新八年级数学讲义第10讲分式的运算-满分班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第10讲分式的运算-满分班(学生版+解析)，共15页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
【例题精选】
例1(2023秋•西城区校级期中）计算：
（1）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）．
（2）÷．
例2 (2023秋•九龙坡区校级期中）计算：
（1）（a﹣2b）2﹣a（a﹣4b）
（2）
【随堂练习】
1．(2023秋•曹县期中）计算的结果是（ ）
A．2a﹣4B．﹣2a+4C．﹣2a﹣4D．2a+4
2．(2023秋•莫旗期末）化简x2÷（）2的结果为________．
3．(2023•北京模拟）如果代数式m2+2m＝1，那么÷的值为________．
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
【例题精选】
例1 (2023秋•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2
（2）
例2(2023秋•南岸区校级期中）计算：
（1）（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣3）；
（2）（x+1﹣）+
【随堂练习】
1．(2023•柯桥区模拟）计算的结果是_______．
2．(2023•岳麓区校级模拟）化简：+的结果为________．
3．(2023秋•呼兰区期末）计算：﹣＝__________．
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
【例题精选】
例1 (2023秋•大兴区期中）已知a为整数，且+÷为整数，求所有符合条件的a值．
【随堂练习】
1.(2023秋•沙坪坝区校级月考）化简：
（1）（﹣x﹣2y）2﹣x（x+4y）；
（2）．

分式的化简求值
【例题精选】
例1 (2023•温岭市模拟）先化简代数式（a+）÷，然后判断该代数式的值能否等于0？并说明理由．
例2 (2023•玉山县一模）先化简（1﹣）÷，再从不等式x﹣1≤2的正整数解中选一个适当的数代入求值．
【随堂练习】
1．(2023春•江阴市期中）先化简，再求值：计算﹣÷，再从﹣2、0、2、3四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
2．(2023秋•姜堰区期末）化简并求值，其中m满足m2﹣m﹣2＝0．
综合应用
1．准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为
（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值等于1吗？为什么？
2．先化简，再求值：+÷，其中a＝．
3．先化简，再求值：﹣（1﹣），其中x＝2，y＝．
4．（1）计算：（﹣2019）（﹣）2．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂
（，为正整数）
第10讲 分式的运算
分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
【例题精选】
例1(2023秋•西城区校级期中）计算：
（1）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）．
（2）÷．
分析：（1）原式利用多项式除以单项式法则计算即可求出值；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣3x2+4x；
（2）原式＝•＝．
【点评】此题考查了分式的乘除法，以及整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例2 (2023秋•九龙坡区校级期中）计算：
（1）（a﹣2b）2﹣a（a﹣4b）
（2）
分析：（1）直接利用乘法公式以及整式的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2+4b2﹣4ab﹣a2+4ab
＝4b2；
（2）原式＝••1
＝．
【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•曹县期中）计算的结果是（ ）
A．2a﹣4B．﹣2a+4C．﹣2a﹣4D．2a+4
【解答】解：原式＝•
＝2（a﹣2）
＝2a﹣4，
故选：A．
2．(2023秋•莫旗期末）化简x2÷（）2的结果为________．
分析：先乘方，再算除法．
【解答】解：原式＝x2÷
＝x2×
＝
故答案为：
3．(2023•北京模拟）如果代数式m2+2m＝1，那么÷的值为________．
【解答】解：÷
＝
＝m2+2m，
因为m2+2m＝1，
所以÷的值为1，
故答案为：1
分式的加减
⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为相同分母； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
【例题精选】
例1 (2023秋•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）x（x﹣2y）﹣（x﹣y）2
（2）
分析：（1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则可得原式＝x2﹣2xy﹣x2+2xy﹣y2＝﹣y2；
（2）将异分母分式化为同分母分式进行可得原式＝+＝＝．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy﹣x2+2xy﹣y2＝﹣y2；
（2）原式＝+＝＝．
【点评】本题考查分式的加减法和完全平方公式和单项式乘以多项式；熟练掌握分式加减法的运算法则，完全平方公式，单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
例2(2023秋•南岸区校级期中）计算：
（1）（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣3）；
（2）（x+1﹣）+
分析：（1）根据平方差公式和多项式乘以单项式运算，可得原式＝a2﹣4﹣a2+3a＝3a﹣4；
（2）将异分母分式化为同分母分式进行运算，可得原式＝+＝．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4﹣a2+3a＝3a﹣4；
（2）原式＝﹣+＝+＝+＝．
【点评】本题考查分式的加减法，平方差公式和多项式乘以单项式运算；熟练掌握分式的加减法运算法则，平方差公式，多项式乘以单项式运算法则是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•柯桥区模拟）计算的结果是_______．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
2．(2023•岳麓区校级模拟）化简：+的结果为________．
【解答】解：原式＝＝＝x+1．
故答案为：x+1．
3．(2023秋•呼兰区期末）计算：﹣＝__________．
【解答】解：原式＝﹣
＝，
故答案为：
分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
【例题精选】
例1 (2023秋•大兴区期中）已知a为整数，且+÷为整数，求所有符合条件的a值．
分析：化简所给式子可得，原式═1+，由已知可得a﹣1＝±1，a﹣1＝±2即可求a的值．
【解答】解：原式＝+×
＝+
＝
＝1+，
∵分式为整数，
∴a﹣1＝±1，a﹣1＝±2，
∴a＝2或a＝0或a＝3或a＝﹣1，
∵a≠±1，a≠2，
∴a＝0或a＝3．
【点评】本题考查分式的混合运算；熟练掌握分式的运算法则，注意分母不为零的情况是解题的关键．
【随堂练习】
1.(2023秋•沙坪坝区校级月考）化简：
（1）（﹣x﹣2y）2﹣x（x+4y）；
（2）．
【解答】解：（1）（﹣x﹣2y）2﹣x（x+4y）
＝x2+4xy+4y2﹣x2﹣4xy
＝4y2；
（2）
＝
＝
＝
＝．

