新八年级数学讲义第11讲分式方程-提高班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第11讲分式方程-提高班(学生版+解析)，共16页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【例题精选】
例1(2023春•电白区期末）下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A．3x＝B．＝2C．＝D．3x﹣2y＝1
【随堂练习】
1．(2023春•上海期中）在下列方程组中，（ ）是分式方程．
A．＝1B．
C．D．
2分式方程的解
【例题精选】
例1 (2023秋•东城区期末）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为
________．
3解分式方程
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【例题精选】
例1 (2023•长兴县一模）关于x的分式方程﹣1＝2的解是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝
例2(2023•广东模拟）分式方程+＝1的解为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．无解
【随堂练习】
1．(2023春•历下区校级期中）解分式方程﹣2＝，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3B．1﹣2（x﹣5）＝3
C．1﹣2x﹣10＝﹣3D．1﹣2x+10＝3
2．(2023•天桥区模拟）方程＝的解是（ ）
A．x＝6B．x＝7C．x＝8D．x＝﹣8
4分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【例题精选】
例1 (2023•衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
例2(2023•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
【随堂练习】
1．(2023•西宁一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
2．(2023•南海区模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．
（1）现在平均每天生产多少台机器；
（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．x﹣2x+1＝x﹣1B．2x﹣4x+2＝x﹣1
C．2x+4x﹣2＝x﹣1D．x+2x﹣1＝x﹣1
2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程﹣＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
二．解答题（共5小题）
3．解方程：﹣＝1
4．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？
5．解下列分式方程：
（1）＝1
（2）＝﹣3
6．某商店第一次用300元购进2B铅笔若干支，第二次又用300元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于210元，问每支售价至少是多少元？
7．服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元，进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5倍．
（1）求每件羽绒服的标价是多少元；
（2）进入l2月份，服装店决定把剩余羽绒服按10月份标价的八折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒服总获利不少于15000元，问这批羽绒服至少购进多少件？
第11讲分式方程
1 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【例题精选】
例1(2023春•电白区期末）下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A．3x＝B．＝2C．＝D．3x﹣2y＝1
分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
【随堂练习】
1．(2023春•上海期中）在下列方程组中，（ ）是分式方程．
A．＝1B．
C．D．
【解答】解：A、是分式方程，故此选项符合题意；
B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
C、不是分式方程，故此选项不符合题意；
D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2分式方程的解
【例题精选】
例1 (2023秋•东城区期末）已知﹣2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为
________．
分析：将x＝﹣2代入分式方程，求出k即可．
【解答】解：将x＝﹣2代入分式方程，
可得：﹣2﹣k＝﹣4，
解得：k＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查分式方程的解；将所给方程的解代入原方程求解k的值是关键．
3解分式方程
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【例题精选】
例1 (2023•长兴县一模）关于x的分式方程﹣1＝2的解是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1﹣x＝2x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
例2(2023•广东模拟）分式方程+＝1的解为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．无解
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解，
则分式方程的解为x＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【随堂练习】
1．(2023春•历下区校级期中）解分式方程﹣2＝，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3B．1﹣2（x﹣5）＝3
C．1﹣2x﹣10＝﹣3D．1﹣2x+10＝3
【解答】解：方程变形得：﹣2＝﹣，
去括号得：1﹣2（x﹣5）＝﹣3，
故选：A．
2．(2023•天桥区模拟）方程＝的解是（ ）
A．x＝6B．x＝7C．x＝8D．x＝﹣8
【解答】解：去分母得：2x﹣6＝x+2，
解得：x＝8，
经检验x＝8是分式方程的解．
故选：C．
4分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【例题精选】
例1 (2023•衡阳）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
分析：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，
∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
例2(2023•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
分析：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：+＝1100，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，
依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【随堂练习】
1．(2023•西宁一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
【解答】解：设实际每天铺设管道x米，原计划每天铺设管道（x﹣10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间＝15天，
那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．
故选：C．
2．(2023•南海区模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同．
（1）现在平均每天生产多少台机器；
（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成．
【解答】解：（1）设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产（x+50）台机器，
依题意，得：＝，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝200．
答：现在平均每天生产200台机器．
（2）﹣＝20﹣15＝5（天）．
答：现在比原计划提前5天完成．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．x﹣2x+1＝x﹣1B．2x﹣4x+2＝x﹣1
C．2x+4x﹣2＝x﹣1D．x+2x﹣1＝x﹣1
【解答】解：去分母得：2x+2（2x﹣1）＝x﹣1，即2x+4x﹣2＝x﹣1，
故选：C．
2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程﹣＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
【解答】解：∵利用工作时间列出方程：﹣＝20，
∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．
故选：C．
二．解答题（共5小题）
3．解方程：﹣＝1
【解答】解：2（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2﹣1
6x＝﹣2
，
经检验，x＝﹣是原方程的根，
所以原方程的解为：x＝﹣．
4．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？
【解答】解：设升级改造前每小时生产x个零件，则升级改造前每小时生产（1+）x个零件，
依题意，得：﹣＝+，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列分式方程的解，且符合题意．
答：升级改造前每小时生产10个零件．
5．解下列分式方程：
（1）＝1
（2）＝﹣3
【解答】解：（1）去分母得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：2x﹣5＝3x﹣2﹣3x+6，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
6．某商店第一次用300元购进2B铅笔若干支，第二次又用300元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于210元，问每支售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，﹣＝30，
解得x＝2，
经检验：x＝2是原分式方程的解．
答：第一次每支铅笔的进价为2元．
（2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为2元，则第二次每支铅笔的进价为2×＝（元）
根据题意列不等式为：
×（y﹣2）+×（y﹣）≥210，
解得y≥3．
答：每支售价至少是3元．
7．服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元，进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5倍．
（1）求每件羽绒服的标价是多少元；
（2）进入l2月份，服装店决定把剩余羽绒服按10月份标价的八折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒服总获利不少于15000元，问这批羽绒服至少购进多少件？
【解答】解：（1）设每件羽绒服的标价为x元，则10月份售出件，
根据题意得：，
解得：x＝700，
经检验x＝700是原方程的解．
答：每件羽绒服的标价为700元．
（2）设这批羽绒服购进a件，
10月份售出14000÷700＝20（件），11月份售出20×1.5＝30（件），
根据题意得：14000+（5500+14000）+700×0.8（a﹣20﹣30）﹣500a≥15000，
解得：a≥158，
所以a至少是159，
答：这批羽绒服至少购进159件．