新八年级数学讲义第11讲分式方程-基础班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第11讲分式方程-基础班(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【例题精选】
例1 (2023春•鲤城区校级期中）在下列各式中，是关于x的分式方程的是（ ）
A．2x﹣3y＝0B．C．D．
【随堂练习】
1．(2023春•静安区期末）下列方程中，是分式方程的为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023春•南江县期末）下列各式中是分式方程的是（ ）
A．B．x2+1＝yC．+1＝0D．
2分式方程的解
【例题精选】
例1 (2023春•淮阴区期中）已知关于x的分式方程＝3的解是5，则m的值为（ ）
A．3B．﹣2C．﹣1D．8
【随堂练习】
1．(2023•滕州市一模）关于x的分式方程+＝0的解为x＝4，则常数a的值为（ ）
A．a＝1B．a＝2C．a＝4D．a＝10
3解分式方程
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【例题精选】
例1 (2023•道外区一模）方程＝的解为（ ）
A．B．﹣C．3D．﹣3
例2(2023•成都模拟）分式方程的解是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2或0D．无解
例3(2023•西城区二模）解方程：+1＝．
【随堂练习】
1.(2023•埇桥区模拟）方程的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝3D．x＝﹣3
2．(2023春•新蔡县期中）把分式方程﹣＝0转化为整式方程时，方程两边需乘（ ）
A．xB．x+4C．x（x﹣4）D．x（x+4）
3．(2023•安徽二模）方程的解是（ ）
A．﹣1B．1C．D．﹣9
4分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【例题精选】
例1(2023•高州市模拟）2018年8月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的1.5倍，100千米缩短了10分钟，问提速前后的速度分别是多少千米与小时？
例2(2023•岳阳一模）某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
【随堂练习】
1．(2023•武昌区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023•越秀区校级一模）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了_________．（注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价）
3．(2023•长春模拟）为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．x﹣2x+1＝x﹣1B．2x﹣4x+2＝x﹣1
C．2x+4x﹣2＝x﹣1D．x+2x﹣1＝x﹣1
2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程﹣＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
二．解答题（共5小题）
3．解方程：﹣＝1
4．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？
5．解下列分式方程：
（1）＝1
（2）＝﹣3
6．某商店第一次用300元购进2B铅笔若干支，第二次又用300元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于210元，问每支售价至少是多少元？
7．服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元，进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5倍．
（1）求每件羽绒服的标价是多少元；
（2）进入l2月份，服装店决定把剩余羽绒服按10月份标价的八折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒服总获利不少于15000元，问这批羽绒服至少购进多少件？
第11讲分式方程
1 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【例题精选】
例1 (2023春•鲤城区校级期中）在下列各式中，是关于x的分式方程的是（ ）
A．2x﹣3y＝0B．C．D．
分析：根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程逐一判断可得．
【解答】解：A．此方程是二元一次方程，不符合题意；
B．此方程是一元一次方程，不符合题意；
C．是代数式，不是方程，不符合题意；
D．此方程是分式方程；
故选：D．
【点评】本题主要考查分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
【随堂练习】
1．(2023春•静安区期末）下列方程中，是分式方程的为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项错误；
B、该方程是无理方程，故本选项错误；
C、该方程符合分式方程的定义，故本选项正确；
D、该方程是无理方程，故本选项错误；
故选：C．
2．(2023春•南江县期末）下列各式中是分式方程的是（ ）
A．B．x2+1＝yC．+1＝0D．
【解答】解：A、不是方程，故本选项错误；
B、方程x2+1＝y的分母中不含未知数x，所以它不是分式方程．故本选项错误；
C、方程 +1＝0的分母中不含未知数x，所以它不是分式方程．故本选项错误；
D、方程的分母中含有未知数，所以它是分式方程．故本选项正确；
故选：D．
2分式方程的解
【例题精选】
例1 (2023春•淮阴区期中）已知关于x的分式方程＝3的解是5，则m的值为（ ）
A．3B．﹣2C．﹣1D．8
分析：把x＝5代入分式方程求得m的值即可．
【解答】解：把m＝5代入关于x的分式方程＝3得：＝3，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【随堂练习】
1．(2023•滕州市一模）关于x的分式方程+＝0的解为x＝4，则常数a的值为（ ）
A．a＝1B．a＝2C．a＝4D．a＝10
【解答】解：把x＝4代入分式方程+＝0，得
+＝0，
解得a＝10，经检验a＝10是方程的解，
故选：D．
3解分式方程
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【例题精选】
例1 (2023•道外区一模）方程＝的解为（ ）
A．B．﹣C．3D．﹣3
分析：方程去分母转化为整式方程，整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x﹣2）＝5x，
去括号得：3x﹣6＝5x，
移项合并得：﹣2x＝6，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
例2(2023•成都模拟）分式方程的解是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2或0D．无解
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x+1）2＝1，
开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，
