•德清县期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3a+b）（a﹣b）B．（3a+b）（﹣3a﹣b）
C．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b）D．（﹣3a+b）（3a﹣b）
3．(2023•唐山二模）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y）B．（x﹣y）（﹣x+y）
C．（x+y）（﹣x+y）D．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
2完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【例题精选】
例1 (2023秋•虹口区校级月考）计算：（x﹣2y+1）2．
例2 (2023秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
C．D．（2x﹣3y）（2x+3y）
【随堂练习】
1．(2023春•江阴市期中）计算：（a+2b）2＝________________．
2．(2023•石屏县一模）已知（x﹣1）2＝2，则代数式2x2﹣4x+5＝_______．
3(2023•滨海县一模）若x+y＝1，x﹣y＝5，则xy＝________．
3完全平方式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【例题精选】
例1 (2023秋•宜春期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3B．﹣5C．7D．7或﹣1
例2 (2023春•德清县期中）若x2﹣2（k﹣1）x+4是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±1B．±3C．﹣1或3D．1或﹣32
【随堂练习】
1．(2023秋•肇庆期末）如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3B．±3C．6D．±6
综合练习
一．选择题（共4小题）
1．如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．±15B．15C．±30D．30
2．已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝（ ）
A．9B．18C．15D．12
3．若x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值应是（ ）
A．2B．﹣2C．4或﹣4D．2或﹣2
4．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
二．填空题（共2小题）
5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，则xy的值为 ．
6．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝ ．
三．解答题（共3小题）
7．计算：
（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；
（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．
8．化简：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．
9．（1）计算：（﹣2）2+﹣（2）0．
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．
第7讲 乘法公式

1 平方差公式
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
【例题精选】
例1(2023秋•孟津县期末）为了运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（ ）
A．[x﹣（2y+1）]2B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]
C．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]D．[x+（2y﹣1）]2
分析：原式利用平方差公式的结构特征变形即可．
【解答】解：运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），
应变形为[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
例2 (2023秋•兰考县期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
分析：根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（x﹣y）（﹣x+y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y），含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；
B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误；
故选：A．
【点评】考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【随堂练习】
1．(2023•青山区模拟）计算（x﹣3）（3+x）的结果为（ ）
A．3﹣x2B．9+x2C．x2﹣9D．3+x2
【解答】解：（x﹣3）（3+x）
＝（x﹣3）（x+3）
＝x2﹣9．
故选：C．
2．(2023春•德清县期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3a+b）（a﹣b）B．（3a+b）（﹣3a﹣b）
C．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b）D．（﹣3a+b）（3a﹣b）
【解答】解：A、不能用平方差公式，故本选项不符合题意；
B、不能用平方差公式，故本选项不符合题意；
C、能用平方差公式，故本选项符合题意；
D、不能用平方差公式，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．(2023•唐山二模）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y）B．（x﹣y）（﹣x+y）
C．（x+y）（﹣x+y）D．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、（x﹣y）（﹣x+y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确．
C、（x+y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、（﹣x+y）（﹣x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行计算，故本选项错误．
故选：B．
2完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【例题精选】
例1 (2023秋•虹口区校级月考）计算：（x﹣2y+1）2．
分析：根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1
＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
例2 (2023秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a）B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
C．D．（2x﹣3y）（2x+3y）
分析：A、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；
B、原式第一个因式提取﹣1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；
C、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；
D、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意．
【解答】解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意；
B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意；
C、原式＝q2﹣p2，本选项不合题意；
D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
【随堂练习】
1．(2023春•江阴市期中）计算：（a+2b）2＝________________．
【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2
＝a2+4ab+4b2，
故答案为：a2+4ab+4b2．
2．(2023•石屏县一模）已知（x﹣1）2＝2，则代数式2x2﹣4x+5＝_______．
【解答】解：2x2﹣4x+5
＝2（x﹣1）2+3
＝2×2+3
＝4+3
＝7．
故答案是：7．
3(2023•滨海县一模）若x+y＝1，x﹣y＝5，则xy＝________．
【解答】解：∵x+y＝1，x﹣y＝5，
∴xy＝[（x+y）2﹣（x﹣y）2]＝﹣6，
故答案为：﹣6
3完全平方式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【例题精选】
例1 (2023秋•宜春期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3B．﹣5C．7D．7或﹣1
分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴m﹣3＝±4，
解得：m＝7或﹣1，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
例2 (2023春•德清县期中）若x2﹣2（k﹣1）x+4是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±1B．±3C．﹣1或3D．1或﹣32
分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣2（k﹣1）x+4是完全平方式，
∴﹣2（k﹣1）＝±4，
解得：k＝﹣1或3，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•肇庆期末）如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3B．±3C．6D．±6
【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴2m＝±6，
∴m＝±3，
故选：B．
综合练习
一．选择题（共4小题）
1．如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．±15B．15C．±30D．30
【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一个完全平方式，
∴﹣kx＝±2×3x×5，
则k＝±30．
故选：C．
2．已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝（ ）
A．9B．18C．15D．12
【解答】解：把a+b＝6两边平方得：（a+b）2＝36，
整理得：a2+b2+2ab＝36，
将ab＝3代入得：a2+b2＝30，
则原式＝15﹣3＝12，
故选：D．
3．若x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值应是（ ）
A．2B．﹣2C．4或﹣4D．2或﹣2
【解答】解：∵（x±2）2＝x2±4x+4＝x2﹣mx+4，
∴m＝±4．
故选：C．
4．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【解答】解：阴影部分的面积是：（a+b）2﹣（a﹣b）2；
4个长方形的面积是：4ab，
∴验证的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故选：D．
二．填空题（共2小题）
5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，则xy的值为 ．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝7，
∴x2﹣2xy+y2＝7①，
∵x+y＝5，
∴（x+y）2＝25，
∴x2+2xy+y2＝25②，
∴②﹣①得：
4xy＝18，
则xy＝．
6．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝ 4a2﹣1 ．
【解答】解：原式＝1×（4a2﹣1）＝4a2﹣1．
故答案是：4a2﹣1．
三．解答题（共3小题）
7．计算：
（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；
（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣3+3＝1；
（2）原式＝a2﹣b2﹣a2+ab＝﹣b2+ab．
8．化简：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．
【解答】解：原式＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2．
9．（1）计算：（﹣2）2+﹣（2）0．
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．
【解答】解：（1）原式＝4+2﹣1＝3+2．
（2）原式＝a2﹣4﹣a2+4a＝4a﹣4．