新八年级数学讲义第10讲分式的运算-提高班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第10讲分式的运算-提高班(学生版+解析)，共15页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
【例题精选】
例1 计算：
（1）；
（2）（a2﹣a）÷；
（3）÷；
（4）．
例2(2023春•新野县期中）化简：（）2÷（）•（）3
【随堂练习】
1．(2023春•成都期末）计算（）3÷的结果是（ ）
A．B．y2C．y4D．x2y2
2．(2023•漳浦县一模）下列计算正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．x6÷x2＝x3
C．D．a2b﹣2ba2＝﹣a2b
3．(2023秋•蓝山县期末）计算•的结果是（ ）
A．B．﹣C．yD．x
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
【例题精选】
例1 (2023秋•通州区期中）计算：．
例2(2023•鼓楼区一模）计算．
【随堂练习】
1．(2023•滨海新区一模）计算的结果是（ ）
A．3B．3x﹣3C．D．
2．(2023•历下区校级模拟）化简﹣x+1，得（ ）
A．﹣B．﹣C．2﹣x2D．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
【例题精选】
例1 (2023•丹江口市模拟）化简：
例2 (2023•南岸区自主招生）计算：
（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；
（2）（a+1﹣）．
【随堂练习】
1．(2023春•玄武区校级期中）计算
（1）﹣a+1
（2）
分式的化简求值
【例题精选】
例1 (2023秋•郯城县期末）先化简：÷（﹣），再从﹣3＜x＜2的范围内选取一个你最喜欢的整数代入，求值．
例2(2023秋•南关区校级期末）先化简：÷再从﹣1，0，1中选取一个数并代入求值．
【随堂练习】
1．(2023秋•连山区期末）先化简，再求值，其中x＝5．
2．(2023秋•浦东新区期末）先化简，再求值：，其中x＝3．
3．(2023秋•宁都县期末）先化简，再求值：，其中x＝﹣．
综合应用
1．准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为
（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值等于1吗？为什么？
2．先化简，再求值：+÷，其中a＝．
3．先化简，再求值：﹣（1﹣），其中x＝2，y＝．
4．（1）计算：（﹣2019）（﹣）2．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂
（，为正整数）
第10讲 分式的运算
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
【例题精选】
例1 计算：
（1）；
（2）（a2﹣a）÷；
（3）÷；
（4）．
分析：根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝．
（2）原式＝a（a﹣1）•
＝a2﹣2a+1．
（3）原式＝•
＝y（x﹣1）
＝xy﹣y．
（4）原式＝•
＝．
【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
例2(2023春•新野县期中）化简：（）2÷（）•（）3
分析：先把除法变成乘法，再去掉括号，然后根据分式的乘法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：（）2÷（）•（）3
＝（）2••（）3
＝••
＝﹣．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键，是一道常考题．
【随堂练习】
1．(2023春•成都期末）计算（）3÷的结果是（ ）
A．B．y2C．y4D．x2y2
【解答】解：原式＝•
＝y2，
故选：B．
2．(2023•漳浦县一模）下列计算正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．x6÷x2＝x3
C．D．a2b﹣2ba2＝﹣a2b
【解答】解：（A）原式＝x6，故A错误．
（B）原式＝x4，故B错误．
（C）原式＝，故C错误．
故选：D．
3．(2023秋•蓝山县期末）计算•的结果是（ ）
A．B．﹣C．yD．x
【解答】解：原式＝．
故选：A．
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
【例题精选】
例1 (2023秋•通州区期中）计算：．
分析：根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝m+3
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
例2(2023•鼓楼区一模）计算．
分析：根据异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分是解答本题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•滨海新区一模）计算的结果是（ ）
A．3B．3x﹣3C．D．
【解答】解：＝＝＝；
故选：D．
2．(2023•历下区校级模拟）化简﹣x+1，得（ ）
A．﹣B．﹣C．2﹣x2D．
【解答】解：﹣x+1
＝﹣（x﹣1）
＝﹣
＝
故选：D．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
【例题精选】
例1 (2023•丹江口市模拟）化简：
分析：根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
例2 (2023•南岸区自主招生）计算：
（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；
（2）（a+1﹣）．
分析：（1）直接利用多项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2
＝x2﹣xy﹣2y2+x2﹣2xy+y2
＝2x2﹣3xy﹣y2；
（2）（a+1﹣）
＝[﹣]•
＝．
＝．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023春•玄武区校级期中）计算
（1）﹣a+1
（2）
【解答】解：（1）﹣a+1
＝﹣（a﹣1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
分式的化简求值
【例题精选】
例1 (2023秋•郯城县期末）先化简：÷（﹣），再从﹣3＜x＜2的范围内选取一个你最喜欢的整数代入，求值．
分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵x≠±1且x≠0，
∴取x＝﹣2，
则原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
例2(2023秋•南关区校级期末）先化简：÷再从﹣1，0，1中选取一个数并代入求值．
分析：直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣1，1时，无意义，
故a＝0，
则原式＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•连山区期末）先化简，再求值，其中x＝5．
【解答】解：原式＝（﹣）×
＝×
＝，
当x＝5时，
原式＝．
2．(2023秋•浦东新区期末）先化简，再求值：，其中x＝3．
【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，
当x＝3时，原式＝﹣．
3．(2023秋•宁都县期末）先化简，再求值：，其中x＝﹣．
【解答】解：原式＝•
＝﹣，
当x＝﹣时，原式＝﹣＝．
综合应用
1．准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为
（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值等于1吗？为什么？
【解答】解：（1）÷
＝•（x﹣3）
＝，
∴被墨水污染的部分为x﹣4；
（2）原式＝＝4，
∴x＝4，
由于÷
＝•
∴x＝4时，此时无意义．
2．先化简，再求值：+÷，其中a＝．
【解答】解：+÷
＝+•
＝+
＝，
当a＝时，原式＝＝．
3．先化简，再求值：﹣（1﹣），其中x＝2，y＝．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣，
当x＝2，y＝时，原式＝﹣＝﹣．
4．（1）计算：（﹣2019）（﹣）2．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
【解答】（1）解：原式＝1+2﹣4×
＝1+2﹣1
＝2；
（2）解：原式＝（﹣）•
＝2（x+2）﹣（x﹣2）
＝2x+4﹣x+2
＝x+6，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+6＝5．
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂
（，为正整数）