解得：x＝0或x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是增根，分式方程的解为x＝0，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，解完注意要检验．
例3(2023•西城区二模）解方程：+1＝．
分析：根据解分式方程的步骤解答即可．
【解答】解：+1＝，
方程的两边同乘3（x﹣1）得：3x+3x﹣3＝2x，
解这个方程得：，
经检验，是原方程的解．
【点评】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意，解分式方程需要验根．
【随堂练习】
1.(2023•埇桥区模拟）方程的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝3D．x＝﹣3
【解答】解：去分母得：2x﹣1＝x+2，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的根，
故选：C．
2．(2023春•新蔡县期中）把分式方程﹣＝0转化为整式方程时，方程两边需乘（ ）
A．xB．x+4C．x（x﹣4）D．x（x+4）
【解答】解：把分式方程﹣＝0转化为整式方程时，方程两边需乘x（x+4）．
故选：D．
3．(2023•安徽二模）方程的解是（ ）
A．﹣1B．1C．D．﹣9
【解答】解：方程两边乘x﹣3，
得2x+6＝﹣x+3，
解得：x＝﹣1，
检验：x＝﹣1时，x﹣3≠0，
则x＝﹣1是原分式方程的解．
故选：A．
4分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【例题精选】
例1(2023•高州市模拟）2018年8月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的1.5倍，100千米缩短了10分钟，问提速前后的速度分别是多少千米与小时？
分析：设列车提速前的速度为x千米每小时和列车提速后的速度为1.5千米每小时，根据关键语句“100千米缩短了10分钟”可列方程，解方程即可．
【解答】解：设提速前后的速度分别为x千米每小时和1.5x千米每小时，
根据题意得，﹣＝，
解得：x＝200，
经检验：x＝200是原方程的根，
∴1.5x＝300，
答：提速前后的速度分别是200千米每小时和300千米每小时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，根据时间关系列出方程．
例2(2023•岳阳一模）某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
分析：首先设原计划每天铺设x米，则实际每天铺设（1+25%）x米，由题意找出等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝30，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
【解答】解：设原计划每天铺设x米，依题意得：
＝+30，
解得：x＝20米，
经检验x＝20是原方程式的根，
实际每天铺设1.25x＝1.25×20＝25（米）．
答：实际每天铺设25米长管道．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用了工作时间＝工作总量÷工效这个等量关系．
【随堂练习】
1．(2023•武昌区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，得：．
故选：C．
2．(2023•越秀区校级一模）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了_________．（注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价）
【解答】解：设原来的售价是b，进价是a，
×100%＝47%
b＝1.47a．
×100%＝40%．
故答案为：40%．
3．(2023•长春模拟）为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
【解答】解：设原计划每天加工x个，
根据题意，得，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解且符合题意．
答：原计划每天加工400个．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．x﹣2x+1＝x﹣1B．2x﹣4x+2＝x﹣1
C．2x+4x﹣2＝x﹣1D．x+2x﹣1＝x﹣1
【解答】解：去分母得：2x+2（2x﹣1）＝x﹣1，即2x+4x﹣2＝x﹣1，
故选：C．
2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程﹣＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
【解答】解：∵利用工作时间列出方程：﹣＝20，
∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．
故选：C．
二．解答题（共5小题）
3．解方程：﹣＝1
【解答】解：2（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2﹣1
6x＝﹣2
，
经检验，x＝﹣是原方程的根，
所以原方程的解为：x＝﹣．
4．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？
【解答】解：设升级改造前每小时生产x个零件，则升级改造前每小时生产（1+）x个零件，
依题意，得：﹣＝+，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列分式方程的解，且符合题意．
答：升级改造前每小时生产10个零件．
5．解下列分式方程：
（1）＝1
（2）＝﹣3
【解答】解：（1）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：2x﹣5＝3x﹣2﹣3x+6，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
6．某商店第一次用300元购进2B铅笔若干支，第二次又用300元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于210元，问每支售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，﹣＝30，
解得x＝2，
经检验：x＝2是原分式方程的解．
答：第一次每支铅笔的进价为2元．
（2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为2元，则第二次每支铅笔的进价为2×＝（元）
根据题意列不等式为：
×（y﹣2）+×（y﹣）≥210，
解得y≥3．
答：每支售价至少是3元．
7．服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元，进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5倍．
（1）求每件羽绒服的标价是多少元；
（2）进入l2月份，服装店决定把剩余羽绒服按10月份标价的八折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒服总获利不少于15000元，问这批羽绒服至少购进多少件？
【解答】解：（1）设每件羽绒服的标价为x元，则10月份售出件，
根据题意得：，
解得：x＝700，
经检验x＝700是原方程的解．
答：每件羽绒服的标价为700元．
（2）设这批羽绒服购进a件，
10月份售出14000÷700＝20（件），11月份售出20×1.5＝30（件），
根据题意得：14000+（5500+14000）+700×0.8（a﹣20﹣30）﹣500a≥15000，
解得：a≥158，
所以a至少是159，
答：这批羽绒服至少购进159件．