分式的化简求值
【例题精选】
例1 (2023•温岭市模拟）先化简代数式（a+）÷，然后判断该代数式的值能否等于0？并说明理由．
分析：直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：该代数式的值不能等于0，
理由：原式＝•
＝•
＝，
∵要使该代数式的值为0，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1，
然而当 a＝﹣1 时原式没意义，故该代数式的值不能等于0．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
例2 (2023•玉山县一模）先化简（1﹣）÷，再从不等式x﹣1≤2的正整数解中选一个适当的数代入求值．
分析：直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝﹣，
∵x﹣1≤2，
∴x≤3，
把x＝3代入上式得，
原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023春•江阴市期中）先化简，再求值：计算﹣÷，再从﹣2、0、2、3四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：﹣÷
＝
＝
＝
＝，
当a＝﹣2，2，3时，原分式无意义，
故当a＝0时，原式＝＝﹣1．
2．(2023秋•姜堰区期末）化简并求值，其中m满足m2﹣m﹣2＝0．
【解答】解：原式＝•＝，
由m2﹣m﹣2＝0得，m1＝2，m2＝﹣1，
因为m≠﹣1，所以m＝2时，原式＝．

综合应用
1．准备完成如图这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为
（1）求被墨水污染的部分；
（2）原分式的值等于1吗？为什么？
【解答】解：（1）÷
＝•（x﹣3）
＝，
∴被墨水污染的部分为x﹣4；
（2）原式＝＝4，
∴x＝4，
由于÷
＝•
∴x＝4时，此时无意义．
2．先化简，再求值：+÷，其中a＝．
【解答】解：+÷
＝+•
＝+
＝，
当a＝时，原式＝＝．
3．先化简，再求值：﹣（1﹣），其中x＝2，y＝．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣，
当x＝2，y＝时，原式＝﹣＝﹣．
4．（1）计算：（﹣2019）（﹣）2．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
【解答】（1）解：原式＝1+2﹣4×
＝1+2﹣1
＝2；
（2）解：原式＝（﹣）•
＝2（x+2）﹣（x﹣2）
＝2x+4﹣x+2
＝x+6，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+6＝5．
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0指数幂
负整数指数幂
（，为正整数）