新八年级数学讲义第10讲分式的运算-基础班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第10讲分式的运算-基础班(学生版+解析)，共16页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
【例题精选】
例1(2023秋•徐汇区校级期中）
例2(2023秋•汉阳区校级月考）计算：
（1）•；
（2）÷．
【随堂练习】
1．(2023•天桥区一模）化简•的结果是（ ）
A．x+1B．x+2C．D．
2．(2023•长清区一模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．m2
3．(2023•九江模拟）下列计算错误的是（ ）
A．（ab≠0 ）B．ab2÷（b≠0）
C．2a2b+3ab2＝5a3b3D．（ab2）3＝a3b6
4.(2023秋•忻城县期中）计算：
（1）
（2）
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
【例题精选】
例1 (2023秋•蓝山县期中）计算
（1）
（2）
例2 (2023春•鹿城区校级月考）计算：
（1）8x2y3÷（﹣）
（2）﹣
【随堂练习】
1．(2023秋•浦东新区期末）计算：＝__________．
2．(2023•硚口区校级模拟）计算：＝__________．
3．(2023•硚口区模拟）计算+的结果是__________．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
【例题精选】
例1(2023秋•渝中区校级期中）计算：
（1）a（a﹣3b）﹣（a﹣2b）2
（2）÷（﹣x﹣2）
例2 (2023•岐山县二模）化简．
【随堂练习】
1．(2023•庐江县一模）化简：（x﹣）÷．
2．(2023•孝义市三模）（1）分解因式：（x﹣4）（x+1）+3x．
（2）计算：
分式的化简求值
【例题精选】
例1(2023秋•呼兰区期末）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝5．
例2 (2023•顺德区模拟）先化简，再求值：÷+3，其中x＝﹣3．
【随堂练习】
1.(2023秋•慈利县期末）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣2．
2．(2023秋•黄石期末）先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
综合应用
1．准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为
（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值等于1吗？为什么？
2．先化简，再求值：+÷，其中a＝．
3．先化简，再求值：﹣（1﹣），其中x＝2，y＝．
4．（1）计算：（﹣2019）（﹣）2．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂
（，为正整数）
第10讲 分式的运算
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
【例题精选】
例1(2023秋•徐汇区校级期中）
分析：根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝6xy2•（）•
＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
例2(2023秋•汉阳区校级月考）计算：
（1）•；
（2）÷．
分析：（1）首先把分式分子分母分解因式，再约分后相乘即可；
（2）首先把分式分子分母分解因式，把除法变为乘法，再约分后相乘即可．
【解答】解：（1）原式＝•＝﹣；
（2）原式＝•＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
【随堂练习】
1．(2023•天桥区一模）化简•的结果是（ ）
A．x+1B．x+2C．D．
【解答】解：•＝＝x+2，
故选：B．
2．(2023•长清区一模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．m2
【解答】解：
＝×
＝，
故选：A．
3．(2023•九江模拟）下列计算错误的是（ ）
A．（ab≠0 ）B．ab2÷（b≠0）
C．2a2b+3ab2＝5a3b3D．（ab2）3＝a3b6
【解答】解：（C）原式＝2a2b+3ab2，
故选：C．
4.(2023秋•忻城县期中）计算：
（1）
（2）
【解答】解：（1）原式＝×÷
＝××
＝﹣；
（2）÷•
＝ו
＝
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
【例题精选】
例1 (2023秋•蓝山县期中）计算
（1）
（2）
分析：（1）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接通分进而利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝+
＝
＝．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确通分运算是解题关键．
例2 (2023春•鹿城区校级月考）计算：
（1）8x2y3÷（﹣）
（2）﹣
分析：（1）根据分式的运算法则即可求出答案；
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣6x﹣1y2＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝；
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1．(2023秋•浦东新区期末）计算：＝__________．
【解答】解：原式＝﹣
＝，
故答案为：
2．(2023•硚口区校级模拟）计算：＝__________．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
3．(2023•硚口区模拟）计算+的结果是__________．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
故答案为：．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
【例题精选】
例1(2023秋•渝中区校级期中）计算：
（1）a（a﹣3b）﹣（a﹣2b）2
（2）÷（﹣x﹣2）
分析：（1）首先利用完全平方和单项式乘以多项式计算乘法，再算加减即可；
（2）首先计算括号里面的减法，然后再计算除法即可．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣3ab﹣（a2﹣4ab+4b2），
＝a2﹣3ab﹣a2+4ab﹣4b2，
＝ab﹣4b2；
（2）原式＝÷（﹣），
＝÷，
＝÷，
＝•，
＝﹣．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算和分式的计算，关键是掌握分式的加、减、乘、除计算法则．
例2 (2023•岐山县二模）化简．
分析：根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1．(2023•庐江县一模）化简：（x﹣）÷．
【解答】解：（x﹣）÷
＝
＝
＝x（x+1）
＝x2+x．
2．(2023•孝义市三模）（1）分解因式：（x﹣4）（x+1）+3x．
（2）计算：
【解答】解：（1）（x﹣4）（x+1）+3x
＝x2﹣3x﹣4+3x
＝x2﹣4
＝（x+2）（x﹣2）；
（2）
＝÷
＝
＝．
分式的化简求值
【例题精选】
例1(2023秋•呼兰区期末）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝5．
分析：直接分解因式，进而利用分式的混合运算法则化简，再把已知代入求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝5时，原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
例2 (2023•顺德区模拟）先化简，再求值：÷+3，其中x＝﹣3．
分析：首先把分式的除法变为分式的乘法，再约分化简后代入x的值即可．
【解答】解：原式＝•+3，
＝x+3．
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝0．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序，掌握运算法则．
【随堂练习】
1.(2023秋•慈利县期末）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣2．
【解答】解：原式＝•，
＝﹣，
＝﹣，
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝．
2．(2023秋•黄石期末）先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【解答】解：原式＝＝．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴取x＝3，原式＝＝4．
综合应用
1．准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为
（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值等于1吗？为什么？
【解答】解：（1）÷
＝•（x﹣3）
＝，
∴被墨水污染的部分为x﹣4；
（2）原式＝＝4，
∴x＝4，
由于÷
＝•
∴x＝4时，此时无意义．
2．先化简，再求值：+÷，其中a＝．
【解答】解：+÷
＝+•
＝+
＝，
当a＝时，原式＝＝．
3．先化简，再求值：﹣（1﹣），其中x＝2，y＝．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣，
当x＝2，y＝时，原式＝﹣＝﹣．
4．（1）计算：（﹣2019）（﹣）2．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
【解答】（1）解：原式＝1+2﹣4×
＝1+2﹣1
＝2；
（2）解：原式＝（﹣）•
＝2（x+2）﹣（x﹣2）
＝2x+4﹣x+2
＝x+6，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+6＝5．
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂
（，为正整数）